2018_2019學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一章三角函數(shù)第6節(jié)三角函數(shù)模型的簡(jiǎn)單應(yīng)用教案（含解析）新人教A版.docx

1.6三角函數(shù)模型的簡(jiǎn)單應(yīng)用知識(shí)點(diǎn)1三角函數(shù)在物理中的應(yīng)用講一講1單擺從某點(diǎn)開始來(lái)回?cái)[動(dòng)，離開平衡位置的距離s(單位：cm)和時(shí)間t(單位：s)的函數(shù)關(guān)系式為s6sin.(1)作出函數(shù)的圖象；(2)當(dāng)單擺開始擺動(dòng)(t0)時(shí)，離開平衡位置的距離是多少？(3)當(dāng)單擺擺動(dòng)到最右邊時(shí)，離開平衡位置的距離是多少？(4)單擺來(lái)回?cái)[動(dòng)一次需多長(zhǎng)時(shí)間？嘗試解答(1)利用“五點(diǎn)法”可作出其圖象(2)因?yàn)楫?dāng)t0時(shí)，s6sin3，所以此時(shí)離開平衡位置3 cm.(3)離開平衡位置6 cm.(4)因?yàn)門1，所以單擺來(lái)回?cái)[動(dòng)一次所需的時(shí)間為1 s.類題通法三角函數(shù)在物理中的應(yīng)用三角函數(shù)模型在物理中的應(yīng)用主要體現(xiàn)在簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)中，其中對(duì)彈簧振子和單擺的運(yùn)動(dòng)等有關(guān)問(wèn)題考查最多，解決這類問(wèn)題時(shí)尤其要弄清振幅、頻率、周期、平衡位置等物理概念的意義和表示方法練一練1交流電的電壓E(單位：V)與時(shí)間t(單位：s)的關(guān)系可用E220sin來(lái)表示，求：(1)開始時(shí)電壓；(2)電壓值重復(fù)出現(xiàn)一次的時(shí)間間隔；(3)電壓的最大值和第一次獲得最大值的時(shí)間解：(1)當(dāng)t0時(shí)，E110(V)，即開始時(shí)的電壓為110 V.(2)T(s)，即時(shí)間間隔為0.02 s.(3)電壓的最大值為220 V，當(dāng)100t，即t s時(shí)第一次取得最大值.知識(shí)點(diǎn)2三角函數(shù)在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用講一講2心臟跳動(dòng)時(shí)，血壓在增加或減少血壓的最大值、最小值分別稱為收縮壓和舒張壓，血壓計(jì)上的讀數(shù)就是收縮壓和舒張壓，讀數(shù)120/80 mmHg為標(biāo)準(zhǔn)值設(shè)某人的血壓滿足函數(shù)式p(t)11525sin 160t，其中p(t)為血壓(mmHg)，t為時(shí)間(min)，試回答下列問(wèn)題：(1)求函數(shù)p(t)的周期；(2)求此人每分鐘心跳的次數(shù)；(3)畫出函數(shù)p(t)的草圖；(4)求出此人的血壓在血壓計(jì)上的讀數(shù)嘗試解答(1)由于160，代入周期公式T，可得T(min)，所以函數(shù)p(t)的周期為 min.(2)每分鐘心跳的次數(shù)即為函數(shù)的頻率f80(次)(3)列表：t0p(t)11514011590115描點(diǎn)、連線并向左右擴(kuò)展得到函數(shù)p(t)的簡(jiǎn)圖如圖所示：(4)由圖可知此人的收縮壓為140 mmHg，舒張壓為90 mmHg.類題通法(1)在讀題時(shí)把問(wèn)題提供的“條件”逐條地“翻譯”成“數(shù)學(xué)語(yǔ)言”，這個(gè)過(guò)程就是數(shù)學(xué)建模的過(guò)程(2)在解題中，將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為與三角函數(shù)有關(guān)的問(wèn)題，常見形式有：求出三角函數(shù)的解析式，畫出函數(shù)的圖象以及利用函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行解題練一練2如圖為一個(gè)纜車示意圖，纜車半徑為4.8 m，圓上最低點(diǎn)與地面的距離為0.8 m,60 s轉(zhuǎn)動(dòng)一圈，圖中OA與地面垂直，以O(shè)A為始邊，逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)角到OB，設(shè)B點(diǎn)與地面距離是h.(1)求h與間的函數(shù)解析式；(2)設(shè)從OA開始轉(zhuǎn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)t s后到達(dá)OB，求h與t之間的函數(shù)解析式，并求纜車到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)用的最少時(shí)間是多少？解：(1)以圓心O為原點(diǎn)，建立如圖所示的坐標(biāo)系，則以O(shè)x為始邊，OB為終邊的角為，故B點(diǎn)坐標(biāo)為.h5.64.8sin.(2)點(diǎn)A在圓上轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度是，故t s轉(zhuǎn)過(guò)的弧度數(shù)為.h5.64.8sin，t0，)到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)，h10.4 m.由sin1，得t2k，kN，tmin30(s)即纜車到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)，用的時(shí)間最少為30秒.知識(shí)點(diǎn)3建立三角函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題講一講3已知某海濱浴場(chǎng)海浪的高度y(米)是時(shí)間t(0t24，單位：時(shí))的函數(shù)，記作：yf(t)下表是某日各時(shí)的浪高數(shù)據(jù).t(時(shí))03691215182124y(米)1.51.00.51.01.51.00.50.991.5(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，求函數(shù)yf(t)的函數(shù)解析式；(2)依據(jù)規(guī)定，當(dāng)海浪高度高于1米時(shí)才對(duì)沖浪愛好者開放，請(qǐng)依據(jù)(1)的結(jié)論，判斷一天內(nèi)上午8：00至晚上20：00之間，有多少時(shí)間可供沖浪愛好者進(jìn)行運(yùn)動(dòng)？嘗試解答(1)由表中數(shù)據(jù)描出各點(diǎn)，并把這些點(diǎn)用平滑的曲線連接起來(lái)(如圖)，由圖知，可設(shè)f(t)Acos tb，并且周期T12，.由t0，y1.5，得Ab1.5；由t3，y1.0，得b1.0.A0.5，b1.ycos t1.(2)由題知，當(dāng)y1時(shí)才可對(duì)沖浪愛好者開放，cos t11.cos t0.2kt2k(kZ)，即12k3t12k3(kZ)0t24，故可令中k分別為0,1,2，得0t3或9t15或210，0，)的半個(gè)周期的圖象，則該天8 h的溫度大約為()A16 B15 C14 D13 解析：選D由題意得A(3010)10，b(3010)20.2(146)16，16，y10sin20，將x6，y10代入得10sin62010，即sin1，由于0，0)，則解得A100，b800.又周期T2(60)12，y100sin800.又當(dāng)t6時(shí)，y900，900100sin800，sin()1，sin 1，取，y100sin800.(2)當(dāng)t2時(shí)，y100sin800750，即當(dāng)年3月1日動(dòng)物種群數(shù)量約是750.題組3建立三角函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題7設(shè)yf(t)是某港口水的深度y(米)關(guān)于時(shí)間t(時(shí))的函數(shù)，其中0t24.下表是該港口某一天從0時(shí)至24時(shí)的時(shí)間t與水深y的關(guān)系：t03691215182124y1215.112.19.111.914.911.98.912.1經(jīng)長(zhǎng)期觀察，函數(shù)yf(t)的圖象可近似地看成函數(shù)ykAsin(t)的圖象下列函數(shù)中，最能近似表示表中數(shù)據(jù)間對(duì)應(yīng)關(guān)系的是()Ay123sin t，t0,24By123sin，t0,24Cy123sin t，t0,24Dy123sin，t0,24解析：選Ayf(t)的關(guān)系對(duì)應(yīng)的“散點(diǎn)圖”如下：由“散點(diǎn)圖”可知，k12，A3.周期T12，所以.又t0時(shí)，y12，t3時(shí)，y15.所以0.因此，y123sin t，故選A.能力提升綜合練1如圖是一向右傳播的繩波在某一時(shí)刻繩子各點(diǎn)的位置圖，經(jīng)過(guò)周期后，乙的位置將移至()A甲 B乙 C丙 D丁解析：選C該題目考查了最值與周期間的關(guān)系：相鄰的最大值與最小值之間間隔區(qū)間長(zhǎng)度相差半個(gè)周期，故選C.2.如圖是函數(shù)ysin x(0x)的圖象，A(x，y)是圖象上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作x軸的平行線，交其圖象于另一點(diǎn)B(A，B可重合)設(shè)線段AB的長(zhǎng)為f(x)，則函數(shù)f(x)的圖象是()解析：選A當(dāng)x時(shí)，f(x)2x；當(dāng)x時(shí)，f(x)2x，故選A.3動(dòng)點(diǎn)A(x，y)在圓x2y21上繞坐標(biāo)原點(diǎn)沿逆時(shí)針?lè)较騽蛩傩D(zhuǎn)，12秒旋轉(zhuǎn)一周已知當(dāng)時(shí)間t0時(shí)，點(diǎn)A的坐標(biāo)是，則當(dāng)0t12時(shí)，動(dòng)點(diǎn)A的縱坐標(biāo)y關(guān)于t(單位：秒)的函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是()A0,1 B1,7 C7,12 D0,1和7,12解析：選D由已知可得該函數(shù)的周期T12，.又當(dāng)t0時(shí)，A，ysin，t0,12可解得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是0,1和7,124.如圖，半圓的直徑為2，A為直徑MN的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且OA2，B為半圓上任意一點(diǎn)，以AB為邊作等邊三角形ABC.當(dāng)AOBx時(shí)，S四邊形OACB等于()Asin x Bsin xcos xCcos x Dsin xcos x解析：選B如圖，S四邊形OACBSAOBSABC.過(guò)點(diǎn)B作BDMN于D，則BDBOsin(x)，即BDsin x.SAOB2sin xsin x.ODBOcos(x)cos x，AB2BD2AD2sin2x(cos x2)254cos x.SABCABcos x.S四邊形OACBSAOBSABCsin xcos x.5一根長(zhǎng)a cm的線，一端固定，另一端懸掛一個(gè)小球，小球擺動(dòng)時(shí)，離開平衡位置的位移s(cm)和時(shí)間t(s)的函數(shù)關(guān)系式是s3cos，t，則小球擺動(dòng)的周期為_解析：T.答案：6據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，某種商品一年內(nèi)每件的出廠價(jià)在7千元的基礎(chǔ)上，按月呈f(x)Asin(x)B的模型波動(dòng)(x為月份)，已知3月份達(dá)到最高價(jià)9千元，9月份價(jià)格最低為5千元根據(jù)以上條件可確定f(x)的解析式為_解析：由條件可知，B7，A972.又T2(93)12，.3月份達(dá)到最高價(jià)，3，0.所以f(x)的解析式為f(x)2sin x7.答案：f(x)2sin x7(1x12，xN)7.如圖，某市某天從6時(shí)到14時(shí)的溫度變化曲線近似滿足函數(shù)yAsin(x)b.(1)求這一天最大的溫差；(2)求這段曲線的函數(shù)解析式解：(1)由圖象得這一天的最高溫度是2 ，最低溫度是12 ，所以這一天最大的溫差是2(12)10()(2)由(1)得解得由圖象得函數(shù)的周期T2(146)16，則16，解得.所以y5sin7.由圖象知點(diǎn)(6，12)在函數(shù)的圖象上，則125sin7，整理得sin1，所以2k，kZ，即2k，kZ，則可取.所以這段曲線的函數(shù)解析式是y5sin7(6x14)8在一個(gè)港口，相鄰兩次高潮發(fā)生時(shí)間相距12 h，低潮時(shí)水的深度為8.4 m，高潮時(shí)為16 m，一次高潮發(fā)生在10月10日4：00.每天漲潮落潮時(shí)，水的深度d(m)與時(shí)間t(h)近似滿足關(guān)系式dAsin(t)h.(1)若從10月10日0：00開始計(jì)算時(shí)間，試用一個(gè)三角函數(shù)來(lái)近似描述該港口的水深d(m)和時(shí)間t(h)之間的函數(shù)關(guān)系；(2)10月10日17：00該港口水深約為多少？(精確到0.1 m)(3)10月10日這一天該港口共有多少時(shí)間水深低于10.3 m?解：(1)依題意知T12，故，h12.2，A16