《講集合與函數(shù)》PPT課件.pptVIP

, 一元微積分學(xué),大 學(xué) 數(shù) 學(xué)（一）,第一講 集合與函數(shù),第一章 集合與函數(shù),本章學(xué)習(xí)要求： 正確理解函數(shù)概念，了解反函數(shù)和復(fù)合函數(shù)的概念 。 了解函數(shù)的單調(diào)性、有界性、奇偶性和周期性，熟悉基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖形。,一、集合的基本概念,集合論是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。集合論的創(chuàng)始人是丹麥人 康托爾（猶太人），他在柏林大學(xué)學(xué)習(xí)（工科）期間受大 數(shù)學(xué)家魏爾斯特拉斯的影響，轉(zhuǎn)而攻讀數(shù)學(xué)，最后成為一 名數(shù)學(xué)家。他于1847年提出集合論，解決了當(dāng)時一系列懸 而未決的問題，奠定了現(xiàn)代數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。但康托爾創(chuàng)建集合 論的過程是十分艱難的，為此他幾乎獻出了生命。這也說 明如何一件新生事物的出現(xiàn)往往都不是一帆風(fēng)順的。,康托爾將集合定義為： 所謂集合是把我們直觀和思維中確定的、相互間 有明確區(qū)別的那些對象（這些對象稱為元素）作為一 個整體來考慮的結(jié)果。,1. 集合,關(guān)于集合的幾點注意：,集合的元素是確切定義的，不能含糊不清。 集合中的元素互不相同。 當(dāng)只研究一個集合時，則可不考慮其結(jié)構(gòu)，視集合 中的 元素一律平等。,2. 集合的表示法,列舉法：將集合A的所有元素一一列舉出來，并用 花括號括上。,表示集合的方法有兩種:,注意：不論用那一種方法表示集合，集合中的元素不得 重復(fù)出現(xiàn)。,3. 有界集,A，若存在M 0, xA，均有|x|M，則稱A為有界集； 若對A中的任何元素x，有xM,則稱A為有上界； 若對A中的任何元素有xM，則稱A為有下界。,4. 映射,對于映射f：AB ，若 x1,x2A，x1x2推出f(x1)f(x2)，則是單射； 典型的單射：單調(diào)函數(shù)，不是單射的函數(shù)：偶函數(shù),對于對于B中任意一個元素都有原像與之對應(yīng)，即是滿射。 也就是說每一個元素都有原像。一旦規(guī)定了是函數(shù)，他肯定是一個滿射,單射：,滿射：,雙射,單射但非滿射,滿射但非單射,非滿射但非單射,x0+,(,),x0 ,x0,5.鄰 域,x0 + ,(,),x0 ,x0,U ( 3, 0.1 ) = ( 3 0.1, 3 + 0.1 ),點 x0 = 3 的 = 0.1 鄰域為,點 x0 = 3 的去心 = 0.1 鄰域為, ( 3, 0.1 ) = ( 2.9, 3 ) ( 3, 3.1 ),= ( 2.9, 3.1 ),二、函數(shù)的基本概念,1. 函數(shù)的定義,2. 函數(shù)的表示法,解 析 法,表 格 法,圖 示 法,自己看書！,3. 求函數(shù)定義域舉例,數(shù)學(xué)分析的主要研究對象是函數(shù)，確定函數(shù)的 定義域是一件十分重要的事情。 通常依據(jù)：分式的分母不能為零；負數(shù)不能開 偶次方；已知的一些函數(shù)的定義域；物理意義；幾 何意義等來確定函數(shù)的定義域。,綜上所述,該函數(shù)的定義域為 D = ( 1, 2 ) 。,由負數(shù)不能開偶次方, 得,由對數(shù)函數(shù)的定義域, 得,由分母不能為零, 得,該函數(shù)為分段函數(shù),它的定義域為,分段函數(shù)是一個在自變量的不同取值范 圍內(nèi)具有不同的對應(yīng)關(guān)系的函數(shù), 即在定義 域的一些不相重疊的真子集上, 用不同的表 達式表示的函數(shù).,該函數(shù)稱為符號函數(shù),其定義域為,1,x,y,O,1,y = sgn x,也稱為克朗涅哥函數(shù),將 x 表示為:,函數(shù),稱為取整函數(shù)，它是一個分段函數(shù)。,想想取整函數(shù)的圖形是什么樣子？,故,定義域與對應(yīng)規(guī)則均相同的兩個函數(shù)相同。,如何判斷兩個函數(shù)是否相同?,4. 判斷函數(shù)相同,5.函數(shù)的圖形,稱為函數(shù) f ( x ) 的圖形。,在平面上建立直角坐標(biāo)系O x y，則 x y 平面上的點集,是否所有的函數(shù)均可繪出幾何圖形？,單調(diào)性,有界性,奇偶性,周期性,三、函數(shù)的基本性質(zhì),1.單調(diào)性,在不需要區(qū)別上面兩種情況時，一般將統(tǒng)稱為函數(shù)在區(qū)間 I 上單調(diào)增加, 記為 。,在不需要區(qū)別上面兩種情況時，一般將統(tǒng)稱為函數(shù)在區(qū)間 I 上單調(diào)減少, 記為 。,函數(shù)的單調(diào)性是一個局部性的 性質(zhì), 它與所討論的區(qū)間I 有關(guān).,畫畫圖就一目了然.,我們以后將運用微積分的方法研究函數(shù)的單調(diào)性。,2. 有界性,有界性,有 界,有上界,有下界,設(shè)函數(shù) y = f ( x ) 在區(qū)間 I 上有定義。,若存在實數(shù) A , B , 使對一切 x I 恒有,A f ( x ) B,則稱函數(shù) y = f ( x ) 在區(qū)間 I 上有界。,否則, 稱函數(shù) y = f ( x ) 在區(qū)間 I 上無界。,函數(shù)有界性的定義,y = f ( x ),x,x,y,y,A,A,B,B,O,O,y = f ( x ),函數(shù) y = f ( x ) 在區(qū)間 I 上有界,成立，則稱函數(shù) y = f ( x ),在區(qū)間 I 上是上方有界的,簡稱有上界。,設(shè)函數(shù) y = f ( x ) 在區(qū)間,I 上有定義。,若存在實數(shù) M (可正，,可負)，對一切 x I 恒有,y = f ( x ),f ( x ) M,f ( x )m,在區(qū)間 I 上是下方有界的,簡稱有下界。,設(shè)函數(shù) y = f ( x )在區(qū)間,I 上有定義。,若存在實數(shù) m (可正，,可負), 對一切 x I 恒有,成立，則稱函數(shù) y = f ( x ),y = f ( x ),函數(shù) y = f ( x ) 有界,f ( x ) 既有上界又有下界.,在區(qū)間 I 上:,無窮多個下界，所有下界中最大者稱為函數(shù)在區(qū),間 I 上的下確界，記為,無窮多個上界，所有上界中最小者稱為函數(shù)在區(qū),間 I 上的上確界，記為,有上(下)界的函數(shù)是否必有上(下)確界？,如何證明或判斷函數(shù)無界？,提一個問題：,證明或判斷無界，通常依據(jù):,易知：,在任何一個有限區(qū)間內(nèi)有界。,3. 奇偶性,若 x Df , 有,f ( x ) = f ( x ),成立，則稱 f ( x ),為偶函數(shù)。,偶函數(shù)的圖形 關(guān)于 y 軸對稱。,若 x Df , 有,f ( x ) = f ( x ),成立，則稱 f ( x ),為奇函數(shù)。,奇函數(shù)的圖形 關(guān)于坐標(biāo)原點對稱。,設(shè)函數(shù) y = f ( x ) 的定義域 Df 關(guān)于坐標(biāo)原點對稱。,哪些是奇函數(shù),哪些是偶函數(shù):,指出下列函數(shù)在其定義域內(nèi),在關(guān)于坐標(biāo)原點對稱的區(qū)間 I 內(nèi)：,兩個偶(奇)函數(shù)之和仍是一偶(奇)函數(shù)。,兩個偶(奇)函數(shù)之積均為一個偶函數(shù)。,一個偶函數(shù)與一個奇函數(shù)之積是一個奇函數(shù)。,的形式。,在關(guān)于坐標(biāo)原點對稱的區(qū)間 I 內(nèi)有,定義的任何一個函數(shù) f ( x )，均可表示為,區(qū)間 I 內(nèi)的一個偶函數(shù)與一個奇函數(shù)之和,4. 周期性,則稱 f ( x )為周期函數(shù)， 稱為函數(shù) f ( x ),設(shè)函數(shù) y = f ( x ) , x (, ) 。,若存在 0 , 對一切 x (, ) 恒有,y = f ( x ) = f ( x ) ,的一個周期。,如果一個周期函數(shù)有最小正周期,存在, 記為,則稱 T 為周期函數(shù)的周期。,T = min , 0,通常所說的周期是,故稱正弦函數(shù) y = sinx 的周期為2 。, = 2k ( k Z 且 k 0) 均為函數(shù),y = sin x 的周期, 而它的最小正周期為,T = min 2k = 2 kZ+,截尾周期函數(shù)（最終周期函數(shù)）的定義：,請自己看書！,請自己看書！,請自己看書！,請自己看書！,四、基本初等函數(shù),大家在中學(xué)就已熟悉它們了！,以下六種簡單函數(shù) 稱為基本初等函數(shù),1. 常值函數(shù) y = C ( C 為常數(shù) ),2. 冪函數(shù) y = x ( R 為常數(shù) ),3. 指數(shù)函數(shù) y = a x ( a 0, a 1 ),4. 對數(shù)函數(shù) y = loga x ( a 0, a 1 ),5. 三角函數(shù) y = sin x y = cos x y = tan x y = cot x y = sec x y = csc x,6. 反三角函數(shù) y = arcsin x y = arccos y = arctan x y = arccot x y = arcsec x y = arccsc x,詳 情 見 書,四、復(fù)合函數(shù)、反函數(shù),？,如何,描述,1.復(fù)合函數(shù),的每一個 x 所對應(yīng)的 u 值，都屬于 f (u) 的定義域 Df ，,其中，u 稱為中間變量。,由函數(shù),可構(gòu)成復(fù)合函數(shù),函數(shù)復(fù)合而成 ?,它是由以下幾個函數(shù)復(fù)合而成:,以上過程稱為 對復(fù)合函數(shù)的分解,自由落體運動中,位移與時間的關(guān)系是,選時間 t 為自變量:,選位移 s 為自變量:,直接函數(shù),反函數(shù),習(xí)慣上稱,2. 反函數(shù),是一一對應(yīng) (即映射 f 是一一對應(yīng)), 稱 f 的,f 的反函數(shù).,反函數(shù)的定義,自己畫一下草圖,反函數(shù)的圖形,將函數(shù) y = f (x) 的反函數(shù)寫成 x = f 1(y) 時， 函數(shù)與其反函數(shù)的圖形相同.,將函數(shù) y = f (x) 的反函數(shù)記為 y = f 1(x) 時， 函數(shù) y = f (x) 與其反函數(shù) y = f 1(x) 的圖形關(guān)于 第、 象限的角平分線 y = x 對稱。,反函數(shù)的圖形,綜上所述，所求反函數(shù)為,故所求反函數(shù)為,增加的.,減少,減少,六、初等函數(shù),由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運算,和復(fù)合運算而成的函數(shù), 稱為初等函數(shù)。,例如,都是初等函數(shù).,一般說來, 分段函數(shù)不是初等函數(shù).,但有個別分段函數(shù)例外，例如,故該冪指函數(shù)是一個初等函數(shù).,六、雙曲函數(shù)反雙曲函數(shù),學(xué)習(xí)雙曲函數(shù)時,注意與中學(xué)學(xué)習(xí)過的 三角函數(shù)進行比較,找出它們之間有關(guān)定義 及計算公式的相同處和不同處。,1. 雙曲函數(shù)的定義及性質(zhì),雙曲正弦,雙曲余弦,雙曲正切,雙曲余切,雙曲正割,雙曲余割,懸鏈線,雙曲正弦函數(shù)是奇函數(shù),雙曲余弦函數(shù)是偶函數(shù),y = cth x,y = th x,雙曲正切函數(shù)是奇函數(shù),2. 常用的公式,(1) 反雙曲正弦函數(shù),習(xí)慣上寫成,x (, )。,雙曲正弦函數(shù) y = sh x 是 (, ) 到,(, ) 的一一對應(yīng), 故它的反函數(shù)存在,通過初