全國高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題七系列4選講第1講坐標(biāo)系與參數(shù)方程學(xué)案理.doc

第1講坐標(biāo)系與參數(shù)方程考情考向分析高考主要考查平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換、直線和圓的極坐標(biāo)方程、參數(shù)方程與普通方程的互化、常見曲線的參數(shù)方程及參數(shù)方程的簡單應(yīng)用以極坐標(biāo)、參數(shù)方程與普通方程的互化為主要考查形式，同時(shí)考查直線與曲線的位置關(guān)系等解析幾何知識熱點(diǎn)一極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的互化把直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)作為極點(diǎn)，x軸的正半軸作為極軸，且在兩坐標(biāo)系中取相同的長度單位如圖，設(shè)M是平面內(nèi)的任意一點(diǎn)，它的直角坐標(biāo)、極坐標(biāo)分別為(x，y)和(，)，則例1(2018佛山模擬)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為(t為參數(shù)，a0)以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C1上一點(diǎn)A的極坐標(biāo)為，曲線C2的極坐標(biāo)方程為cos .(1)求曲線C1的極坐標(biāo)方程；(2)設(shè)點(diǎn)M，N在C1上，點(diǎn)P在C2上(異于極點(diǎn))，若O，M，P，N四點(diǎn)依次在同一條直線l上，且|MP|，|OP|，|PN|成等比數(shù)列，求 l的極坐標(biāo)方程解(1)曲線C1的直角坐標(biāo)方程為(xa)2y23，化簡得x2y22axa230.又x2y22，xcos ，所以22acos a230.代入點(diǎn)，得a2a20，解得a2或a1(舍去)所以曲線C1的極坐標(biāo)方程為24cos 10.(2)由題意知，設(shè)直線l的極坐標(biāo)方程為(R)，設(shè)點(diǎn)M，N，P，則13b0)的參數(shù)方程為(為參數(shù))(2)拋物線y22px(p0)的參數(shù)方程為(t為參數(shù))例2(2018全國)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，O的參數(shù)方程為(為參數(shù))，過點(diǎn)(0，)且傾斜角為的直線l與O交于A，B兩點(diǎn)(1)求的取值范圍；(2)求AB中點(diǎn)P的軌跡的參數(shù)方程解(1)O的直角坐標(biāo)方程為x2y21.當(dāng)時(shí)，l與O交于兩點(diǎn)當(dāng)時(shí)，記tan k，則l的方程為ykx.l與O交于兩點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)1，解得k1，即或.綜上，的取值范圍是.(2)l的參數(shù)方程為.設(shè)A，B，P對應(yīng)的參數(shù)分別為tA，tB，tP，則tP，且tA，tB滿足t22tsin 10.于是tAtB2sin ，tPsin .又點(diǎn)P的坐標(biāo)(x，y)滿足所以點(diǎn)P的軌跡的參數(shù)方程是.思維升華(1)將參數(shù)方程化為普通方程，需要根據(jù)參數(shù)方程的結(jié)構(gòu)特征，選取適當(dāng)?shù)南麉⒎椒ǔＲ姷南麉⒎椒ㄓ写胂麉⒎ā⒓訙p消參法、平方消參法等(2)將參數(shù)方程化為普通方程時(shí)，要注意兩種方程的等價(jià)性，不要增解、漏解，若x，y有范圍限制，要標(biāo)出x，y的取值范圍跟蹤演練2(2018北京朝陽區(qū)模擬)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，點(diǎn)M的極坐標(biāo)是.(1)求直線l的普通方程；(2)求直線l上的點(diǎn)到點(diǎn)M距離最小時(shí)的點(diǎn)的直角坐標(biāo)解(1)直線l的普通方程為3xy60.(2)點(diǎn)M的直角坐標(biāo)是(1，)，過點(diǎn)M作直線l的垂線，垂足為M，則點(diǎn)M即為所求的直線l上到點(diǎn)M距離最小的點(diǎn)直線MM的方程是y(x1)，即yx.由解得所以直線l上到點(diǎn)M距離最小的點(diǎn)的直角坐標(biāo)是.熱點(diǎn)三極坐標(biāo)、參數(shù)方程的綜合應(yīng)用解決與圓、圓錐曲線的參數(shù)方程有關(guān)的綜合問題時(shí)，要注意普通方程與參數(shù)方程的互化公式，主要是通過互化解決與圓、圓錐曲線上動(dòng)點(diǎn)有關(guān)的問題，如最值、范圍等例3(2018泉州質(zhì)檢)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為(為參數(shù))，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，射線m：(0)(1)求C和l的極坐標(biāo)方程；(2)設(shè)點(diǎn)A是m與C的一個(gè)交點(diǎn)(異于原點(diǎn))，點(diǎn)B是m與l的交點(diǎn)，求的最大值解(1)曲線C的普通方程為(x1)2y21，由得22sin21，化簡得C的極坐標(biāo)方程為2cos .因?yàn)閘的普通方程為xy40，所以極坐標(biāo)方程為cos sin 40，所以l的極坐標(biāo)方程為sin2.(2)設(shè)A(1，)，B(2，)，則2cos (sin cos cos2)sin，由射線m與C，直線l相交，則不妨設(shè)，則2，所以當(dāng)2，即時(shí)，取得最大值，即max.思維升華(1)利用參數(shù)方程解決問題，要理解參數(shù)的幾何意義(2)在解決直線、圓和圓錐曲線的有關(guān)問題時(shí)，常常將極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程或?qū)?shù)方程化為普通方程，有助于認(rèn)識方程所表示的曲線，從而達(dá)到化陌生為熟悉的目的，這是轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用跟蹤演練3(2018黑龍江省哈爾濱師范大學(xué)附屬中學(xué)模擬)在平面直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，以x軸的正半軸為極軸且取相同的單位長度建立極坐標(biāo)系，曲線C1的極坐標(biāo)方程為2cos .(1)若曲線C2的參數(shù)方程為(為參數(shù))，求曲線C1的直角坐標(biāo)方程和曲線C2的普通方程；(2)若曲線C2的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，A(0,1)，且曲線C1與曲線C2的交點(diǎn)分別為P，Q，求的取值范圍解(1)2cos ，22cos ，又2x2y2，cos x，曲線C1的直角坐標(biāo)方程為x2y22x0，曲線C2的普通方程為x2(y1)2t2.(2)將C2的參數(shù)方程(t為參數(shù))代入C1的方程x2y22x0，得t2(2sin 2cos )t10.(2sin 2cos )248sin240，sin.t1t2(2sin 2cos )2sin，t1t210，t1t210，t1，t2同號，|t1|t2|t1t2|.由點(diǎn)A在曲線C2上，根據(jù)t的幾何意義，可得2(2,2(2,2真題體驗(yàn)1(2018全國)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的方程為yk|x|2.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為22cos 30.(1)求C2的直角坐標(biāo)方程；(2)若C1與C2有且僅有三個(gè)公共點(diǎn)，求C1的方程解(1)由xcos ，ysin ，得C2的直角坐標(biāo)方程為(x1)2y24.(2)由(1)知C2是圓心為A(1,0)，半徑為2的圓由題設(shè)知，C1是過點(diǎn)B(0,2)且關(guān)于y軸對稱的兩條射線記y軸右側(cè)的射線為l1，y軸左側(cè)的射線為l2.由于點(diǎn)B在圓C2的外部，故C1與C2有且僅有三個(gè)公共點(diǎn)等價(jià)于l1與C2只有一個(gè)公共點(diǎn)且l2與C2有兩個(gè)公共點(diǎn)，或l2與C2只有一個(gè)公共點(diǎn)且l1與C2有兩個(gè)公共點(diǎn)當(dāng)l1與C2只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)A到l1所在直線的距離為2，所以2，故k或k0.經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)k0時(shí)，l1與C2沒有公共點(diǎn)；當(dāng)k時(shí)，l1與C2只有一個(gè)公共點(diǎn)，l2與C2有兩個(gè)公共點(diǎn)，滿足題意當(dāng)l2與C2只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)A到l2所在直線的距離為2，所以2，故k0或k.經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)k0時(shí)，l1與C2沒有公共點(diǎn)；當(dāng)k時(shí)，l2與C2沒有公共點(diǎn)綜上，所求C1的方程為y|x|2.2(2017全國)在直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C1的極坐標(biāo)方程為cos 4.(1)M為曲線C1上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P在線段OM上，且滿足|OM|OP|16，求點(diǎn)P的軌跡C2的直角坐標(biāo)方程；(2)設(shè)點(diǎn)A的極坐標(biāo)為，點(diǎn)B在曲線C2上，求OAB面積的最大值解(1)設(shè)點(diǎn)P的極坐標(biāo)為(，)(0)，點(diǎn)M的極坐標(biāo)為(1，)(10)，由題設(shè)知，|OP|，|OM|1.由|OM|OP|16，得C2的極坐標(biāo)方程4cos (0)所以C2的直角坐標(biāo)方程為(x2)2y24(x0)(2)設(shè)點(diǎn)B的極坐標(biāo)為(B，)(B0)由題設(shè)知|OA|2，B4cos .于是OAB的面積S|OA|BsinAOB4cos 4cos |sin 2cos 2|22.當(dāng)2，即時(shí)，S取得最大值2，所以O(shè)AB面積的最大值為2.押題預(yù)測1已知曲線C的極坐標(biāo)方程是4cos .以極點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系，直線l的參數(shù)方程是(t是參數(shù))(1)將曲線C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；(2)若直線l與曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，且|AB|，求直線的傾斜角的值押題依據(jù)極坐標(biāo)方程和參數(shù)方程的綜合問題一直是高考命題的熱點(diǎn)本題考查了等價(jià)轉(zhuǎn)換思想，代數(shù)式變形能力，邏輯推理能力，是一道頗具代表性的題解(1)由4cos ，得24cos .因?yàn)閤2y22，xcos ，所以x2y24x，即曲線C的直角坐標(biāo)方程為(x2)2y24.(2)將代入圓的方程(x2)2y24，得(tcos 1)2(tsin )24，化簡得t22tcos 30.設(shè)A，B兩點(diǎn)對應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2，由根與系數(shù)的關(guān)系，得所以|AB|t1t2|，故4cos21，解得cos .因?yàn)橹本€的傾斜角0，)，所以或.2在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1：(為參數(shù))，其中ab0.以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C2：2cos ，射線l：(0)若射線l與曲線C1交于點(diǎn)P，當(dāng)0時(shí)，射線l與曲線C2交于點(diǎn)Q，|PQ|1；當(dāng)時(shí)，射線l與曲線C2交于點(diǎn)O，|OP|.(1)求曲線C1的普通方程；(2)設(shè)直線l：(t為參數(shù)，t0)與曲線C2交于點(diǎn)R，若，求OPR的面積押題依據(jù)將橢圓和直線的參數(shù)方程、圓和射線的極坐標(biāo)方程相交匯，考查相應(yīng)知識的理解和運(yùn)用，解題中，需要將已知條件合理轉(zhuǎn)化，靈活變形，符合高考命題趨勢解(1)因?yàn)榍€C1的參數(shù)方程為(為參數(shù))，且ab0，所以曲線C1的普通方程為1，而其極坐標(biāo)方程為1.將0(0)代入1，得a，即點(diǎn)P的極坐標(biāo)為；將0(0)代入2cos ，得2，即點(diǎn)Q的極坐標(biāo)為(2,0)因?yàn)閨PQ|1，所以|PQ|a2|1，所以a1或a3.將(0)代入1，得b，即點(diǎn)P的極坐標(biāo)為，因?yàn)閨OP|，所以b.又因?yàn)閍b0，所以a3，所以曲線C1的普通方程為1.(2)因?yàn)橹本€l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)，t0)，所以直線l的普通方程為yx(x0)，而其極坐標(biāo)方程為(R，0)，所以將直線l的方程代入曲線C2的方程2cos ，得1，即|OR|1.因?yàn)閷⑸渚€l的方程(0)代入曲線C1的方程1，得，即|OP|，所以SOPR|OP|OR|sinPOR1sin .A組專題通關(guān)1(2018百校聯(lián)盟TOP20聯(lián)考)已知平面直角坐標(biāo)系中，曲線C的參數(shù)方程為(為參數(shù))，直線l1：x0，直線l2：xy0，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系(1)寫出曲線C和直線l1，l2的極坐標(biāo)方程；(2)若直線l1與曲線C交于O，A兩點(diǎn)，直線l2與曲線C交于O，B兩點(diǎn)，求|AB|.解(1)依題意知，曲線C：(x1)225，即x22xy24y0，將xcos ，ysin 代入上式，得2cos 4sin .因?yàn)橹本€l1：x0，直線l2：xy0，故直線l1，l2的極坐標(biāo)方程為l1：(R)，l2：(R)(2)設(shè)A，B兩點(diǎn)對應(yīng)的極徑分別為1，2，在2cos 4sin 中，令，得12cos4sin4，令，得22cos4sin3，因?yàn)?，所以|AB|.2(2018衡水金卷模擬)以平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，取相同的長度單位建立極坐標(biāo)系，已知直線l的極坐標(biāo)方程是sin1，圓C的參數(shù)方程為(為參數(shù)，r0)(1)若直線l與圓C有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)r的取值范圍；(2)當(dāng)r2時(shí)，過點(diǎn)D(2,0)且與直線l平行的直線l交圓C于A，B兩點(diǎn)，求的值解(1)由sin1，得1，即yx1，故直線l的直角坐標(biāo)方程為xy20.由得所以圓C的普通方程為(x1)2y2r2.若直線l與圓C有公共點(diǎn)，則圓心(1,0)到直線l的距離dr，即r，故實(shí)數(shù)r的取值范圍為.(2)因?yàn)橹本€l的傾斜角為，且過點(diǎn)D(2,0)，所以直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，圓C的直角坐標(biāo)方程為(x1)2y24，聯(lián)立，得t2t30，設(shè)A，B兩點(diǎn)對應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2，則t1t21，t1t230且a1)，點(diǎn)P的軌跡為曲線C2.(1)求曲線C2的方程，并說明C2是什么曲線；(2)在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，A點(diǎn)的極坐標(biāo)為，射線與C2的異于極點(diǎn)的交點(diǎn)為B，已知AOB面積的最大值為42，求a的值解(1)設(shè)P(x，y)，M，由a，得點(diǎn)M在C1上，即(為參數(shù))，消去參數(shù)，得2y24a2(a0且a1)曲線C2是以為圓心，以2a為半徑的圓(2)方法一A點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(1，)，直線OA的普通方程為yx，即xy0.設(shè)B點(diǎn)坐標(biāo)為(2a2acos ，2asin )，則B點(diǎn)到直線xy0的距離da.當(dāng)時(shí)，dmax(2)a.SAOB的最大值為2(2)a42，a2.方法二將xcos ，ysin 代入2y24a2，并整理得4acos ，令，得4acos .B.SAOB|OA|OB|sinAOB4acos a|2sin cos 2cos2|a|sin 2cos 2|a，當(dāng)時(shí)，SAOB取得最大值(2)a，依題意知(2)a42，a2.5(2018河南省南陽市第一中學(xué)考試)在直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系已知曲線M的參數(shù)方程為(為參數(shù))，l1，l2為過點(diǎn)O的兩條直線，l1交M于A，B兩點(diǎn)，l2交M于C，D兩點(diǎn)，且l1的傾斜角為，AOC.(1)求l1和M的極坐標(biāo)方程；(2)當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)O到A，B，C，D四點(diǎn)的距離之和的最大值解(1)依題意知，直線l1的極坐標(biāo)方程為(R)，由消去，得(x1)2(y1)21，將xcos ，ysin 代入上式，得22cos 2sin 10，故M的極坐標(biāo)方程為22cos 2sin 10.(2)依題意可設(shè)A(1，)，B(2，)，C，D，且1，2，3，4均為正數(shù)，將代入22cos 2sin 10，得22(cos sin )10，所以122(cos sin )，同理可得，342，所以點(diǎn)O到A，B，C，D四點(diǎn)的距離之和為12342(cos sin )2(1)sin (3)cos 2(1)sin，因?yàn)?，所以，所以?dāng)sinsin1，即時(shí)，1234取得最大值22，所以點(diǎn)O到A，B，C，D四點(diǎn)距離之和的最大值為22.B組能力提高6在直角坐標(biāo)系xOy中，已知曲線E經(jīng)過點(diǎn)P，其參數(shù)方程為(為參數(shù))，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系(1)求曲線E的極坐標(biāo)方程；(2)若直線l交E于點(diǎn)A，B，且OAOB，求證：為定值，并求出這個(gè)定值解(1)將點(diǎn)P代入曲線E的方程，得解得a23，所以曲線E的普通方程為1，極坐標(biāo)方程為21.(2)不妨設(shè)點(diǎn)A，B的極坐標(biāo)分別為A(1，)，B，10，20，則即所以，即，所以為定值.7已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立