全國高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題三概率與統(tǒng)計第1講計數(shù)原理學(xué)案理.doc

第1講計數(shù)原理考情考向分析1.高考中主要利用計數(shù)原理求解排列數(shù)、涂色、抽樣問題，以小題形式考查.2.二項式定理主要考查通項公式、二項式系數(shù)等知識，近幾年也與函數(shù)、不等式、數(shù)列交匯，值得關(guān)注熱點一兩個計數(shù)原理分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理如果每種方法都能將規(guī)定的事件完成，則要用分類加法計數(shù)原理，將方法種數(shù)相加；如果需要通過若干步才能將規(guī)定的事件完成，則要用分步乘法計數(shù)原理，將各步的方法種數(shù)相乘例1(1)(2018濰坊模擬)中國古代中的“禮、樂、射、御、書、數(shù)”合稱“六藝”“禮”，主要指德育；“樂”，主要指美育；“射”和“御”，就是體育和勞動；“書”，指各種歷史文化知識；“數(shù)”，數(shù)學(xué)某校國學(xué)社團(tuán)開展“六藝”課程講座活動，每藝安排一節(jié)，連排六節(jié)，一天課程講座排課有如下要求：“數(shù)”必須排在前三節(jié)，且“射”和“御”兩門課程相鄰排課，則“六藝”課程講座不同的排課順序共有()A120種 B156種C188種 D240種答案A解析當(dāng)“數(shù)”排在第一節(jié)時有AA48(種)排法，當(dāng)“數(shù)”排在第二節(jié)時有AAA36(種)排法，當(dāng)“數(shù)”排在第三節(jié)時，若“射”和“御”兩門課程排在第一、二節(jié)時有AA12(種)排法；若“射”和“御”兩門課程排在后三節(jié)時有AAA24(種)排法，所以滿足條件的共有48361224120(種)排法(2)若自然數(shù)n使得作豎式加法n(n1)(n2)均不產(chǎn)生進(jìn)位現(xiàn)象，則稱n為“開心數(shù)”例如：32是“開心數(shù)”因為323334不產(chǎn)生進(jìn)位現(xiàn)象；23不是“開心數(shù)”，因為232425產(chǎn)生進(jìn)位現(xiàn)象，那么，小于100的“開心數(shù)”的個數(shù)為()A9 B10 C11 D12答案D解析根據(jù)題意個位數(shù)需要滿足要求：n(n1)(n2)10，即n2.3，個位數(shù)可取0,1,2三個數(shù)，十位數(shù)需要滿足：3n10，n3.3，十位可以取0,1,2,3四個數(shù)，故小于100的“開心數(shù)”共有3412(個)思維升華(1)在應(yīng)用分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理時，一般先分類再分步，每一步當(dāng)中又可能用到分類加法計數(shù)原理(2)對于復(fù)雜的兩個原理綜合使用的問題，可恰當(dāng)列出示意圖或表格，使問題形象化、直觀化跟蹤演練1(1)某微信群中有甲、乙、丙、丁、戊五個人玩搶紅包游戲，現(xiàn)有4個紅包，每人最多搶一個，且紅包被全部搶完，4個紅包中有2個6元，1個8元，1個10元(紅包中金額相同視為相同紅包)，則甲、乙都搶到紅包的情況有()A18種 B24種C36種 D48種答案C解析若甲、乙搶的是一個6元和一個8元的，剩下2個紅包被剩下的3人中的2個人搶走，有AA12(種)搶法；若甲、乙搶的是一個6元和一個10元的，剩下2個紅包被剩下的3人中的2個人搶走，有AA12(種)搶法；若甲、乙搶的是一個8元和一個10元的，剩下2個紅包被剩下的3人中的2個人搶走，有AC6(種)搶法；若甲、乙搶的是兩個6元的，剩下2個紅包被剩下的3人中的2個人搶走，有A6(種)搶法根據(jù)分類加法計數(shù)原理可得甲、乙都搶到紅包的情況共有36種(2)(2018百校聯(lián)盟聯(lián)考)某山區(qū)希望小學(xué)為豐富學(xué)生的伙食，教師們在校園附近開辟了如圖所示的四塊菜地，分別種植西紅柿、黃瓜、茄子三種產(chǎn)量大的蔬菜，若這三種蔬菜種植齊全，同一塊地只能種植一種蔬菜，且相鄰的兩塊地不能種植相同的蔬菜，則不同的種植方式共有()1234A.9種 B18種 C12種 D36種答案B解析若種植2塊西紅柿，則他們在13,14或24位置上種植，剩下兩個位置種植黃瓜和茄子，所以共有326(種)種植方式；若種植2塊黃瓜或2塊茄子也是3種種植方式，所以一共有6318(種)種植方式熱點二排列與組合名稱排列組合相同點都是從n個不同元素中取m(mn)個元素，元素?zé)o重復(fù)不同點排列與順序有關(guān)；兩個排列相同，當(dāng)且僅當(dāng)這兩個排列的元素及其排列順序完全相同組合與順序無關(guān)；兩個組合相同，當(dāng)且僅當(dāng)這兩個組合的元素完全相同例2(1)(2018哈師大附中、東北師大附中、遼寧省實驗中學(xué)聯(lián)考)將7個座位連成一排，安排4個人就座，恰有兩個空位相鄰的不同坐法有()A240種 B480種C720種 D960種答案B解析12或67為空位時，第三個空位有4種選擇；23或34或45或56為空位時，第三個空位有3種選擇，因此空位共有244320(種)，所以不同坐法有20A480(種)(2)5位大學(xué)畢業(yè)生分配到3家單位，每家單位至少錄用1人，則不同的分配方法共有()A25種 B60種 C90種 D150種答案D解析因為5位大學(xué)畢業(yè)生分配到3家單位，每家單位至少錄用1人，所以共有兩種方法：一，一個單位1名，其他兩個單位各2名，有A90(種)分配方法；二，一個單位3名，其他兩個單位各1名，有CA60(種)分配方法，共有9060150(種)分配方法思維升華求解排列、組合問題的思路：排組分清，加乘明確；有序排列，無序組合；分類相加，分步相乘具體地說，解排列、組合的應(yīng)用題，通常有以下途徑(1)以元素為主體，即先滿足特殊元素的要求，再考慮其他元素(2)以位置為主體，即先滿足特殊位置的要求，再考慮其他位置(3)先不考慮附加條件，計算出排列數(shù)或組合數(shù)，再減去不符合要求的排列數(shù)或組合數(shù)解答計數(shù)問題多利用分類討論思想分類應(yīng)在同一標(biāo)準(zhǔn)下進(jìn)行，確?！安宦?、“不重”跟蹤演練2(1)(2018北京市建華實驗學(xué)校模擬)甲、乙、丙、丁、戊共5人排成一排照相合影，如果甲、乙必須在丙的同側(cè)，則不同的排法有_種答案80解析由題意先將甲乙捆綁在一起有A種排法，再與丙一起排列一共有AA種排法，然后再將丁戊插入共有AACC80(種)排法(2)(2018湖南省長沙市雅禮中學(xué)、河南省實驗中學(xué)聯(lián)考)鄭州綠博園花展期間，安排6位志愿者到四個展區(qū)提供服務(wù)，要求甲、乙兩個展區(qū)各安排一個人，剩下兩個展區(qū)各安排兩個人，其中的小李和小王不在一起，不同的安排方案共有()A168種 B156種C172種 D180種答案B解析分類：(1)小李和小王去甲、乙，共有ACC12(種)；(2)小王、小李一人去甲、乙，共CCCC96(種)；(3)小王、小李均沒有去甲、乙，共AA48(種)，總共N129648156(種)安排方案熱點三二項式定理(ab)nCanCan1bCankbkCbn，其中各項的系數(shù)C(k0,1，n)叫做二項式系數(shù)；展開式中共有n1項，其中第k1項Tk1Cankbk(其中0kn，kN，nN*)稱為二項展開式的通項公式例3(1)(2018揭陽模擬)已知(x1)5的展開式中常數(shù)項為40，則a的值為()A2 B2 C2 D4答案C解析5展開式的通項公式為Tk1C(ax)5kk(1)ka5kCx52k，令52k1，可得k3，結(jié)合題意可得(1)3a53C40，即10a240，a2.(2)已知(12x)2 017a0a1(x1)a2(x1)2a2 016(x1)2 016a2 017(x1)2 017(xR)，則a12a23a34a42 016a2 0162 017a2 017等于()A2 017 B4 034 C4 034 D0答案C解析因為(12x)2 017a0a1(x1)a2(x1)2a2 016(x1)2 016a2 017(x1)2 017(xR)，兩邊同時求導(dǎo)可得22 017(12x)2 016a12a2(x1)2 016a2 016(x1)2 0152 017a2 017(x1)2 016(xR)，令x0，則22 017a12a22 016a2 0162 017a2 0174 034.思維升華(1)在應(yīng)用通項公式時，要注意以下幾點：它表示二項展開式的任意項，只要n與k確定，該項就隨之確定；Tk1是展開式中的第k1項，而不是第k項；公式中，a，b的指數(shù)和為n，且a，b不能隨便顛倒位置；對二項式(ab)n的展開式的通項公式要特別注意符號問題(2)在二項式定理的應(yīng)用中，“賦值思想”是一種重要方法，是處理組合數(shù)問題、系數(shù)問題的經(jīng)典方法跟蹤演練3(1)(2018龍巖質(zhì)檢)已知二項式4，則展開式的常數(shù)項為()A1 B1 C47 D49答案B解析二項式441462434，二項式中的常數(shù)項產(chǎn)生在1,62，4中，分別是1,62，C22，它們的和為124241.(2)n的展開式中，各項系數(shù)之和為A，各項的二項式系數(shù)之和為B，若32，則n等于()A5 B6 C7 D8答案A解析令x1，得各項系數(shù)之和為A4n，二項式系數(shù)之和為B2n，故32，解得n5.真題體驗1(2017全國改編)安排3名志愿者完成4項工作，每人至少完成1項，每項工作由1人完成，則不同的安排方式共有_種答案36解析由題意可得，其中1人必須完成2項工作，其他2人各完成1項工作，可得安排方式為CCA36(種)，或列式為CCC3236(種)2(2016上海)在n的二項展開式中，所有項的二項式系數(shù)之和為256，則常數(shù)項等于_答案112解析由2n256，得n8，通項公式Tk1CkC(2)k，令0，得k2，則常數(shù)項為C(2)2112.3(2017浙江)已知多項式(x1)3(x2)2x5a1x4a2x3a3x2a4xa5，則a4_，a5_.答案164解析a4是x項的系數(shù)，由二項式的展開式得a4CC2CC2216.a5是常數(shù)項，由二項式的展開式得a5CC224.4(2017浙江)從6男2女共8名學(xué)生中選出隊長1人，副隊長1人，普通隊員2人組成4人服務(wù)隊，要求服務(wù)隊中至少有1名女生，共有_種不同的選法(用數(shù)字作答)答案660解析方法一只有1名女生時，先選1名女生，有C種方法；再選3名男生，有C種方法；然后排隊長、副隊長位置，有A種方法由分步乘法計數(shù)原理，知共有CCA480(種)選法有2名女生時，再選2名男生，有C種方法；然后排隊長、副隊長位置，有A種方法由分步乘法計數(shù)原理，知共有CA180(種)選法所以依據(jù)分類加法計數(shù)原理知共有480180660(種)不同的選法方法二不考慮限制條件，共有AC種不同的選法，而沒有女生的選法有AC種，故至少有1名女生的選法有ACAC840180660(種)押題預(yù)測1某電視臺一節(jié)目收視率很高，現(xiàn)要連續(xù)插播4個廣告，其中2個不同的商業(yè)廣告和2個不同的公益宣傳廣告，要求最后播放的必須是商業(yè)廣告，且2個商業(yè)廣告不能連續(xù)播放，則不同的播放方式有()A8種 B16種C18種 D24種押題依據(jù)兩個計數(shù)原理是解決排列、組合問題的基礎(chǔ)，也是高考考查的熱點答案A解析可分三步：第一步，最后一個排商業(yè)廣告有A種方法；第二步，在前兩個位置選一個排第二個商業(yè)廣告有A種方法；第三步，余下的兩個排公益宣傳廣告有A種方法根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，可得不同的播放方式共有AAA8(種)2為配合足球國家戰(zhàn)略，教育部特派6名相關(guān)專業(yè)技術(shù)人員到甲、乙、丙三所足校進(jìn)行專業(yè)技術(shù)培訓(xùn)，每所學(xué)校至少一人，其中王教練不去甲校的分配方案種數(shù)為()A60 B120C240 D360押題依據(jù)排列、組合的綜合問題是常見的考查形式，解決問題的關(guān)鍵是先把問題正確分類答案D解析6名相關(guān)專業(yè)技術(shù)人員到三所足校，每所學(xué)校至少一人，可能的分組情況為4,1,1；3,2,1；2,2,2.(1)對于第一種情況，由于王教練不去甲校，王教練自己去一個學(xué)校有C種，其余5名分成一人組和四人組有CA種，共CAC20(種)；王教練分配到四人組且該組不去甲校有CCA40(種)，則第一種情況共有204060(種)(2)對于第二種情況，王教練分配到一人組有CCAC40(種)，王教練分配到三人組有CCCA120(種)，王教練分配到兩人組有CCCA80(種)，所以第二種情況共有4080120240(種)(3)對于第三種情況，共有CCCC60(種)綜上所述，共有6024060360(種)分配方案3設(shè)(12x)7a0a1xa2x2a3x3a4x4a5x5a6x6a7x7，則代數(shù)式a12a23a34a45a56a67a7的值為()A14 B7C7 D14押題依據(jù)二項式定理作為選擇題或填空題設(shè)計，屬于必考試題，一般試題難度有所控制，考查常數(shù)項、指定項的系數(shù)、最值、系數(shù)和等類型，本題設(shè)計角度新穎、典型，有代表性答案A解析對已知等式的兩邊求導(dǎo)，得14(12x)6a12a2x3a3x24a4x35a5x46a6x57a7x6，令x1，有a12a23a34a45a56a67a714.4(12x)10的展開式中系數(shù)最大的項是_押題依據(jù)二項展開式中的系數(shù)是歷年高考的熱門考題，本題通過求解系數(shù)最大的項，考查考生的運(yùn)算求解能力答案15 360x7解析設(shè)第k1項的系數(shù)最大，由通項公式Tk1C2kxk，依題意知Tk1項的系數(shù)不小于Tk項及Tk2項的系數(shù)，即解得所以k，即k7.故最大的項為T8C27x715 360x7.A組專題通關(guān)1(2018全國)5的展開式中x4的系數(shù)為()A10 B20 C40 D80答案C解析5的展開式的通項公式為Tk1C(x2)5kkC2kx103k，令103k4，得k2.故展開式中x4的系數(shù)為C2240.2在新一輪的素質(zhì)教育要求下，各地高中陸陸續(xù)續(xù)開展了選課走班的活動，已知某高中學(xué)校提供了3門選修課供該校學(xué)生選擇，現(xiàn)有5名同學(xué)參加該校選課走班的活動，要求這5名同學(xué)每人選修一門課程且每門課程都有人選，則這5名同學(xué)選課的種數(shù)為()A120 B150C240 D540答案B解析因為將5個人分成3組有兩種情形，5311,5221，所以這5名同學(xué)選課的種數(shù)為A150，故選B.3(2018北京豐臺區(qū)模擬)某學(xué)校為了弘揚(yáng)中華傳統(tǒng)“孝”文化，共評選出2位男生和2位女生為校園“孝”之星，現(xiàn)將他們的照片展示在宣傳欄中，要求同性別的同學(xué)不能相鄰，不同的排法種數(shù)為()A4 B8 C12 D24答案B解析由題意，現(xiàn)對兩位男生全排列，共有A2(種)不同的方式，其中兩個男生構(gòu)成三個空隙，把兩位女生排在前兩個空隙或后兩個空隙中，再進(jìn)行全排列，共有2A4(種)不同的方式，所以滿足條件的不同的排法種數(shù)為248.4將A，B，C，D，E這5名同學(xué)從左至右排成一排，則A與B相鄰且A與C之間恰好有一名同學(xué)的排法有()A18種 B20種C21種 D22種答案B解析當(dāng)A，C之間為B時，看成一個整體進(jìn)行排列，共有AA12(種)，當(dāng)A，C之間不是B時，先在A，C之間插入D，E中的任意一個，然后B在A之前或之后，再將這四個人看成一個整體，與剩余一個進(jìn)行排列，共有CAA8(種)，所以共有20種不同的排法5(2018永州模擬)3的展開式中的常數(shù)項為()A6 B6 C12 D18答案D解析由二項式3的通項公式為Tk1C3kx32k，當(dāng)32k1時，解得k1，當(dāng)32k1時，解得k2，所以展開式中的常數(shù)項為C31C3292718.6(2018吉林調(diào)研)若n的展開式中只有第7項的二項式系數(shù)最大，則展開式中含x2項的系數(shù)是()A462 B462C792 D792答案D解析n的展開式中只有第7項的二項式系數(shù)最大，n為偶數(shù)，展開式共有13項，則n12.12的展開式的通項公式為Tk1(1)kCx122k，令122k2，即k5.展開式中含x2項的系數(shù)是(1)5C792.7(2018上海黃浦區(qū)模擬)二項式40的展開式中，其中是有理項的共有()A4項 B7項C5項 D6項答案B解析二項式40的展開式中，通項公式為Tk1C40kkC，0k40，當(dāng)k0,6,12,18,24,30,36 時滿足題意，共7個8中國詩詞大會(第二季)亮點頗多，十場比賽每場都有一首特別設(shè)計的開場詩詞，在聲光舞美的配合下，百人團(tuán)齊聲朗誦，別有韻味若將進(jìn)酒、山居秋暝、望岳、送杜少府之任蜀州和另確定的兩首詩詞排在后六場，且將進(jìn)酒排在望岳的前面，山居秋暝與送杜少府之任蜀州不相鄰且均不排在最后，則后六場的排法有()A144種 B288種C360種 D720種答案A解析將進(jìn)酒、望岳和另確定的兩首詩詞進(jìn)行全排列共有A種排法，滿足將進(jìn)酒排在望岳的前面的排法共有種，再將山居秋暝與送杜少府之任蜀州插排在4個空里(最后一個空不排)，有A種排法將進(jìn)酒排在望岳的前面、山居秋暝與送杜少府之任蜀州不相鄰且均不排在最后，則后六場的排法有A144(種)9(2018全國)從2位女生，4位男生中選3人參加科技比賽，且至少有1位女生入選，則不同的選法共有_種(用數(shù)字填寫答案)答案16解析方法一按參加的女生人數(shù)可分兩類：只有1位女生參加有CC種，有2位女生參加有CC種故所求選法共有CCCC26416(種)方法二間接法從2位女生，4位男生中選3人，共有C種情況，沒有女生參加的情況有C種，故所求選法共有CC20416(種)10若(12x)2 017a0a1xa2 017x2 017(xR)，則的值為_答案1解析令等式中的x0，得a01；再令x，得a00，所以a01.11若(xy)(2xy)5a1x6a2x5ya3x4y2a4x3y3a5x2y4a6xy5a7y6，則a4_，a1a2a3a4a5a6a7_.答案402解析5的二項展開式的通項為Tk1C(2x)5k(y)kC25k(1)kx5kyk，令k3，得T440x2y3；令k2，得T380x3y2，再與xy相乘，可得x3y3的系數(shù)為408040，a440.在(xy)(2xy)5a1x6a2x5ya3x4y2a4x3y3a5x2y4a6xy5a7y6中，令xy1，得a1a2a3a4a5a6a7(11)(21)52.12元宵節(jié)燈展后，如圖懸掛有9盞不同的花燈需要取下，每次取1盞，共有_種不同取法(用數(shù)字作答)答案1 680解析1 680.B組能力提高13已知m3cosdx，則(x2y3z)m的展開式中含xm2yz項的系數(shù)等于()A180 B180 C90 D15答案B解析由于m3cosdx3sin xdx(3cos x)|6，所以(x2y3z)m(x2y3z)6(x2y)3z6，其展開式的通項為C(x2y)6k(3z)k，當(dāng)k1時，展開式中才能含有x4yz項，這時(x2y)5的展開式的通項為Cx5S(2y)S，當(dāng)s1時，含有x4y項，系數(shù)為10，故(x2y3z)6的展開式中含x4yz項的系數(shù)為C(10)3180.14為迎接中國共產(chǎn)黨十九大的到來，某校舉辦了“祖國，你好”的詩歌朗誦比賽該校高三年級準(zhǔn)備從包括甲、乙、丙在內(nèi)的7名學(xué)生中選派4名學(xué)生參加，要求甲、乙、丙這3名同學(xué)中至少有1人參加，且當(dāng)這3名同學(xué)都參加時，甲和乙的朗誦順序不能相鄰，那么選派的4名學(xué)生中不同的朗誦順序的種數(shù)為()A720 B768C810 D816答案B解析由題意知結(jié)果有三種情況(1)甲、乙、丙三名同學(xué)全參加，有CA96(種)情況，其中甲、乙相鄰的有CAA48(種)情況，所以當(dāng)甲、乙、丙三名同學(xué)全參加時，甲和乙的朗誦順序不能相鄰的有964848(種)情況；(2)甲