（浙江專(zhuān)用）2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)課時(shí)跟蹤檢測(cè)（四十一）立體幾何中的向量方法（含解析）.docx

課時(shí)跟蹤檢測(cè)（四十一） 立體幾何中的向量方法一抓基礎(chǔ)，多練小題做到眼疾手快1若直線l的方向向量為a(1,0,2)，平面的法向量為n(2,0，4)，則()AlBlCl Dl與斜交解析：選Ba(1,0,2)，n(2,0，4)，n2a，即an，l.2(2018嘉興模擬)已知A(4,1,3)，B(2，5,1)，C(3,7，5)，則平行四邊形ABCD的頂點(diǎn)D的坐標(biāo)是()A(2,4，1) B(2,3,1)C(3,1,5) D(5,13，3)解析：選D由題意知，(2，6，2)，設(shè)點(diǎn)D(x，y，z)，則(3x,7y，5z)，因?yàn)?，所以x5，y13，z3，故選D.3(2018舟山模擬)已知A(1,0,0)，B(0，1,1)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，與的夾角為120，則的值為()A B.C D解析：選C因?yàn)?1，)，所以cos 120，解得.4若平面的一個(gè)法向量為u1(3，y,2)，平面的一個(gè)法向量為u2(6，2，z)，且，則yz_.解析：因?yàn)?，所以u(píng)1u2，所以，所以y1，z4，所以yz3.答案：35(2019紹興質(zhì)檢)如圖，60的二面角的棱上有A，B兩點(diǎn)，直線AC，BD分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)，且都垂直于AB，已知AB4，AC6，BD8，則CD的長(zhǎng)為_(kāi)解析：60的二面角的棱上有A，B兩點(diǎn)，AC，BD分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)，且都垂直于AB，CDCAABBD，CAAB0，ABBD0，AB4，AC6，BD8，CD2(CAABBD)2CA2AB2BD22CABD361664268cos 12068，CD的長(zhǎng)為2.答案：26已知V為矩形ABCD所在平面外一點(diǎn)，且VAVBVCVD，.則VA與平面PMN的位置關(guān)系是_解析：如圖，設(shè)a，b，c，則acb，由題意知bc，abc.因此，共面又VA平面PMN，VA平面PMN.答案：平行二保高考，全練題型做到高考達(dá)標(biāo)1.如圖，在多面體ABC A1B1C1中，四邊形A1ABB1是正方形，ABAC，BCAB，B1C1綊BC，二面角A1 AB C是直二面角求證：(1)A1B1平面AA1C；(2)AB1平面A1C1C.證明：二面角A1 AB C是直二面角，四邊形A1ABB1為正方形，AA1平面ABC.又ABAC，BCAB，CAB90，即CAAB，AB，AC，AA1兩兩互相垂直建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ) xyz，設(shè)AB2，則A(0,0,0)，B1(0,2,2)，A1(0,0,2)，C(2,0,0)，C1(1,1,2)(1) (0,2,0)，(0,0，2)，(2,0,0)，設(shè)平面AA1C的一個(gè)法向量n(x，y，z)，則即即取y1，則n(0,1,0)2n，即n.A1B1平面AA1C.(2)易知(0,2,2)，(1,1,0)，(2,0，2)，設(shè)平面A1C1C的一個(gè)法向量m(x1，y1，z1)，則即令x11，則y11，z11，即m(1，1,1)m012(1)210，m.又AB1平面A1C1C，AB1平面A1C1C.2(2018浙江名校聯(lián)考)如圖，在直三棱柱ADFBCE中，ABBCBE2，CE2，點(diǎn)K在線段BE上(1)求證：AC平面BDE；(2)若EB4EK，求直線AK與平面BDF所成角的正弦值解：(1)證明：在直三棱柱ADFBCE中，AB平面BCE，因?yàn)锽E平面BCE，BC平面BCE，所以ABBE，ABBC.又ABBCBE2，CE2，所以BC2BE2CE2，且ACBD，所以BEBC.因?yàn)锳BBCB，所以BE平面ABCD.因?yàn)锳C平面ABCD，所以BEAC.又BDBEB，所以AC平面BDE.(2)法一：設(shè)AK交BF于點(diǎn)N，由(1)知，AB，AF，AD兩兩垂直且長(zhǎng)度都為2，所以BDF是邊長(zhǎng)為2的正三角形，所以點(diǎn)A在平面BDF內(nèi)的射影M為BDF的中心連接MN，MF，AM，如圖所示，則ANM為直線AK與平面BDF所成的角.又FM2，所以AM .因?yàn)镋B4EK，所以BK，所以AK .因?yàn)?，所以，即，解得AN.在RtANM中，sin .所以直線AK與平面BDF所成角的正弦值為.法二：由(1)知，AB，BC，BE兩兩垂直，以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，BC，BA，BE的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則B(0,0,0)，F(xiàn)(0,2,2)，A(0,2,0)，D(2，2,0)，BD(2,2,0)，BF(0,2,2)因?yàn)镋B4EK，所以K，所以AK.設(shè)平面BDF的法向量為n(x，y，z)，則即取x1，則n(1，1,1)為平面BDF的一個(gè)法向量于是sin |cosn，AK|，所以直線AK與平面BDF所成角的正弦值為.3(2018浙江名校聯(lián)考)已知長(zhǎng)方形ABCD中，AB1，AD.現(xiàn)將長(zhǎng)方形沿對(duì)角線BD折起，使ACa，得到一個(gè)四面體ABCD，如圖所示(1)試問(wèn)：在折疊的過(guò)程中，異面直線AB與CD，AD與BC能否垂直？若能垂直，求出相應(yīng)的a值；若不垂直，請(qǐng)說(shuō)明理由(2)當(dāng)四面體ABCD的體積最大時(shí)，求二面角ACDB的余弦值解：(1)若ABCD，因?yàn)锳BAD，ADCDD，所以AB平面ACD，所以ABAC.即AB2a2BC2，即12a2()2，所以a1.若ADBC，因?yàn)锳DAB，ABBCB，所以AD平面ABC，所以ADAC.即AD2a2CD2，即()2a212，所以a21，無(wú)解故ADBC不成立(2)要使四面體ABCD的體積最大，因?yàn)锽CD的面積為定值，所以只需三棱錐ABCD的高最大即可，此時(shí)平面ABD平面BCD，過(guò)點(diǎn)A作AOBD于點(diǎn)O，則AO平面BCD，以O(shè)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz(如圖)，則易知A，C，D，顯然，平面BCD的一個(gè)法向量為.設(shè)平面ACD的法向量為n(x，y，z)因?yàn)?，所以令y，得n(1，2)故cos ，n.所以二面角ACDB的余弦值為.4如圖，在四棱錐SABCD中，ABCD，BCCD，側(cè)面SAB為等邊三角形，ABBC2，CDSD1.(1)證明：SD平面SAB；(2)求AB與平面SBC所成角的正弦值解：(1)證明：以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線CD為x軸正半軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Cxyz，則D(1,0,0)，A(2,2,0)，B(0,2,0)設(shè)S(x，y，z)，顯然x0，y0，z0，則(x2，y2，z)，(x，y2，z)，(x1，y，z)由|，得 ，解得x1.由|1，得y2z21.由|2，得y2z24y10.由，解得y，z.S，0，0，DSAS，DSBS，又ASBSS，SD平面SAB.(2)設(shè)平面SBC的法向量為n(x1，y1，z1)，則n，n，n0，n0.又，(0,2,0)，取z12，得n(，0,2)(2,0,0)，cos，n.故AB與平面SBC所成角的正弦值為.三上臺(tái)階，自主選做志在沖刺名校1.如圖所示，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，MD平面ABCD，NB平面ABCD，且MDNB1，E為BC的中點(diǎn)(1)求異面直線NE與AM所成角的余弦值；(2)在線段AN上是否存在點(diǎn)S，使得ES平面AMN？若存在，求線段AS的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由解：(1)如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz.依題易得D(0,0,0)，A(1,0,0)，M(0,0,1)，C(0,1,0)，B(1,1,0)，N(1,1,1)，E，所以，(1,0,1)設(shè)異面直線NE與AM所成的角為，則cos |cos，|.所以異面直線NE與AM所成角的余弦值為.(2)假設(shè)在線段AN上存在點(diǎn)S，使得ES平面AMN，因?yàn)?0,1,1)，可設(shè)(0，)，0,1，又，所以.由ES平面AMN，得即解得，此時(shí)，|.經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)AS時(shí)，ES平面AMN.故線段AN上存在點(diǎn)S，使得ES平面AMN，此時(shí)AS.2(2019杭二模擬)如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACAA12，D為棱CC1的中點(diǎn)，AB1A1BO.(1)求證：C1O平面ABD；(2)設(shè)二面角DABC的正切值為，ACBC，E為線段A1B上一點(diǎn)，且直線CE與平面ABD所成角的正弦值為，求.解：(1)證明：取AB的中點(diǎn)F，連接OF，DF，易知四邊形ABB1A1為矩形，O為AB1的中點(diǎn)，OFBB1，OFBB1，又C1DBB1，C1DBB1，OFC1D，OFC1D，四邊形OFDC1為平行四邊形，C1ODF，C1O平面ABD，DF平面ABD，C1O平面ABD.(2)過(guò)C作CHAB于H，連接DH，易知DHC為二面角DABC的平面角，DC1，tanDHC，CH，又AC2，AHCH，HAC45，ACBC，BCAC2.以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CA，CB，CC1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Cxyz，其中C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,