（浙江專用）高考數(shù)學(xué)第八章平面解析幾何第一節(jié)直線的傾斜角與斜率、直線的方程教案（含解析）.docx

第一節(jié) 直線的傾斜角與斜率、直線的方程1直線的傾斜角(1)定義：當(dāng)直線l與x軸相交時(shí)，取x軸作為基準(zhǔn)，x軸正向與直線l向上方向之間所成的角叫做直線l的傾斜角當(dāng)直線l與x軸平行或重合時(shí)，規(guī)定它的傾斜角為0.(2)范圍：直線l傾斜角的取值范圍是0，)2斜率公式(1)直線l的傾斜角為()，則斜率ktan_.(2)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直線l上，且x1x2，則l的斜率k.3直線方程的五種形式名稱幾何條件方程適用范圍斜截式縱截距、斜率ykxb與x軸不垂直的直線點(diǎn)斜式過一點(diǎn)、斜率yy0k(xx0)兩點(diǎn)式過兩點(diǎn)與兩坐標(biāo)軸均不垂直的直線截距式縱、橫截距1不過原點(diǎn)且與兩坐標(biāo)軸均不垂直的直線一般式AxByC0(A2B20)所有直線4線段的中點(diǎn)坐標(biāo)公式若點(diǎn)P1，P2的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，線段P1P2的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x，y)，則此公式為線段P1P2的中點(diǎn)坐標(biāo)公式小題體驗(yàn)1設(shè)直線l過原點(diǎn)，其傾斜角為，將直線l繞坐標(biāo)原點(diǎn)沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45，得到直線l1，則直線l1的傾斜角為()A45B135C135 D45或135解析：選D由傾斜角的取值范圍知，只有當(dāng)045180，即0135時(shí)，l1的傾斜角才是45.而0180，所以當(dāng)135180時(shí)，l1的傾斜角為135，故選D.2下列說法中正確的是()A.k表示過點(diǎn)P1(x1，y1)，且斜率為k的直線方程B直線ykxb與y軸交于一點(diǎn)B(0，b)，其中截距b|OB|C在x軸和y軸上的截距分別為a與b的直線方程是1D方程(x2x1)(yy1)(y2y1)(xx1)表示過點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直線解析：選D對于A，直線不包括點(diǎn)P1，故A不正確；對于B，截距不是距離，是B點(diǎn)的縱坐標(biāo)，其值可正可負(fù)，故B不正確；對于C，經(jīng)過原點(diǎn)的直線在兩坐標(biāo)軸上的截距都是0，不能表示為1，故C不正確；對于D，此方程為直線兩點(diǎn)式方程的變形，故D正確故選D.3(2018嘉興檢測)直線l1：xy20在x軸上的截距為_；若將l1繞它與y軸的交點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90，則所得到的直線l2的方程為_解析：對于直線l1：xy20，令y0，得x2，即直線l1在x軸上的截距為2；令x0，得y2，即l1與y軸的交點(diǎn)為(0，2)，直線l1的傾斜角為135，直線l2的傾斜角為1359045，l2的斜率為1，故l2的方程為yx2，即xy20.答案：2xy201點(diǎn)斜式、斜截式方程適用于不垂直于x軸的直線；兩點(diǎn)式方程不能表示垂直于x，y軸的直線；截距式方程不能表示垂直于坐標(biāo)軸和過原點(diǎn)的直線2截距不是距離，距離是非負(fù)值，而截距可正可負(fù)，可為零，在與截距有關(guān)的問題中，要注意討論截距是否為零3求直線方程時(shí)，若不能斷定直線是否具有斜率時(shí)，應(yīng)注意分類討論，即應(yīng)對斜率是否存在加以討論小題糾偏1直線xcos y20的傾斜角的范圍是()A. B.C. D.解析：選B設(shè)直線的傾斜角為，則tan cos ，又cos 1,1，所以tan ，又0，且ytan 在和上均為增函數(shù)，故.故選B.2過點(diǎn)(5,10)，且到原點(diǎn)的距離為5的直線方程是_解析：當(dāng)斜率不存在時(shí)，所求直線方程為x50滿足題意；當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)其為k，則所求直線方程為y10k(x5)，即kxy105k0.由距離公式，得5，解得k.故所求直線方程為3x4y250. 綜上知，所求直線方程為x50或3x4y250.答案：x50或3x4y250題組練透1若直線l經(jīng)過A(2,1)，B(1，m2)(mR)兩點(diǎn)，則直線l的傾斜角的取值范圍是()A. B.C. D.解析：選C因?yàn)橹本€l的斜率ktan m211，所以.故傾斜角的取值范圍是.2經(jīng)過P(0，1)作直線l，若直線l與連接A(1，2)，B(2,1)的線段總有公共點(diǎn)，則直線l的斜率k和傾斜角的取值范圍分別為_，_.解析：如圖所示，結(jié)合圖形，若l與線段AB總有公共點(diǎn)，則kPAkkPB，而kPB0，kPA0，故k0時(shí)，傾斜角為鈍角，k0時(shí)，0，k0時(shí)，為銳角又kPA1，kPB1，1k1.又當(dāng)0k1時(shí)，0；當(dāng)1k0時(shí)，.故傾斜角的取值范圍為.答案：1,13若A(2,2)，B(a,0)，C(0，b)(ab0)三點(diǎn)共線，求的值解：kAB，kAC，且A，B，C三點(diǎn)共線，kABkAC，即，整理得ab2(ab)，將該等式兩邊同除以2ab得.謹(jǐn)記通法1傾斜角與斜率的關(guān)系當(dāng)且由0增大到時(shí)，k的值由0增大到.當(dāng)時(shí)，k也是關(guān)于的單調(diào)函數(shù)，當(dāng)在此區(qū)間內(nèi)由增大到()時(shí)，k的值由趨近于0(k0)2斜率的3種求法(1)定義法：若已知直線的傾斜角或的某種三角函數(shù)值，一般根據(jù)ktan 求斜率(2)公式法：若已知直線上兩點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，一般根據(jù)斜率公式k(x1x2)求斜率(3)方程法：若已知直線的方程為AxByC0(B0)，則l的斜率k.典例引領(lǐng)求適合下列條件的直線方程：(1)經(jīng)過點(diǎn)(4,1)，且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等；(2)經(jīng)過點(diǎn)(1，3)，傾斜角等于直線y3x的傾斜角的2倍；(3)經(jīng)過點(diǎn)(3,4)，且與兩坐標(biāo)軸圍成一個(gè)等腰直角三角形解：(1)設(shè)直線方程在x，y軸上的截距均為a，若a0，即直線方程過點(diǎn)(0,0)和(4,1)，直線方程為yx，即x4y0；若a0，則設(shè)直線方程為1，直線方程過點(diǎn)(4,1)，1，解得a5，直線方程為xy50.綜上可知，所求直線的方程為x4y0或xy50.(2)由已知，設(shè)直線y3x的傾斜角為 ，則所求直線的傾斜角為2.tan 3，tan 2.又直線經(jīng)過點(diǎn)(1，3)，因此所求直線方程為y3(x1)，即3x4y150.(3)由題意可知，所求直線的斜率為1.又過點(diǎn)(3,4)，由點(diǎn)斜式得y4(x3)即所求直線的方程為xy10或xy70.由題悟法求直線方程的2個(gè)注意點(diǎn)(1)在求直線方程時(shí)，應(yīng)選擇適當(dāng)?shù)男问?，并注意各種形式的適用條件(2)對于點(diǎn)斜式、截距式方程使用時(shí)要注意分類討論思想的運(yùn)用(若采用點(diǎn)斜式，應(yīng)先考慮斜率不存在的情況；若采用截距式，應(yīng)判斷截距是否為零)即時(shí)應(yīng)用求適合下列條件的直線方程：(1)經(jīng)過點(diǎn)A(，3)，且傾斜角為直線xy10的傾斜角的一半的直線方程為_(2)過點(diǎn)(2,1)且在x軸上的截距與在y軸上的截距之和為6的直線方程為_解析：(1)由xy10，得此直線的斜率為，所以傾斜角為120，從而所求直線的傾斜角為60，所以所求直線的斜率為.又直線過點(diǎn)A(，3)，所以所求直線方程為y3(x)，即xy60.(2)由題意可設(shè)直線方程為1，則解得ab3，或a4，b2.故所求直線方程為xy30或x2y40.答案：(1)xy60(2)xy30或x2y40鎖定考向直線方程的綜合應(yīng)用是?？純?nèi)容之一，它常與函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式、圓相結(jié)合，命題多為客觀題常見的命題角度有：(1)與基本不等式相結(jié)合的最值問題；(2)與導(dǎo)數(shù)的幾何意義相結(jié)合的問題；(3)由直線方程解決參數(shù)問題 題點(diǎn)全練角度一：與基本不等式相結(jié)合的最值問題1過點(diǎn)P(2,1)作直線l，與x軸和y軸的正半軸分別交于A，B兩點(diǎn)，求：(1)AOB面積的最小值及此時(shí)直線l的方程；(2)直線l在兩坐標(biāo)軸上截距之和的最小值及此時(shí)直線l的方程；(3)|PA|PB|的最小值及此時(shí)直線l的方程解：(1)設(shè)直線l的方程為y1k(x2)，則可得A，B(0,12k)直線l與x軸，y軸正半軸分別交于A，B兩點(diǎn)，得k0.SAOB|OA|OB|(12k)4，當(dāng)且僅當(dāng)4k，即k時(shí)，AOB的面積有最小值4，此時(shí)直線l的方程為y1(x2)，即x2y40.(2)A，B(0,12k)(k0)，截距之和為212k32k32 32，當(dāng)且僅當(dāng)2k，即k時(shí)等號成立故截距之和的最小值為32，此時(shí)直線l的方程為y1(x2)，即xy20.(3)A，B(0,12k)(k0)，|PA|PB|24，當(dāng)且僅當(dāng)k，即k1時(shí)上式等號成立故|PA|PB|的最小值為4，此時(shí)直線l的方程為y1(x2)，即xy30.角度二：與導(dǎo)數(shù)的幾何意義相結(jié)合的問題2設(shè)P為曲線C：yx22x3上的點(diǎn)，且曲線C在點(diǎn)P處的切線傾斜角的取值范圍為，則點(diǎn)P橫坐標(biāo)的取值范圍為()A.B.C0,1 D.解析：選A由題意知y2x2，設(shè)P(x0，y0)，則k2x02.因?yàn)榍€C在點(diǎn)P處的切線傾斜角的取值范圍為，所以0k1，即02x021，故1x0.角度三：由直線方程解決參數(shù)問題3已知直線l1：ax2y2a4，l2：2xa2y2a24，當(dāng)0a2時(shí)，直線l1，l2與兩坐標(biāo)軸圍成一個(gè)四邊形，當(dāng)四邊形的面積最小時(shí)，求實(shí)數(shù)a的值解：由題意知直線l1，l2恒過定點(diǎn)P(2,2)，直線l1在y軸上的截距為2a，直線l2在x軸上的截距為a22，所以四邊形的面積S(2a)2(a22)2a2a42，當(dāng)a時(shí)，四邊形的面積最小，故a.通法在握處理直線方程綜合應(yīng)用的2大策略(1)含有參數(shù)的直線方程可看作直線系方程，這時(shí)要能夠整理成過定點(diǎn)的直線系，即能夠看出“動中有定”(2)求解與直線方程有關(guān)的最值問題，先求出斜率或設(shè)出直線方程，建立目標(biāo)函數(shù)，再利用基本不等式求解最值演練沖關(guān)1設(shè)mR，過定點(diǎn)A的動直線xmy0和過定點(diǎn)B的動直線mxym30交于點(diǎn)P(x，y)，則|PA|PB|的最大值是_解析：易求定點(diǎn)A(0,0)，B(1,3)當(dāng)P與A和B均不重合時(shí)，因?yàn)镻為直線xmy0與mxym30的交點(diǎn)，且易知兩直線垂直，則PAPB，所以|PA|2|PB|2|AB|210，所以|PA|PB|5(當(dāng)且僅當(dāng)|PA|PB|時(shí)，等號成立)，當(dāng)P與A或B重合時(shí)，|PA|PB|0，故|PA|PB|的最大值是5.答案：52已知直線l：kxy12k0(kR)(1)證明：直線l過定點(diǎn)；(2)若直線l不經(jīng)過第四象限，求k的取值范圍；(3)若直線l交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)A，交y軸正半軸于點(diǎn)B，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)AOB的面積為S，求S的最小值及此時(shí)直線l的方程解：(1)證明：直線l的方程可化為yk(x2)1，故無論k取何值，直線l總過定點(diǎn)(2,1)(2)直線l的方程為ykx2k1，則直線l在y軸上的截距為2k1，要使直線l不經(jīng)過第四象限，則解得k0，故k的取值范圍為.(3)依題意，直線l在x軸上的截距為，在y軸上的截距為12k，A，B(0,12k)又0且12k0，k0.故S|OA|OB|(12k)(44)4，當(dāng)且僅當(dāng)4k，即k時(shí)取等號故S的最小值為4，此時(shí)直線l的方程為x2y40.一抓基礎(chǔ)，多練小題做到眼疾手快1(2019金華一中模擬)直線x(a21)y10的傾斜角的取值范圍為()A.B.C. D.解析：選B由直線方程可知斜率k，設(shè)傾斜角為，則tan ，而10，1tan 0，又0，)，故選B.2直線xsin y20的傾斜角的取值范圍是()A0，) B.C. D.解析：選B設(shè)直線的傾斜角為，則有tan sin ，其中sin 1,1又0，)，所以0或.3(2018湖州質(zhì)檢)若直線l與直線y1，x7分別交于點(diǎn)P，Q，且線段PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1，1)，則直線l的斜率為()A. BC D.解析：選B依題意，設(shè)點(diǎn)P(a,1)，Q(7，b)，則有解得a5，b3，從而可得直線l的斜率為.4.如圖中的直線l1，l2，l3的斜率分別為k1，k2，k3，則()Ak1k2k3Bk3k1k2Ck3k2k1Dk1k3k2解析：選D直線l1的傾斜角1是鈍角，故k10，直線l2與l3的傾斜角2與3均為銳角且23，所以0k3k2，因此k1k3k2，故選D.5(2018豫西五校聯(lián)考)曲線yx3x5上各點(diǎn)處的切線的傾斜角的取值范圍為_解析：設(shè)曲線上任意一點(diǎn)處的切線的傾斜角為(0，)，因?yàn)閥3x211，所以tan 1，結(jié)合正切函數(shù)的圖象可知，的取值范圍為.答案：二保高考，全練題型做到高考達(dá)標(biāo)1已知A(1,1)，B(3,1)，C(1,3)，則ABC的BC邊上的高所在直線方程為()Axy0 Bxy20Cxy20 Dxy0解析：選B因?yàn)锽(3,1)，C(1,3)，所以kBC1，故BC邊上的高所在直線的斜率k1，又高線經(jīng)過點(diǎn)A，所以其直線方程為xy20.2已知直線l的斜率為，在y軸上的截距為另一條直線x2y40的斜率的倒數(shù)，則直線l的方程為()Ayx2 Byx2Cyx Dyx2解析：選A直線x2y40的斜率為，直線l在y軸上的截距為2，直線l的方程為yx2，故選A.3(2018溫州五校聯(lián)考)在同一平面直角坐標(biāo)系中，直線l1：axyb0和直線l2：bxya0的圖象可能是()解析：選B當(dāng)a0，b0時(shí)，a0，b0，選項(xiàng)B符合4若直線x2yb0與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積不大于1，那么b的取值范圍是()A2,2 B(，22，)C2,0)(0,2 D(，)解析：選C令x0，得y，令y0，得xb，所以所求三角形面積為|b|b2，且b0，因?yàn)閎21，所以b24，所以b的取值范圍是2,0)(0,25函數(shù)ya1x(a0，a1)的圖象恒過定點(diǎn)A，若點(diǎn)A在mxny10(mn0)上，則的最小值為()A2 B4C8 D1解析：選B函數(shù)ya1x(a0，a1)的圖象恒過定點(diǎn)A(1,1)把A(1,1)代入直線方程得mn1(mn0)(mn)222 4(當(dāng)且僅當(dāng)mn時(shí)取等號)，的最小值為4.6(2018溫州調(diào)研)已知三角形的三個(gè)頂點(diǎn)為A(5,0)，B(3，3)，C(0,2)，則BC邊上中線所在的直線方程為_解析：BC的中點(diǎn)坐標(biāo)為，BC邊上中線所在直線方程為，即x13y50.答案：x13y507若直線axy3a10恒過定點(diǎn)M，則直線2x3y60關(guān)于M點(diǎn)對稱的直線方程為_解析：由axy3a10，可得a(x3)(y1)0，令可得M(3,1)，M不在直線2x3y60上，設(shè)直線2x3y60關(guān)于M點(diǎn)對稱的直線方程為2x3yc0(c6)，則，解得c12或c6(舍去)，所求直線方程為2x3y120.答案：2x3y1208若圓x2y22x6y10關(guān)于直線axby30(a0，b0)對稱，則的最小值是_解析：由圓x2y22x6y10知其標(biāo)準(zhǔn)方程為(x1)2(y3)29，圓x2y22x6y10關(guān)于直線axby30(a0，b0)對稱，該直線經(jīng)過圓心(1,3)，即a3b30，a3b3(a0，b0)(a3b)，當(dāng)且僅當(dāng)，即ab時(shí)取等號故的最小值是.答案：9已知直線l與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為3，分別求滿足下列條件的直線l的方程：(1)過定點(diǎn)A(3,4)；(2)斜率為.解：(1)設(shè)直線l的方程為yk(x3)4，它在x軸，y軸上的截距分別是3,3k4，由已知，得(3k4)6，解得k1或k2.故直線l的方程為2x3y60或8x3y120.(2)設(shè)直線l在y軸上的截距為b，則直線l的方程是yxb，它在x軸上的截距是6b，由已知，得|6bb|6，b1.直線l的方程為x6y60或x6y60.10.如圖，射線OA，OB分別與x軸正半軸成45和30角，過點(diǎn)P(1，0)的直線AB分別交O