（浙江專用）高考數(shù)學板塊命題點專練（十三）圓錐曲線（含解析）.docx

板塊命題點專練（十三） 圓錐曲線命題點一橢圓1(2018全國卷)已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：1(ab0)的左、右焦點，A是C的左頂點，點P在過A且斜率為的直線上，PF1F2為等腰三角形，F(xiàn)1F2P120，則C的離心率為()A.B.C. D.解析：選D如圖，作PBx軸于點B.由題意可設|F1F2|PF2|2，則c1.由F1F2P120，可得|PB|，|BF2|1，故|AB|a11a2，tan PAB，解得a4，所以e.2(2018浙江高考)已知點P(0,1)，橢圓y2m(m1)上兩點A，B滿足2，則當m_時，點B橫坐標的絕對值最大解析：設A(x1，y1)，B(x2，y2)，由2，得即x12x2，y132y2.因為點A，B在橢圓上，所以解得y2m，所以xm(32y2)2m2m(m5)244，所以當m5時，點B橫坐標的絕對值最大答案：53(2018全國卷)設橢圓C：y21的右焦點為F，過F的直線l與C交于A，B兩點，點M的坐標為(2,0)(1)當l與x軸垂直時，求直線AM的方程；(2)設O為坐標原點，證明：OMAOMB.解：(1)由已知得F(1,0)，l的方程為x1.則點A的坐標為或.又M(2,0)，所以直線AM的方程為yx或yx，即xy20或xy20.(2)證明：當l與x軸重合時，OMAOMB0.當l與x軸垂直時，OM為AB的垂直平分線，所以OMAOMB.當l與x軸不重合也不垂直時，設l的方程為yk(x1)(k0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1，x2，直線MA，MB的斜率之和為kMAkMB.由y1kx1k，y2kx2k，得kMAkMB.將yk(x1)代入y21，得(2k21)x24k2x2k220，所以x1x2，x1x2.則2kx1x23k(x1x2)4k0.從而kMAkMB0，故MA，MB的傾斜角互補所以OMAOMB.綜上，OMAOMB成立4(2018天津高考)設橢圓1(ab0)的左焦點為F，上頂點為B.已知橢圓的離心率為，點A的坐標為(b,0)，且|FB|AB|6.(1)求橢圓的方程(2)設直線l：ykx(k0)與橢圓在第一象限的交點為P，且l與直線AB交于點Q，若sinAOQ(O為原點)，求k的值解：(1)設橢圓的焦距為2c，由已知有，又由a2b2c2，可得2a3b.由已知可得|FB|a，|AB|b，又|FB|AB|6，可得ab6.聯(lián)立解得a3，b2.所以橢圓的方程為1.(2)設點P的坐標為(x1，y1)，點Q的坐標為(x2，y2)由已知有y1y20，故|PQ|sinAOQy1y2.又因為|AQ|，而OAB，所以|AQ|y2.由sinAOQ，可得5y19y2.由方程組消去x，可得y1 .易知直線AB的方程為xy20，由方程組消去x，可得y2.由5y19y2，可得5(k1)3，兩邊平方，整理得56k250k110，解得k或k.所以k的值為或.5(2018全國卷)已知斜率為k的直線l與橢圓C：1交于A，B兩點，線段AB的中點為M(1，m)(m0)(1)證明：k；(2)設F為C的右焦點，P為C上一點，且0.證明：|，|，|成等差數(shù)列，并求該數(shù)列的公差解：(1)證明:設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則1，1.兩式相減，并由k得k0.由題設知1，m，于是k.由題設得0m，故k.(2)由題意得F(1,0)設P(x3，y3)，則(x31，y3)(x11，y1)(x21，y2)(0,0)由(1)及題設得x33(x1x2)1，y3(y1y2)2m0.又點P在C上，所以m，從而P，|，于是| 2.同理|2.所以|4(x1x2)3.故2|，即|，|，|成等差數(shù)列設該數(shù)列的公差為d，則2|d|x1x2| .將m代入得k1，所以l的方程為yx，代入C的方程，并整理得7x214x0.故x1x22，x1x2，代入解得|d|.所以該數(shù)列的公差為或.命題點二雙曲線1(2018全國卷)雙曲線1(a0，b0)的離心率為，則其漸近線方程為()Ayx ByxCyx Dyx解析：選Ae，a2b23a2，ba.漸近線方程為yx.2(2018全國卷)設F1，F(xiàn)2是雙曲線C：1(a0，b0)的左、右焦點，O是坐標原點過F2作C的一條漸近線的垂線，垂足為P.若|PF1|OP|，則C的離心率為()A. B2C. D.解析：選C法一：不妨設一條漸近線的方程為yx，則F2到y(tǒng)x的距離db.在RtF2PO中，|F2O|c，所以|PO|a，所以|PF1|a，又|F1O|c，所以在F1PO與RtF2PO中，根據(jù)余弦定理得cosPOF1cosPOF2，即3a2c2(a)20，得3a2c2，所以e.法二：如圖，過點F1向OP的反向延長線作垂線，垂足為P，連接PF2，由題意可知，四邊形PF1PF2為平行四邊形，且PPF2是直角三角形因為|F2P|b，|F2O|c，所以|OP|a.又|PF1|a|F2P|，|PP|2a，所以|F2P|ab，所以ca，所以e.3(2018天津高考)已知雙曲線1(a0，b0)的離心率為2，過右焦點且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A，B兩點設A，B到雙曲線的同一條漸近線的距離分別為d1和d2，且d1d26，則雙曲線的方程為()A.1 B.1C.1 D.1解析：選C法一：如圖，不妨設A在B的上方，則A，B.又雙曲線的一條漸近線為bxay0，則d1d22b6，所以b3.又由e2，知a2b24a2，所以a.所以雙曲線的方程為1.法二：由d1d26，得雙曲線的右焦點到漸近線的距離為3，所以b3.因為雙曲線1(a0，b0)的離心率為2，所以2，所以4，所以4，解得a23，所以雙曲線的方程為1.4(2018全國卷)已知雙曲線C：y21，O為坐標原點，F(xiàn)為C的右焦點，過F的直線與C的兩條漸近線的交點分別為M，N.若OMN為直角三角形，則|MN|()A. B3C2 D4解析：選B法一：由已知得雙曲線的兩條漸近線方程為yx.設兩條漸近線的夾角為2，則有tan ，所以30.所以MON260.又OMN為直角三角形，由于雙曲線具有對稱性，不妨設MNON，如圖所示在RtONF中，|OF|2，則|ON|.在RtOMN中，|MN|ON|tan 2tan 603.法二：因為雙曲線y21的漸近線方程為yx，所以MON60.不妨設過點F的直線與直線yx交于點M，由OMN為直角三角形，不妨設OMN90，則MFO60，又直線MN過點F(2,0)，所以直線MN的方程為y(x2)，由得所以M，所以|OM| ，所以|MN|OM|3.5(2018江蘇高考)在平面直角坐標系xOy中，若雙曲線1(a0，b0)的右焦點F(c,0)到一條漸近線的距離為c，則其離心率的值為_解析：雙曲線的漸近線方程為bxay0，焦點F(c,0)到漸近線的距離db，bc，ac，e2.答案：26(2018北京高考)已知橢圓M：1(ab0)，雙曲線N：1.若雙曲線N的兩條漸近線與橢圓M的四個交點及橢圓M的兩個焦點恰為一個正六邊形的頂點，則橢圓M的離心率為_；雙曲線N的離心率為_解析：法一：如圖，雙曲線N的漸近線方程為yx，tan 60，雙曲線N的離心率e1滿足e14，e12.由得x2.設D點的橫坐標為x，由正六邊形的性質得|ED|2xc，4x2c2.a2b2，得3a46a2b2b40，320，解得23.橢圓M的離心率e2 1.法二：雙曲線N的漸近線方程為yx，tan 60.又c12m，雙曲線N的離心率為2.如圖，連接EC，由題意知，F(xiàn)，C為橢圓M的兩焦點，設正六邊形邊長為1，則|FC|2c22，即c21.又E為橢圓M上一點，則|EF|EC|2a，即12a，a.橢圓M的離心率為1.答案：12命題點三拋物線1(2017全國卷)已知F為拋物線C：y24x的焦點，過F作兩條互相垂直的直線l1，l2，直線l1與C交于A，B兩點，直線l2與C交于D，E兩點，則|AB|DE|的最小值為()A16 B14C12 D10解析：選A拋物線C：y24x的焦點為F(1,0)，由題意可知l1，l2的斜率存在且不為0.不妨設直線l1的斜率為k，則l1：yk(x1)，l2：y(x1)，由消去y，得k2x2(2k24)xk20，設A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1x22，由拋物線的定義可知，|AB|x1x22224.同理得|DE|44k2，|AB|DE|444k2848816，當且僅當k2，即k1時取等號，故|AB|DE|的最小值為16.2(2018全國卷)設拋物線C：y24x的焦點為F，過點(2,0)且斜率為的直線與C交于M，N兩點，則()A5 B6C7 D8解析：選D由題意知直線MN的方程為y(x2)，聯(lián)立解得或不妨設M(1,2)，N(4,4)拋物線焦點為F(1,0)，(0,2)，(3,4)03248.3(2018全國卷)已知點M(1,1)和拋物線C：y24x，過C的焦點且斜率為k的直線與C交于A，B兩點若AMB90，則k_.解析：法一：設點A(x1，y1)，B(x2，y2)，則yy4(x1x2)，k.設AB中點為M(x0，y0)，拋物線的焦點為F，分別過點A，B作準線x1的垂線，垂足分別為A，B，則|MM|AB|(|AF|BF|)(|AA|BB|)M(x0，y0)為AB中點，M為AB的中點，MM平行于x軸，y1y22，k2.法二：由題意知，拋物線的焦點坐標為F(1,0)，設直線方程為yk(x1)，直線方程與y24x聯(lián)立，消去y，得k2x2(2k24)xk20.設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x21，x1x2.由M(1,1)，得(1x1,1y1)，(1x2,1y2)由AMB90，得0，(x11)(x21)(y11)(y21)0，x1x2(x1x2)1y1y2(y1y2)10.又y1y2k(x11)k(x21)k2x1x2(x1x2)1，y1y2k(x1x22)，11k2k10，整理得10，解得k2.答案：24.(2018浙江高考)如圖，已知點P是y軸左側(不含y軸)一點，拋物線C：y24x上存在不同的兩點A，B滿足PA，PB的中點均在C上(1)設AB中點為M，證明：PM垂直于y軸；(2)若P是半橢圓x21(x0)上的動點，求PAB面積的取值范圍解：(1)證明：設P(x0，y0)，A，B.因為PA，PB的中點在拋物線上，所以y1，y2為方程24，即y22y0y8x0y0的兩個不同的實根所以y1y22y0，因此PM垂直于y軸(2)由(1)可知所以|PM|(yy)x0y3x0，|y1y2|2.因此PAB的面積SPAB|PM|y1y2|(y4x0).因為x1(x00)，所以y4x04x4x044,5，所以PAB面積的取值范圍是.命題點四圓錐曲線中的綜合問題1.(2018江蘇高考)如圖，在平面直角坐標系xOy中，橢圓C過點，焦點為F1(，0)，F(xiàn)2(，0)，圓O的直徑為F1F2.(1)求橢圓C及圓O的方程；(2)設直線l與圓O相切于第一象限內(nèi)的點P.若直線l與橢圓C有且只有一個公共點，求點P的坐標；直線l與橢圓C交于A，B兩點若OAB的面積為，求直線l的方程解：(1)因為橢圓C的焦點為F1(，0)，F(xiàn)2(，0)，可設橢圓C的方程為1(ab0)又點在橢圓C上，所以解得所以橢圓C的方程為y21.因為圓O的直徑為F1F2，所以圓O的方程為x2y23.(2)設直線l與圓O相切于點P(x0，y0)(x00，y00)，則xy3，所以直線l的方程為y(xx0)y0，即yx.由消去y，得(4xy)x224x0x364y0.(*)因為直線l與橢圓C有且只有一個公共點，所以(24x0)24(4xy)(364y)48y(x2)0.因為x00，y00，所以x0，y01.所以點P的坐標為(，1)因為OAB的面積為，所以ABOP，從而AB.設A(x1，y1)，B(x2，y2)，由(*)得x1,2，所以AB2(x1x2)2(y1y2)2.因為xy3，所以AB2，即2x45x1000，解得x(x20舍去)，則y，因此點P的坐標為.所以直線l的方程為y，即yx3.2(2018全國卷)設拋物線C：y24x的焦點為F，過F且斜率為k(k0)的直線l與C交于A，B兩點，|AB|8.(1)求l的方程；(2)求過點A，B且與C的準線相切的圓的方程解：(1)由題意得F(1,0)，l的方程為yk(x1)(k0)設A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得k2x2(2k24)xk20.16k2160，故x1x2.所以|AB|AF|BF|(x11)(x21).由題設知8，解得k1或k1(舍去)因此l的方程為yx1.(2)由(1)得AB的中點坐標為(3,2)，所以AB的垂直平分線方程為y2(x3)，即yx5.設所求圓的圓心坐標為(x0，y0)，則解得或因此所求圓的方程為(x3)2(y2)216或(x11)2(y6)2144.3(2018北京高考)已知拋物線C：y22px經(jīng)過點P(1,2)，過點Q(0,1)的直線l與拋物線C有兩個不同的交點A，B，且直線PA交y軸于M，直線PB交y軸于N.(1)求直線l的斜率的取值范圍；(2)設O為原點，求證：為定值