中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)第19講直角三角形.ppt

第十九講 直角三角形,一、直角三角形的性質(zhì) 1.直角三角形的兩個銳角_. 2.直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的_. 3.在直角三角形中，30角所對的直角邊等于斜邊的_. 4.勾股定理：如果直角三角形的兩條直角邊長分別為a，b，斜 邊長為c，那么_.,互余,一半,一半,a2+b2=c2,二、直角三角形的判定 1.有一個角是_的三角形是直角三角形. 2.勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長a，b，c滿足 _，那么這個三角形是直角三角形.,直角,a2+b2=c2,【思維診斷】(打“”或“”) 1.有兩個角互余的三角形是直角三角形. ( ) 2.任何一個三角形都具有兩條邊長的平方和等于第三條邊長的平方. ( ) 3.一個三角形中，30角所對的邊等于最長邊的一半. ( ),熱點考向一 直角三角形的性質(zhì) 【例1】(2013泰安中考)如圖，在RtABC中，ACB=90，AB的垂直平分線DE交AC于點E，交BC的延長線于F，若F=30，DE=1，則BE的長是 .,【思路點撥】根據(jù)直角三角形的兩個銳角互余，求得DBF，從而求得A的度數(shù).在直角三角形中，30角所對的直角邊等于斜邊的一半，求得AE的長；再由線段垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等，即可求得BE的長.,【自主解答】在RtFDB中，F(xiàn)=30，DBF=60. 在RtABC中，ACB=90，ABC=60，A=30. 在RtAED中，A=30，DE=1，AE=2. DE垂直平分AB，BE=AE=2. 答案：2,【規(guī)律方法】直角三角形斜邊上中線的作用 1.直角三角形斜邊上的中線與斜邊的數(shù)量關(guān)系是研究線段倍、分問題的重要依據(jù)之一. 2.聯(lián)想到直角三角形斜邊上的中線，可以溝通角與角或線段與線段之間的關(guān)系，把題設(shè)與結(jié)論有機(jī)地結(jié)合起來，使問題得以圓滿的解決. 3.重要輔助線(1)遇直角三角形斜邊的中點，添加斜邊上的中線為輔助線.(2)構(gòu)造直角三角形，凸顯斜邊上的中線.,【真題專練】 1.(2013湘西中考)如圖，一副分別含有 30角和45角的兩個直角三角板，拼成 如圖所示圖形，其中C=90，B= 45，E=30，則BFD的度數(shù)是( ) A.15 B.25 C.30 D.10,【解析】選A.在RtCDE中，C=90，E=30， CDE=90E=9030=60. 又CDE=B+BFD， BFD=CDE-B=60-45=15.,2.(2013棗莊中考)如圖，在ABC中， AB=AC=10，BC=8，AD平分BAC交BC于 點D，點E為AC的中點，連接DE， 則CDE的周長為 ( ) A.20 B.18 C.14 D.13,【解析】選C.由等腰三角形的“三線合一”，得CD= BC=4； 由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半， 得DE=CE= AC=5.所以CDE的周長為4+5+5=14.,3.(2013成都中考)如圖，某山坡的坡面AB=200m，坡角BAC=30，則該山坡的高BC的長為 m. 【解析】在RtABC中， BAC=30，BC= AB= 200=100(m). 答案：100,【變式訓(xùn)練】 (2013衡陽中考)如圖，小方在五月 一日假期中到郊外放風(fēng)箏，風(fēng)箏飛到 C處時的線長為20m，此時小方正好站 在A處，測得CBD=60，牽引底端B 離地面1.5m，求此時風(fēng)箏離地面的高 度(結(jié)果精確到個位).,【解析】在RtCBD中，BCD=90-60=30， BD= BC= 20=10.又由勾股定理，得 . CE=CD+DE17.3+1.519(m). 答：風(fēng)箏離地面的高度約為19m.,4.(2013鄂州中考)著名畫家達(dá)芬奇 不僅畫藝超群，同時還是一個數(shù)學(xué)家、 發(fā)明家.他曾經(jīng)設(shè)計過一種圓規(guī)，如圖 所示，有兩個互相垂直的滑槽(滑槽寬 度忽略不計)，一根沒有彈性的木棒的兩端A，B能在滑槽內(nèi) 自由滑動，將筆插入位于木棒中點P處的小孔中，隨著木棒 的滑動就可以畫出一個圓來.若AB=20cm，則畫出的圓的半徑 為 cm.,【解析】連接OP. AOB是直角三角形，P為斜邊AB的中點， OP= AB= 20=10(cm). 答案：10,【知識拓展】直角三角形的兩個結(jié)論 (1)在直角三角形中，如果一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對的銳角等于30. (2)如果三角形一條邊上的中線等于這條邊的一半，那么這個三角形是直角三角形.,熱點考向二 勾股定理 【例2】(2014畢節(jié)中考)如圖，在RtABC中，ABC=90，AB=3，AC=5，點E在BC上，將ABC沿AE折疊，使點B落在AC邊上的點B處，則BE的長為 .,【思路點撥】利用勾股定理求出BC=4，設(shè)BE=x，則CE=4-x，在RtBEC中，利用勾股定理解出x的值即可.,【自主解答】 ， 由折疊的性質(zhì)得BE=BE，AB=AB， 設(shè)BE=x，則BE=x，CE=4-x，BC=AC-AB=AC-AB=2， 在RtBEC中，BE2+BC2=EC2， 即x2+22=(4-x)2， 解得：x= . 答案：,【規(guī)律方法】勾股定理的應(yīng)用 1.在直角三角形中，已知一邊長和另外兩邊的關(guān)系時，常借助勾股定理列出方程求解，在解決折疊問題時，邊長的計算經(jīng)常用到上述方法. 2.作長度 為(n為正整數(shù))的線段. 注意：在直角三角形中，已知兩邊利用勾股定理求第三邊時，必須分清直角邊和斜邊，在條件不明確的條件下，要分類討論.,【真題專練】 1.(2013資陽中考)如圖，點E在正方形 ABCD內(nèi)，滿足AEB=90，AE=6，BE=8， 則陰影部分的面積是 ( ) A.48 B.60 C.76 D.80,【解析】選C.在RtABE中，根據(jù)勾股定理，得AB2=AE2+BE2=62+82=100，S陰影部分=S正方形ABCD-SABE=AB2- AEBE=100- 68=76.,2.(2014東營中考)如圖，有兩棵樹，一棵高12m，另一棵高6m，兩樹相距8m.一只鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵樹的樹梢，小鳥至少飛行 m.,【解析】如圖，設(shè)大樹高為AB=12m， 小樹高為CD=6m， 過C點作CEAB于E，則四邊形EBDC是矩形， 連接AC， EB=6m，EC=8m，AE=AB-EB=12-6=6(m)， 在RtAEC中，AC= =10(m). 故小鳥至少飛行10m. 答案：10,3.(2014蘇州中考)已知正方形ABCD的對角線AC= ，則正方形ABCD的周長為 . 【解析】因為正方形ABCD的對角線AC= ，所以由勾股定理得，正方形的邊長為1，故周長為4. 答案：4,4.(2014蘇州中考)如圖，在矩形ABCD中， ，以點B為 圓心，BC長為半徑畫弧，交邊AD于點E，若AEED= ，則矩形 ABCD的面積為 .,【解析】連接BE.設(shè)AB=3x，則BC=5x， 所以BE= BC=5x，由勾股定理得，AE=4x. 所以ED=x，又AEED= ， 即4xx= ，x2= ， 所以矩形ABCD的面積為3x5x=15x2=5. 答案：5,【變式訓(xùn)練】 (2014南充中考)如圖，有一矩形紙片ABCD，AB=8，AD=17，將此矩形紙片折疊，使頂點A落在BC邊的A處，折痕所在直線同時經(jīng)過邊AB，AD(包括端點)，設(shè)BA=x，則x的取值范圍是 .,【解析】當(dāng)折痕經(jīng)過點B時，x取得最大值，此時BA=BA=8；當(dāng)折痕經(jīng)過點D時，x取得最小值，此時在RtDC A中，由勾股定理可得BA=15，BA=2. 答案：2x8,熱點考向三 勾股定理的逆定理 【例3】(2013包頭中考)如圖，點E是正方形ABCD內(nèi)的一點，連接AE，BE，CE，將ABE繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90到CBE的位置.若AE=1，BE=2，CE=3，則BEC= 度.,【解題探究】(1)BE是由BE旋轉(zhuǎn)多少度得到？BE與BE什么關(guān)系？ 提示：BE是由BE旋轉(zhuǎn)90得到的，BEBE且BE=BE. (2)若連接EE，得到的EBE是一個什么特殊的三角形？ 提示：EBE是等腰直角三角形. (3)EEC是直角三角形嗎？若是，是怎樣得到的？ 提示：EEC是直角三角形，根據(jù)勾股定理的逆定理得之.,【嘗試解答】連接EE.將ABE繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90到 CBE的位置，AE=1，BE=2，CE=3，EBE=90， BE=BE=2，AE=EC=1，EE= BEE=45.EE2+EC2=8+1=9，EC2=9， EE2+EC2=EC2，CEE是直角三角形，且 CEE=90， BEC=CEE+BEE=90+45=135. 答案：135,【規(guī)律方法】運(yùn)用勾股定理的逆定理判定一個三角形是直角三角形的三個步驟 1.確定三角形的最長邊. 2.計算最長邊的平方以及其他兩邊的平方和. 3.判斷最長邊的平方是否與其他兩邊的平方和相等，若相等，則此三角形為直角三角形，否則不是直角三角形.,【真題專練】 1.(2014濱州中考)下列四組線段中，可以構(gòu)成直角三角形的是 ( ) A.4，5，6 B. 1.5，2，2.5 C. 2，3，4 D. 1， ，3 【解析】選B.42+52=4162，1.52+22=6.25=2.52， 22+32=1342，12+( )2=332， A，C，D中的線段不能構(gòu)成直角三角形，故選B.,【知識歸納】判定直角三角形的兩種方法 (1)當(dāng)已知條件是“三條邊”或三邊的比時，利用勾股定理的逆定理判定一個三角形是否是直角三角形. (2)如果三角形某一邊的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形.,2.(2013貴陽中考)在ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，設(shè)c為最長邊.當(dāng)a2+b2=c2時，ABC是直角三角形；當(dāng)a2+b2c2時，利用代數(shù)式a2+b2和c2的大小關(guān)系，探究ABC的形狀(按角分類). (1)當(dāng)ABC三邊長分別為6，8，9時，ABC為 三角形；當(dāng)ABC三邊長分別為6，8，11時，ABC為 三角形. (2)猜想：當(dāng)a2+b2 c2時，ABC為銳角三角形；當(dāng)a2+b2 c2時，ABC為鈍角三角形. (3)判斷當(dāng)a=2，b=4時，ABC的形狀，并求出對應(yīng)的c的取值范圍.,【解析】(1)兩直角邊分別為6，8時，斜邊= ABC三邊分別為6，8，9時，ABC為銳角三角形；當(dāng)ABC 三邊分別為6，8，11時，ABC為鈍角三角形. 答案：銳角 鈍角 (2)當(dāng)a2+b2c2時，ABC為銳角三角形；當(dāng)a2+b2 ,(3)c為最長邊，2+4=6，4cc2，即c220，c2 ，當(dāng)2 c6時，這個三角形 是鈍角三角形.,命題新視角 用勾股定理解展開與折疊問題 【例】(2013山西中考)如圖，在矩形紙片ABCD中，AB=12，BC=5，點E在AB上，將DAE沿DE折疊，使點A落在對角線BD上的點A處，則AE的長為 .,【審題視點】,【自主解答】AB12，BC5，AD5，BD 13根據(jù)折疊，得ADAD5，AB1358設(shè)AE x，則AEx，BE12x在RtAEB中，(12x)2x2 82，解得x ，即AE的長為 答案：,【規(guī)律方法】解圖形折疊問題的思路 1.尋找出折疊前后的不變量(即相等線段，相等角). 2.發(fā)現(xiàn)圖形中直角三角形，并能靈活應(yīng)用勾股定理. 3.利用勾股定理建立方程求解.,【真題專練】 1.(2014牡丹江中考)已知：如圖， 在RtABC中，ACB=90，AB， CM是斜邊AB上的中線，將ACM沿直線 CM折疊，點A落在點D處，如果CD恰好 與AB垂直，那么A的度數(shù)是 ( ) A.30 B.40 C.50 D.60,【解析】選A.在RtABC中，ACB=90， AB，CM是斜邊AB上的中線， AM=MC=BM，A=MCA， 將ACM沿直線CM折疊，點A落在點D處， CM平分ACD，A=D，ACM=MCD， A+B=B+BCD=90，A=BCD， BCD=DCM=MCA=30，A=30.,2.(2014昆明中考)如圖，將邊長為6cm的正方形ABCD折疊，使點D落在AB邊的中點E處，折痕為FH，點C落在Q處，EQ與BC交于點G，則EBG的周長是 cm.,【解析】由題意得EF=FD，所以在RtAEF中設(shè)AF=x，則EF=6- x，由勾股定理得32+x2=(6-x)2，解得x= .又FEG=90，所 以AEF+BEG=90，又因為AFE+AEF=90，所以 AFE=BEG，又因為A=B=90，所以AEFBGE，所 以 ，即= ，解得BG=4，再由勾股定理得EG=5， 所以EBG的周長為3+4+5=12. 答案：12,3.(2012河南中考)如圖，在RtABC中，ACB=90，B=30，BC=3，點D是BC邊上一動點(不與點B，C重合)，過點D作DEBC交AB邊于點E，將B沿直線DE翻折，點B落在射線BC上的點F處.當(dāng)AEF為直角三角形時，BD的長為 .,【解析】因為ACB=90，B=30，BC=3，所以AC= ， AB=2 ，設(shè)BD=x，則DF=x，CF=3-2x，BE=EF= ， AF2=3+(3-2x)2. (1)以AE為斜邊： +3+(3-2x)2= ， 解得x=1，x=0(與點B重合，舍去)； (2)以AF為斜邊： =3+(3-2x)2， 解得x=3(與點C重合，舍去)；,(3)以EF為斜邊： ， 解得x=2，x=3(與點C重合，舍去). 綜上所述，當(dāng)AEF為直角三角形時，BD的長為1或2. 答案：1或2,【巧思妙解】巧用面積，事半功倍 【典例】(2012廣州中考)在RtABC中，C=90，AC=9， BC=12，則點C到AB的距離是 ( ) A. B. C. D.,【常規(guī)解法】選A.如圖，過點C作CDAB于點D. 在RtABC中，由勾股定理，得 . CDAB，ADC=90. 又AC