2018版高中數(shù)學(xué)第一章解三角形1.1.1正弦定理一學(xué)案新人教A版.doc

11.1正弦定理(一) 學(xué)習(xí)目標(biāo)1.通過對任意三角形邊長和角度的關(guān)系的探索，掌握正弦定理的內(nèi)容及其證明方法.2.能運(yùn)用正弦定理與三角形的內(nèi)角和定理解決簡單的解三角形問題知識點(diǎn)一正弦定理1正弦定理的表示文字語言在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比都相等，該比值為三角形外接圓的直徑符號語言在ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，則2R2.正弦定理的常見變形(1)a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C，其中R為ABC外接圓的半徑(2)sin A，sin B，sin C(R為ABC外接圓的半徑)(3)三角形的邊長之比等于對應(yīng)角的正弦比，即abcsin Asin Bsin C.(4).(5)asin Bbsin A，asin Ccsin A，bsin Ccsin B.3正弦定理的證明(1)在RtABC中，設(shè)C為直角，如圖，由三角函數(shù)的定義：sin A，sin B，c， (2)在銳角三角形ABC中，設(shè)AB邊上的高為CD，如圖，CDasin_Bbsin_A，同理，作AC邊上的高BE，可得，.(3)在鈍角三角形ABC中，C為鈍角，如圖，過B作BDAC于D，則BDasin(C)asin_C，BDcsin_A，故有asin Ccsin_A，同理，.思考下列有關(guān)正弦定理的敘述：正弦定理只適用于銳角三角形；正弦定理不適用于直角三角形；在某一確定的三角形中，各邊與它所對角的正弦的比是一定值；在ABC中，sin Asin Bsin CBCACAB.其中正確的個數(shù)有()A1 B2 C3 D4答案B解析正弦定理適用于任意三角形，故均不正確；由正弦定理可知，三角形一旦確定，則各邊與其所對角的正弦的比值也就確定了，所以正確；由正弦定理可知正確故選B.知識點(diǎn)二解三角形一般地，把三角形的三個角A，B，C和它們的對邊a，b，c叫做三角形的元素已知三角形的幾個元素求其他元素的過程叫做解三角形思考正弦定理能解決哪些問題？答案利用正弦定理可以解決以下兩類有關(guān)三角形的問題：已知兩角和任意一邊，求其他兩邊和第三個角；已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角，從而求出其他的邊和角題型一對正弦定理的理解例1在ABC中，若角A，B，C對應(yīng)的三邊分別是a，b，c，則下列關(guān)于正弦定理的敘述或變形中錯誤的是()Aabcsin Asin Bsin CBabsin 2Asin 2BC.D正弦值較大的角所對的邊也較大答案B解析在ABC中，由正弦定理得k(k0)，則aksin A，bksin B，cksin C，故abcsin Asin Bsin C，故A正確當(dāng)A30，B60時，sin 2Asin 2B，此時a b，故B錯誤根據(jù)比例式的性質(zhì)易得C正確大邊對大角，故D正確反思與感悟(1)定理的內(nèi)容：2R，在運(yùn)用正弦定理進(jìn)行判斷時，要靈活使用定理的各種變形(2)如果，那么(b，d0)(合比定理)；(b，d0)(分比定理)；(ab，cd)(合分比定理)；可以推廣為：如果，那么.跟蹤訓(xùn)練1在ABC中，下列關(guān)系一定成立的是()Aabsin A Babsin ACabsin A Dabsin A答案D解析在ABC中，B(0，)，sin B(0，1， 1，由正弦定理得absin A.題型二用正弦定理解三角形例2(1)在ABC中，已知c10，A45，C30，解這個三角形(2)在ABC中，已知c，A45，a2，解這個三角形解(1)A45，C30，B180(AC)105，由得a10.sin 75sin(3045)sin 30cos 45cos 30sin 45，b2055.B105，a10，b55.(2)，sin C，C(0，180)，C60或C120.當(dāng)C60時，B75，b1；當(dāng)C120時，B15，b1.b1，B75，C60或b1，B15，C120.反思與感悟(1)已知兩角與任意一邊解三角形的方法首先由三角形內(nèi)角和定理可以計(jì)算出三角形的另一角，再由正弦定理可計(jì)算出三角形的另兩邊(2)已知三角形兩邊和其中一邊的對角解三角形的方法首先用正弦定理求出另一邊所對的角的正弦值，若這個角不是直角，當(dāng)已知的角為大邊所對的角時，則能判斷另一邊所對的角為銳角，當(dāng)已知的角為小邊所對的角時，則不能判斷，此時就有兩組解，再分別求解即可；然后由三角形內(nèi)角和定理求出第三個角；最后根據(jù)正弦定理求出第三條邊跟蹤訓(xùn)練2(1)在ABC中，已知a8，B60，C75，則b等于()A4 B4 C4 D4(2)在ABC中，若a，b2，A30，則C_答案(1)C(2)105或15解析(1)易知A45，由得b4.(2)由正弦定理，得sin B.B(0，180)，B45或135，C1804530105或C1801353015.題型三判斷三角形的形狀 例3在ABC中，已知a2tan Bb2tan A，試判斷三角形的形狀解由已知得，由正弦定理得.sin A、sin B0，sin Acos Asin Bcos B.即sin 2Asin 2B.2A2B或2A2B.AB或AB.ABC為等腰三角形或直角三角形反思與感悟(1)判斷三角形的形狀，應(yīng)圍繞三角形的邊角關(guān)系進(jìn)行，既可以轉(zhuǎn)化為邊與邊的關(guān)系，也可以轉(zhuǎn)化為角與角的關(guān)系(2)注意在邊角互化過程中，正弦定理的變形使用，如等跟蹤訓(xùn)練3在ABC中，bsin Bcsin C且sin2Asin2Bsin2C，試判斷三角形的形狀解由bsin Bcsin C，得b2c2，bc，ABC為等腰三角形，由sin2Asin2Bsin2C得a2b2c2，ABC為直角三角形，ABC為等腰直角三角形1在ABC中，ABc，ACb，BCa，下列等式中總能成立的是()Aasin Absin B Bbsin Ccsin ACabsin Cbcsin B Dasin Ccsin A答案D解析由正弦定理，得asin Ccsin A.2在ABC中，三個內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知a，b，B60，那么A等于()A135 B90 C45 D30答案C解析由得sin A，A45