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第1課時(shí)平面向量的坐標(biāo)表示及坐標(biāo)運(yùn)算學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解平面向量的正交分解,掌握向量的坐標(biāo)表示.2.掌握兩個(gè)向量和、差及數(shù)乘向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則.3.正確理解向量坐標(biāo)的概念,要把點(diǎn)的坐標(biāo)與向量的坐標(biāo)區(qū)分開來知識(shí)點(diǎn)一平面向量的坐標(biāo)表示思考1如圖,向量i,j是兩個(gè)互相垂直的單位向量,向量a與i的夾角是30,且|a|4,以向量i,j為基底,如何表示向量a?思考2在平面直角坐標(biāo)系內(nèi),給定點(diǎn)A的坐標(biāo)為A(1,1),則A點(diǎn)位置確定了嗎?給定向量a的坐標(biāo)為a(1,1),則向量a的位置確定了嗎?梳理(1)平面向量的坐標(biāo)在平面直角坐標(biāo)系中,分別取與x軸、y軸方向相同的兩個(gè)_i、j作為基底對(duì)于平面內(nèi)的一個(gè)向量a,由平面向量基本定理可知,有且只有一對(duì)有序?qū)崝?shù)x,y,使得axiyj.平面內(nèi)的任一向量a都可由x、y唯一確定,我們把有序數(shù)對(duì)(x,y)叫做向量a的(直角)坐標(biāo),記作a(x,y)在平面直角坐標(biāo)平面中,i(1,0),j(0,1),0(0,0)(2)點(diǎn)的坐標(biāo)與向量坐標(biāo)的區(qū)別和聯(lián)系區(qū)別表示形式不同向量a(x,y)中間用等號(hào)連結(jié),而點(diǎn)A(x,y)中間沒有等號(hào)意義不同點(diǎn)A(x,y)的坐標(biāo)(x,y)表示點(diǎn)A在平面直角坐標(biāo)系中的位置,a(x,y)的坐標(biāo)(x,y)既表示向量的大小,也表示向量的方向.另外(x,y)既可以表示點(diǎn),也可以表示向量,敘述時(shí)應(yīng)指明點(diǎn)(x,y)或向量(x,y)聯(lián)系當(dāng)平面向量的起點(diǎn)在原點(diǎn)時(shí),平面向量的坐標(biāo)與向量終點(diǎn)的坐標(biāo)相同知識(shí)點(diǎn)二平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算思考設(shè)i、j是分別與x軸、y軸同向的兩個(gè)單位向量,若設(shè)a(x1,y1),b(x2,y2),則ax1iy1j,bx2iy2j,根據(jù)向量的線性運(yùn)算性質(zhì),向量ab,ab,a(R)如何分別用基底i、j表示?梳理(1)設(shè)a(x1,y1),b(x2,y2)和實(shí)數(shù)數(shù)學(xué)公式文字語言表述向量加法ab(x1x2,y1y2)兩個(gè)向量和的坐標(biāo)分別等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的和向量減法ab(x1x2,y1y2)兩個(gè)向量差的坐標(biāo)分別等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的差向量數(shù)乘a_實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于用這個(gè)實(shí)數(shù)乘原來向量的相應(yīng)坐標(biāo)(2)已知點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),那么向量(x2x1,y2y1),即一個(gè)向量的坐標(biāo)等于該向量終點(diǎn)的坐標(biāo)減去起點(diǎn)的坐標(biāo)類型一平面向量的坐標(biāo)表示例1如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,OA4,AB3,AOx45,OAB105,a,b.四邊形OABC為平行四邊形(1)求向量a,b的坐標(biāo);(2)求向量的坐標(biāo);(3)求點(diǎn)B的坐標(biāo)反思與感悟在表示點(diǎn)、向量的坐標(biāo)時(shí),可利用向量的相等、加減法運(yùn)算等求坐標(biāo),也可以利用向量、點(diǎn)的坐標(biāo)定義求坐標(biāo)一般利用不等式思想求解,即把問題條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于參數(shù)的不等式(組),再解不等式(組)就可以求得參數(shù)的取值范圍跟蹤訓(xùn)練1已知邊長(zhǎng)為2的正三角形ABC,頂點(diǎn)A在坐標(biāo)原點(diǎn),AB邊在x軸上,點(diǎn)C在第一象限,D為AC的中點(diǎn),分別求向量,的坐標(biāo)類型二平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算例2已知三點(diǎn)A(2,3),B(5,4),C(7,10),點(diǎn)P滿足(R)(1)當(dāng)為何值時(shí),點(diǎn)P在函數(shù)yx的圖象上?(2)若點(diǎn)P在第三象限,求實(shí)數(shù)的取值范圍反思與感悟向量坐標(biāo)運(yùn)算的方法(1)若已知向量的坐標(biāo),則直接應(yīng)用兩個(gè)向量和、差及向量數(shù)乘的運(yùn)算法則進(jìn)行(2)若已知有向線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo),則可先求出向量的坐標(biāo),然后再進(jìn)行向量的坐標(biāo)運(yùn)算(3)向量的線性坐標(biāo)運(yùn)算可完全類比數(shù)的運(yùn)算進(jìn)行跟蹤訓(xùn)練2已知a(1,2),b(2,1),求:(1)2a3b;(2)a3b;(3)ab.類型三平面向量坐標(biāo)運(yùn)算的應(yīng)用例3已知點(diǎn)A(2,3),B(5,4),C(7,10)若(R),試求為何值時(shí):(1)點(diǎn)P在第一、三象限的角平分線上;(2)點(diǎn)P在第三象限內(nèi)反思與感悟(1)待定系數(shù)法是最基本的數(shù)學(xué)方法之一,實(shí)質(zhì)是先將未知量設(shè)出來,建立方程(組)求出未知數(shù)的值,是待定系數(shù)法的基本形式,也是方程思想的一種基本應(yīng)用(2)坐標(biāo)形式下向量相等的條件:相等向量的對(duì)應(yīng)坐標(biāo)相等;對(duì)應(yīng)坐標(biāo)相等的向量是相等向量由此可建立相等關(guān)系求某些參數(shù)的值跟蹤訓(xùn)練3已知向量a(2,1),b(1,2),若manb(9,8)(m,nR),則mn的值為_1設(shè)平面向量a(3,5),b(2,1),則a2b_.2已知向量(3,2),(5,1),則向量的坐標(biāo)是_3已知四邊形ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)A(0,2),B(1,2),C(3,1),且2,則頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為_4已知點(diǎn)A(0,1),B(3,2),向量(4,3),則向量_.5如圖,在66的方格紙中,若起點(diǎn)和終點(diǎn)均在格點(diǎn)的向量a,b,c滿足cxayb(x,yR),則xy_.1向量的正交分解是把一個(gè)向量分解為兩個(gè)互相垂直的向量,是向量坐標(biāo)表示的理論依據(jù)向量的坐標(biāo)表示,溝通了向量“數(shù)”與“形”的特征,使向量運(yùn)算完全代數(shù)化2要區(qū)分向量終點(diǎn)的坐標(biāo)與向量的坐標(biāo)由于向量的起點(diǎn)可以任意選取,如果一個(gè)向量的起點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn),這個(gè)向量終點(diǎn)的坐標(biāo)就是這個(gè)向量的坐標(biāo);若向量的起點(diǎn)不是原點(diǎn),則向量的終點(diǎn)坐標(biāo)不是向量的坐標(biāo),此時(shí)(xBxA,yByA)3向量和、差的坐標(biāo)就是它們對(duì)應(yīng)向量坐標(biāo)的和、差,數(shù)乘向量的坐標(biāo)等于這個(gè)實(shí)數(shù)與原來向量坐標(biāo)的積答案精析問題導(dǎo)學(xué)知識(shí)點(diǎn)一思考1a2i2j.思考2對(duì)于A點(diǎn),若給定坐標(biāo)為A(1,1),則A點(diǎn)位置確定對(duì)于向量a,給定a的坐標(biāo)為a(1,1),此時(shí)給出了a的方向和大小,但因向量的位置由起點(diǎn)和終點(diǎn)確定,且向量可以任意平移,因此a的位置還與其起點(diǎn)有關(guān)梳理(1)單位向量知識(shí)點(diǎn)二思考ab(x1x2)i(y1y2)j,ab(x1x2)i(y1y2)j,ax1iy1j.梳理(1)(x1,y1)題型探究例1解(1)作AMx軸于點(diǎn)M,則OMOAcos 4542,AMOAsin 4542.A(2,2),故a(2,2)AOC18010575,AOy45,COy30.又OCAB3,C,即b.(2).(3)(2,2)(,).跟蹤訓(xùn)練1解如圖,正三角形ABC的邊長(zhǎng)為2,則頂點(diǎn)A(0,0),B(2,0),C(2cos 60,2sin 60),C(1,),D(,),(2,0),(1,),(12,0)(1,),(2,0)(,)例2解設(shè)P(x1,y1),則(x12,y13)因?yàn)?3,1),(5,7),所以 (3,1)(5,7)(35,17),所以所以所以點(diǎn)P的坐標(biāo)是(55,47)(1)令5547,得.所以當(dāng)時(shí),點(diǎn)P在函數(shù)yx的圖象上(2)當(dāng)點(diǎn)P在第三象限時(shí),有成立,解得1.實(shí)數(shù)的取值范圍是(,1)跟蹤訓(xùn)練2解(1)2a3b2(1,2)3(2,1)(2,4)(6,3)(4,7)(2)a3b(1,2)3(2,1)(1,2)(6,3)(7,1)(3)ab(1,2)(2,1).例3解設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y),則(x,y)(2,3)(x
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