2011屆高考數(shù)學(xué)第一輪知識(shí)點(diǎn)總復(fù)習(xí)57.pptVIP

第七節(jié) 立體幾何中的向量方法,1. 直線的方向向量與平面的法向量在確定直線和平面位置關(guān)系中的應(yīng)用 (1)直線 (2)直線l的方向向量為,基礎(chǔ)梳理,(3)平面的法向量為,2. 利用空間向量求空間角 (1)兩條異面直線所成的角 定義:設(shè)a,b是兩條異面直線,過空間任一點(diǎn)O作直線 所夾的銳角或直角叫做a與b所成的角. 范圍:兩異面直線所成角的取值范圍是 向量求法:設(shè)直線a,b的方向向量為a,b,其夾角為,a、b夾角為, 則有 (2)直線與平面所成的角 定義:直線和平面所成的角,是指直線與它在這個(gè)平面內(nèi)的射影所成的角. 范圍:直線和平面所成角的取值范圍是 . 向量求法:設(shè)直線l的方向向量為a,平面的法向量為u,直線與平面所成的角 為,a與u的夾角為,則有,(3)二面角 定義:從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角,這條直線叫做二面角的棱,這兩個(gè)半平面叫做二面角的面,在二面角的棱上任取一點(diǎn)O,以O(shè)為垂足,在兩個(gè)半平面內(nèi)分別作垂直于棱的射線OA,OB,則射線OA和OB構(gòu)成的AOB叫做二面角的平面角. 二面角的平面角的取值范圍是0,. 二面角的向量求法: ()若AB、CD分別是二面角-l-的兩個(gè)面內(nèi)與棱l垂直的異面直線,則二面角的大小就是向量 的夾角(如圖1). ()設(shè) 分別是二面角-l-的兩個(gè)面、的法向量,則向量 的夾角(或其補(bǔ)角)的大小就是二面角的平面角的大小(如圖2、3).,典例分析,【例1】如圖,已知直三棱柱 中,ABC為等腰直角三角形,BAC=90,且 ,D、E、F分別為 的中點(diǎn).求證： (1)DE平面ABC; (2) 平面AEF.,題型一 利用空間向量證明平行垂直問題,分析 由題可知,題中具備兩兩垂直的三條直線，可用向量法建立空間直角坐標(biāo)系，用向量的坐標(biāo)運(yùn)算來解決；也可以用幾何法，利用線面垂直、線面平行的判定定理來解決.,，,證明 如圖建立空間直角坐標(biāo)系, 令 則A(0,0,0),E(0,4,2),F(2,2,0),B(4,0,0),(1)取AB中點(diǎn)N,連接NC,則 N(2,0,0),C(0,4,0),D(2,0,2),學(xué)后反思 (1)證明線面平行需證明線線平行,只需證明這條直線與平面內(nèi)的直線的方向向量平行.可用傳統(tǒng)法，也可用向量法，用向量法更為普遍. (2)證明線面垂直的方法:可用直線的方向向量與平面的法向量共線證明，也可用直線的方向向量與平面內(nèi)兩條相交直線的方向向量垂直證明. (3)證明面面垂直通常轉(zhuǎn)化為證明線面垂直,也可用兩平面的法向量垂直來證明.,舉一反三 1. 如圖，在正方體 中，E、F、M分別為棱 的中點(diǎn).求證：,解析：（1）以D為原點(diǎn)，向量 的方向分別為x軸，y軸、z軸的正方向建立坐標(biāo)系如圖，設(shè)正方體的棱長為1. 則 設(shè)平面ADE的法向量為m=(a,b,c), 則 令c=2,得m=(0,-1,2).,（2） 設(shè)平面 的法向量為n=(x,y,z)， 則 令y=2,則n=(0,2,1). mn=(0,-1,2)(0,2,1)=0-2+2=0, mn,平面ADE平面 .,題型二 兩條異面直線所成的角,【例2】 長方體 中, 點(diǎn),P在線段BC上,且CP=2,Q是 的中點(diǎn),求異面直線AM與PQ所成角的余弦值.,分析 本題以長方體為載體,易建立空間直角坐標(biāo)系來解決.欲求異面直線所成的角，一般可以從公式 入手，先求得所需向量，代入即可.,解 如圖,建立空間直角坐標(biāo)系B-xyz,則 故異面直線AM與PQ所成的角的余弦值為 .,學(xué)后反思 求異面直線所成角的主要方法: (1)定義法(平移法); (2)向量法:建系求相關(guān)向量的坐標(biāo)通過向量坐標(biāo)運(yùn)算求角,有時(shí)也可用題目中給出的向量表示相關(guān)向量,然后計(jì)算角. 利用向量求角的關(guān)鍵是區(qū)分異面直線所成角的概念和向量夾角概念的差別.,舉一反三 2. 在正三棱柱 所成角的大小為.,解析: 方法一：如圖1，以A為原點(diǎn)，射線AC、 分別為y軸、z軸，過A垂直于AC、 的射線為x軸，建立空間直角坐標(biāo)系，取 =1，則,方法二：利用平移法作出異面直線所成的角.如圖2，連接,方法三：如圖3，取BC的中點(diǎn)D， 連接 由正三棱柱 知， 面ABC面BC ， 又ADBC,答案:90,題型三 直線與平面所成的角,【例3】 如圖所示,在三棱錐P-ABC中,ABBC,AB=BC= PA.點(diǎn)O、D分別是AC、PC的中點(diǎn),OP底面ABC. (1)求證:OD平面PAB; (2)求直線OD與平面PBC所成角的正弦值.,分析 （1）根據(jù)線面平行的判定定理. （2）幾何法：找出或作出相應(yīng)于平面PBC的垂線、斜線和射影，作出線面角求解；向量法：建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量去解.,解 方法一:(1)證明: O、D分別為AC、PC的中點(diǎn), ODPA. 又PA平面PAB且ODPAB, OD平面PAB.,(2)ABBC,OA=OC, OA=OB=OC. 又OP平面ABC,PA=PB=PC. 取BC中點(diǎn)E,連接PE,則BC平面POE, 平面PBC平面POE. 作OFPE于F,連接DF,則OF平面PBC, ODF是OD與平面PBC所成的角. 在RtOFD中, OD與平面PBC所成角的正弦值為 .,方法二: OP平面ABC,OA=OC,AB=BC, OAOB,OAOP,OBOP. 以O(shè)為原點(diǎn),射線OP為非負(fù)z軸,建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz(如圖), 設(shè)AB=a,則 設(shè)OP=h,則P(0,0,h).,(1)證明:D為PC的中點(diǎn), ,OD平面PAB.,設(shè)平面PBC的一個(gè)法向量為n=(x,y,z), 則 即,設(shè)OD與平面PBC所成的角為,學(xué)后反思 幾何法是把空間角轉(zhuǎn)化成平面角去解，求線面角要按照一作、二證、三計(jì)算的步驟進(jìn)行. 在用向量法求直線OP與平面所成的角時(shí)一般有兩種途徑： 直接求 ，其中 為斜線OP在內(nèi)的射影； 通過求 進(jìn)而轉(zhuǎn)化求解，其中n為平面的法向量，此時(shí)應(yīng)注意OP與平面所成角與 的關(guān)系，它們互為余角，注意最后完成轉(zhuǎn)化.,舉一反三,3. 在正方體 成角的正弦值.,解析：如圖，建立以D為原點(diǎn),DA,DC, 分別為x,y,z軸的坐標(biāo)系,設(shè)棱長為1,平面 的法向量n=(x,y,z), 則 與平面 所成角的正弦值為 .,題型四 二面角 【例4】如圖,在長方體 中, 點(diǎn)E在棱AB上移動(dòng). (1)求證: (2)AE等于何值時(shí),二面角 的大小為 ?,分析 (1)的求解方法有線面垂直的性質(zhì);二面角的逆用;三棱錐等積法.(2)可以用向量法.,解 方法一:(1)AE平面 又 是正方形,(2)如圖，過D作DHCE于H, 設(shè)AE=x,則BE=2-x.,方法二:以D為坐標(biāo)原點(diǎn),直線DA,DC,D 分別為x,y,z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,設(shè)AE=x, 則D(0,0,0), (1,0,1), (0,0,1), E(1,x,0),A(1,0,0),C(0,2,0).,(2)設(shè)平面 EC的法向量n=(a,b,c), =(1,x-2,0), =(0,2,-1), =(0,0,1), 由 令b=1,c=2,a=2-x,n=(2-x,1,2). 依題意，得,學(xué)后反思 確定二面角的平面角的方法: (1)定義法:在二面角的棱上找一特殊點(diǎn),在兩個(gè)半平面內(nèi)分別作垂直于棱的射線. (2)垂面法:過棱上一點(diǎn)作與棱垂直的平面,該平面與二面角的兩個(gè)半平面產(chǎn)生交線,這兩條交線所成的角,即為二面角的平面角. (3)垂線法:過二面角的一個(gè)面內(nèi)一點(diǎn)作另一個(gè)平面的垂線,過垂足作棱的垂線,利用線面垂直可找到二面角的平面角或其補(bǔ)角,此種方法通用于求二面角的所有題目,具體步驟為:一找,二證,三求. (4)向量法:求出兩個(gè)平面的法向量的夾角,然后結(jié)合圖形,求二面角的平面角.,舉一反三 4. （2009陜西改編）如圖，在直三棱柱 中，AB=1， ABC=60. （1）求證：AB ; (2)求二面角A- -B的余弦值.,解析： （1）三棱柱 為直棱柱， 在ABC中，AB=1,AC= ,ABC=60, 由正弦定理得ACB=30，BAC=90, 即ABAC. 如圖，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz, 則,（2）如圖,可取 的法向量,設(shè)平面 的法向量為n=(l,m,n),則,題型五 利用空間向量求距離,【例5】(12分)如圖，在三棱錐S-ABC中,ABC是邊長為4的正三角形,平面SAC平面ABC,SA=SC=2 ,M、N分別為AB、SB的中點(diǎn)，求點(diǎn)B到平面CMN的距離.,分析 由面SAC面ABC,SA=SC,BA=BC,知本題可以取AC中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以O(shè)A,OB,OS所在直線為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,用向量法求解.,解 取AC中點(diǎn)O,連接OS、OB1 SA=SC,AB=BC, ACSO,ACBO.2 平面SAC平面ABC, 平面SAC平面ABC=AC, SO平面ABC,.3 SOBO.4,如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz,5 .7 設(shè)n=(x,y,z)為平面CMN的一個(gè)法向量,8 則 取z=1,則 10 點(diǎn)B到平面CMN的距離 .12,學(xué)后反思 (1)本例求點(diǎn)到面的距離，采用了向量法,比幾何法要簡(jiǎn)便得多，減少了運(yùn)算量. (2)作輔助線證明垂直,創(chuàng)造條件建立空間直角坐標(biāo)系，利用法向量是求點(diǎn)到面距離常用的方法. (3)關(guān)于異面直線、點(diǎn)面、線面、面面距離問題是高考考查的重點(diǎn)的內(nèi)容，可以和多種知識(shí)相結(jié)合，是諸多知識(shí)的交匯點(diǎn).,舉一反三 5. 如圖所示，已知ABC是以B為直角的直角三角形，SA平面ABC，SA=BC=2，AB=4，D、N分別是BC、AB的中點(diǎn)，求A到平面SND的距離.,解析：以A為原點(diǎn)， 為y軸、z軸，過A垂直于 的射線為x軸，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，則 設(shè)平面SND的法向量為n=(x,y,1), A到平面SND的距離為,【例】 在正方體 中，E是棱 的中點(diǎn)，求截面 與半平面ACD所成二面角的余弦值.,易錯(cuò)警示,錯(cuò)解 如圖，建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz, 設(shè)正方體的棱長為1，則 設(shè)n=(x,y,z)是平面EB1C的法向量， 則 令z=1得 .,易知m=(0,0,1)是平面ACD的一個(gè)法向量， 所求二面角的余弦值為 .,錯(cuò)解分析 通過建立空間直角坐標(biāo)系，把二面角的平面角轉(zhuǎn)化為法向量的夾角時(shí)，要注意平面的法向量有兩種指向，必須結(jié)合圖形確定法向量的夾角與所求二面角的平面角是相等的，還是互補(bǔ)的.本例中，如求截面 與半平面ACB所成的二面角的大小就正確了.,正解 接“錯(cuò)解”得到cosm,n= 后，應(yīng)指出,由于所求的二面角是鈍角， 因此其余弦值為- .,考點(diǎn)演練,10. 如圖,在棱長為1的正方體 中,M和N分別是 和 的中點(diǎn),那么直線AM與CN所成角的余弦值為.,解析:以D為坐標(biāo)原點(diǎn), 為z軸建立空間直角坐標(biāo)系,答案:,11. （2010北京海淀區(qū)模擬）如圖，斜三棱柱 的底面是 直角三角形，ACB=90，點(diǎn) 在底面ABC上的射影恰好是BC的中點(diǎn)， 且BC=CA=A . （1）求證： （2）求證： （3）求二面角 的余弦值.,解析：（1）設(shè)BC的中點(diǎn)為M，連接 ，如圖所示.在斜三棱柱 中，點(diǎn) 在底面ABC上的射影恰好是BC的中點(diǎn)， 平面ABC. AC平面ABC， AC. ACB=90,BCAC. BC=M,AC平面 AC平面 , ,（2）因?yàn)辄c(diǎn) 在底面ABC上的射影是BC的中點(diǎn)，設(shè)BC的中點(diǎn)為O，則 O垂直于平面ABC.以O(shè)為原點(diǎn)，過O平行于CA的直線為x軸，BC所在直線為y軸，O 所在直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.,(3)設(shè)平面 的法向量為 則 設(shè)平面 的法向量為,12. (2009萊蕪模擬)如圖,在三棱錐S-ABC中,SC平面ABC,點(diǎn)P、M分別是SC和SB的中點(diǎn),設(shè)PM=AC=1,ACB=90,直線AM與直線SC所成的角為60. (1)求證:平面MAP平面SAC; (2)求二面角M-AB-C的平面角的余弦值; (3)求AP和CM所成角的余弦值.,解析：(1)SC平面ABC,SCBC. 又ACB=90, AC