系統(tǒng)的狀態(tài)變量分析.ppt

第7章 系統(tǒng)的狀態(tài)變量分析,7.1 狀態(tài)變量與狀態(tài)方程 7.2 連續(xù)時間系統(tǒng)狀態(tài)方程的建立 7.3 離散時間系統(tǒng)狀態(tài)方程的建立 7.4 連續(xù)時間系統(tǒng)狀態(tài)方程的求解 7.5 離散時間系統(tǒng)狀態(tài)方程的求解 7.6 系統(tǒng)的可控制性與可觀測性,7.1 狀態(tài)變量與狀態(tài)方程,7.1.1 系統(tǒng)用狀態(tài)變量描述的基本術(shù)語 1狀態(tài) 狀態(tài)可理解為事物的某種特征。狀態(tài)發(fā)生了變化就意味著事物有了發(fā)展和變化，所以狀態(tài)是劃分階段的依據(jù)。系統(tǒng)的狀態(tài)就是指系統(tǒng)的過去、現(xiàn)在和將來的狀況。當系統(tǒng)的所有外部輸入已知時，為確定系統(tǒng)未來運動，必要與充分的信息的集合叫做系統(tǒng)的狀態(tài)。狀態(tài)通常可以用一個數(shù)（變量）或一組數(shù)來描述。,2狀態(tài)變量 狀態(tài)變量是指一組最少的變量，若已知它們在t0時的數(shù)值，則連同所有在tt0時的輸入就能確定在tt0時系統(tǒng)中的任何運動狀態(tài)。需要指出的是，通常系統(tǒng)中這樣一組變量并不一定是唯一的。 3狀態(tài)向量 將n階系統(tǒng)中的n個狀態(tài)變量1(t)，2(t)，n(t)，排成一個n1階的列矩陣(t)，即,此列矩陣(t)即稱為n維狀態(tài)向量，簡稱狀態(tài)向量 。由狀態(tài)變量的定義可知，當(t0)及系統(tǒng)的輸入給定時，(t)便可唯一的被確定。 4初始狀態(tài) 狀態(tài)變量在某一時刻t0的值稱為系統(tǒng)在t0時刻的狀態(tài) 。即 (t)=1(t0)2(t0)n(t0)T,(71),狀態(tài)變量在t0=0時刻的值稱為系統(tǒng)的初始狀態(tài) 或起始狀態(tài) 。即 (0-)=1(0-)2(0-)n(0-)T 5狀態(tài)空間 以n個狀態(tài)變量為坐標軸而構(gòu)成的n維空間稱為狀態(tài)空間，或者說安放狀態(tài)向量的空間即稱為狀態(tài)空間。狀態(tài)向量在狀態(tài)空間n個坐標軸上的投影即相應(yīng)為n個狀態(tài)變量。,6狀態(tài)軌跡 在描述一個動態(tài)系統(tǒng)的狀態(tài)空間中，狀態(tài)向量的端點隨時間變化所經(jīng)歷的路徑稱為系統(tǒng)的狀態(tài)軌跡。一個動態(tài)系統(tǒng)的狀態(tài)軌跡不僅取決于系統(tǒng)的內(nèi)部結(jié)構(gòu)，還與系統(tǒng)的輸入有關(guān)，因此，系統(tǒng)的狀態(tài)軌跡可以形象地描繪出在確定的輸入作用下系統(tǒng)內(nèi)部的動態(tài)過程。,7.1.2 系統(tǒng)的狀態(tài)變量描述 1狀態(tài)方程 對于一個有m個輸入f1(t)，f2(t)，fm(t)，L個輸出y1(t)，y2(t)，yL(t)的連續(xù)時間系統(tǒng)(如圖7.1所示),假設(shè)能充分描述該系統(tǒng)的n個狀態(tài)變量為1(t)2(t)，n(t)，則每個狀態(tài)變量在任何時刻t的一階導(dǎo)數(shù)可表示為該時刻的n個狀態(tài)變量和m個輸入的一個函數(shù)，即,(72),圖7.1 多輸入輸出連續(xù)時間系統(tǒng),系統(tǒng)的狀態(tài)方程也可以用矢量矩陣的形式來表示，即,(73),上式可簡記為,(74),2輸出方程 同樣，對于系統(tǒng)的L個輸出y1(t)，y2(t)，yL(t)，也可以用n個狀態(tài)變量和m個輸入的函數(shù)來表示，其矩陣形式可寫為,(75),(76),圖7.2 多輸入輸出離散時間系統(tǒng),設(shè)有n階多輸入輸出離散系統(tǒng)如圖7.2所示。它的m個輸入為f1(k)，f2(k)，fm(k)，其L個輸出為y1(k)，y2(k)，yL(k)，系統(tǒng)的狀態(tài)變量為1(k)，2(k)，n(k)。則其狀態(tài)方程和輸出方程可寫為 (k+1)=A(k)+Bf(k) (77) y(k)=C(k)+Df(k) (78) 其中 (k)=1(k)，2(k)，n(k)T f(k)=f1(k)，f2(k)，fm(k)T y(k)=y1(k)，y2(k)，yL(k)T,3狀態(tài)變量分析法 以狀態(tài)變量為獨立完備變量，以狀態(tài)方程和輸出方程為研究對象，對多輸入多輸出系統(tǒng)進行分析的方法，稱為狀態(tài)變量分析法，也稱狀態(tài)空間法。該方法的基本步驟是： (1)選取一組獨立的、完備的狀態(tài)變量； (2)列寫系統(tǒng)的狀態(tài)方程，并將其寫成標準的矩陣形式； (3)求解該狀態(tài)方程，得到狀態(tài)向量(t)或(k)； (4)列寫標準形式的輸出方程，并將所求得的狀態(tài)向量(t)或 (k)代入其中，即得到輸出向量y(t)或y(k)。,4狀態(tài)變量的選取 用狀態(tài)變量描述系統(tǒng)的關(guān)鍵是選擇狀態(tài)變量。一般來說，能充分描述因果動態(tài)系統(tǒng)的一組狀態(tài)變量的選擇并不是唯一的。但只要狀態(tài)變量的個數(shù)是充分的，選擇不同的狀態(tài)變量來描述系統(tǒng)都是充分的。因此，如何選擇合適的狀態(tài)變量，主要是看其是否方便于狀態(tài)方程和輸出方程的編寫，以及初始狀態(tài)向量是否容易確定。,5狀態(tài)方程的建立 通常，動態(tài)系統(tǒng)（包括連續(xù)的和離散的）的狀態(tài)方程和輸出方程可以根據(jù)描述系統(tǒng)的輸入輸出方程（微分或差分方程）、系統(tǒng)函數(shù)、系統(tǒng)的模擬框圖或信號流圖等列出。對于電路，則可以根據(jù)電路圖直接列出。,7.2 連續(xù)時間系統(tǒng)狀態(tài)方程的建立,7.2.1 根據(jù)電路圖列寫狀態(tài)方程 對于純正電路，其狀態(tài)方程直觀列寫的一般步驟是： （1）選所有獨立電容電壓和獨立電感電流作為狀態(tài)變量； （2）為保證所列出的狀態(tài)方程等號左端只為一個狀態(tài)變量的一階導(dǎo)數(shù)，必須對每一個獨立電容寫出只含此獨立電容電壓一階導(dǎo)數(shù)在內(nèi)的節(jié)點（割集）KCL方程，對每一個獨立電感寫出只含此電感電流一階導(dǎo)數(shù)在內(nèi)的回路KVL方程；,（3）若第（2）步所列出KCL、KVL方程中含有非狀態(tài)變量，則利用適當?shù)墓?jié)點KCL方程和回路KVL方程，將非狀態(tài)變量消去； （4）將列出的狀態(tài)方程整理成式（73）的矩陣標準形式。,例71 寫出圖7.3所示電路的狀態(tài)方程，若以電流iC和電壓u為輸出，列出輸出方程。,圖7.3 例71圖,解該系統(tǒng)中有三個獨立動態(tài)元件，故需三個狀態(tài)變量。選取電容電壓uC和電感電流iL2、iL3為狀態(tài)變量。 對接有電容C的節(jié)點運用KCL可得 選包含L2的回路L2uSC以及包含L3的回路L3RuSC，運用KVL可得兩個獨立電壓方程,(79),(710),將式（79）和式（710）稍加整理，即可得到狀態(tài)方程,(711),寫成標準矩陣形式為,(712),輸出方程為,(713),寫成標準矩陣形式為,(714),7.2.2 由系統(tǒng)的模擬框圖或信號流圖建立狀態(tài)方程 由系統(tǒng)的模擬框圖或信號流圖建立狀態(tài)方程是一種比較直觀和簡單的方法，其一般規(guī)則是： (1）選積分器的輸出（或微分器的輸入）作為狀態(tài)變量。 （2）圍繞加法器列寫狀態(tài)方程或輸出方程。,圖7.4 狀態(tài)變量的選擇,例72 已知一個三階連續(xù)系統(tǒng)的模擬框圖如圖7.5所示，試建立其狀態(tài)方程和輸出方程。,圖7.5 例72系統(tǒng)的模擬框圖,解 選擇各積分器的輸出為狀態(tài)變量，從右邊到左邊依次取為1(t)、2(t)和3(t)，如圖所示。根據(jù)各積分器輸入輸出和加法器的關(guān)系，可寫出狀態(tài)方程為,對于例72，對應(yīng)的信號流圖如圖7.6所示，雖然模擬框圖是系統(tǒng)的時域描述，信號流圖是系統(tǒng)的s域描述，二者的含義不同，但是，若撇開它們的具體含義，而只把s-1看作是積分器的符號，那么從圖的角度而言，它們并沒有原則上的區(qū)別。因此，只要選擇了s-1的輸出端狀態(tài)變量即可寫出狀態(tài)方程。,圖7.6 例72對應(yīng)的信號流圖,7.2.3 由微分方程或系統(tǒng)函數(shù)建立狀態(tài)方程 若已知系統(tǒng)的微分方程，為了更具一般性，設(shè)其分子、分母多項式中s的最高冪次相同（即取m=n的一般情況），為 （p3+a2p2+a1p+a0）y(t)=（b3p3+b2p2+b1p+b0）f(t) 則進而可寫出系統(tǒng)函數(shù)為,(715),設(shè)H(s)的分子與分母無公因子相消，則可根據(jù)系統(tǒng)的微分方程或H(s)，畫出直接形式、并聯(lián)形式、級聯(lián)形式的模擬框圖或信號流圖，然后再從模擬框圖或信號流圖建立系統(tǒng)的狀態(tài)方程。 1. 直接模擬法相變量 取積分器的輸出信號為狀態(tài)變量，則狀態(tài)方程為,(716),輸出方程為,(717),當mn時，例如， (1) 若b3=0，則,(2) 若b3=b2=0，則,(3) 若b3=b2=b1=0，則,2. 并聯(lián)模擬對角線變量 設(shè)系統(tǒng)函數(shù)H(s)的極點為單實極點p1、p2、p3， 則可將H(s)展開為,(718),其中，H0=bn/an，即H0=b3。取積分器的輸出信號為狀態(tài)變量，則狀態(tài)方程為,(719),輸出方程為,(720),當mn時，b3一定為0，則輸出方程變?yōu)?3.級聯(lián)模擬 設(shè)系統(tǒng)的零點和極點分別為z1、z2、z3和p1、p2、p3，則系統(tǒng)函數(shù)H(s)可寫成 其中，H0=b3，則狀態(tài)方程為,(721),(722),輸出方程為,(723),例73 已知一個二階微分方程式 試寫出其狀態(tài)方程和輸出方程。 解 令y(t)和y(t)為系統(tǒng)的狀態(tài)變量，即 則由原微分方程式可得到系統(tǒng)的狀態(tài)方程為,系統(tǒng)的輸出方程為y(t)=1(t)，寫成矩陣形式為,例74 已知 ，試列寫出與直接模擬、并聯(lián)模擬、級聯(lián)模擬相對應(yīng)的狀態(tài)方程與輸出方程。 解 均以積分器的輸出信號為狀態(tài)變量。 （1）直接模擬,（2）并聯(lián)模擬 H(s)可寫成如下形式，即,所以狀態(tài)方程與輸出方程為,（3）級聯(lián)模擬 H(s)可寫成如下形式，即,圖7.7 級聯(lián)系統(tǒng)框圖,輸出方程為y(t)=32(t)，即,7.3 離散時間系統(tǒng)狀態(tài)方程的建立,7.3.1 由系統(tǒng)框圖或信號流圖建立狀態(tài)方程 離散系統(tǒng)狀態(tài)方程的建立與連續(xù)系統(tǒng)相類似，也可利用框圖或信號流圖列出。由于離散系統(tǒng)狀態(tài)方程是i(k+1)與各狀態(tài)變量和輸入的關(guān)系，因此選各延遲單元D（對應(yīng)于支路z-1）的輸出端信號為狀態(tài)變量i(k)，那么其輸入端信號就是i(k+1)，這樣，根據(jù)系統(tǒng)的框圖或信號流圖就可列出該系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程。例75一個二輸入二輸出的離散系統(tǒng)框圖如圖7.8所示，試寫出其狀態(tài)方程和輸出方程。,圖7.8 二輸入二輸出離散系統(tǒng)框圖,解 選延遲單元的輸出端信號1(k)，2(k)為狀態(tài)變量，如圖所示。由左端加法器可列出狀態(tài)方程 1(k+1)=a11(k)+f1(k) 2(k+1)=a22(k)+f2(k) 由右端加法器可列出輸出方程為 y1(k)=1(k)+f2(k) y2(k)=2(k)+f1(k),寫成矩陣表達式為,7.3.2 由差分方程或系統(tǒng)函數(shù)建立狀態(tài)方程 若已知系統(tǒng)的差分方程，可先由系統(tǒng)的差分方程求出系統(tǒng)函數(shù)H（z），然后由H（z）畫出系統(tǒng)的框圖，再從框圖建立系統(tǒng)的狀態(tài)方程。 例76描述某離散系統(tǒng)的差分方程為 y(k)+2y(k-1)-3y(k-2)+4y(k-3)=f(k-1)+2f(k-2)-3f(k-3) 試寫出其狀態(tài)方程和輸出方程。 解通過差分方程，我們不難得到該系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù),根據(jù)H(z)，可畫出如圖7.9所示的直接形式的k域系統(tǒng)框圖和z域信號流圖。 選延遲單元D（相應(yīng)于z-1）的輸出信號為狀態(tài)變量（如圖7.9所示），可列出狀態(tài)方程和輸出方程為 1(k+1)=2(k) 2(k+1)=3(k) 3(k+1)=-41(k)+32(k)-23(k)+f(k) y(k)=-31(k)+22(k)+3(k),圖 7.9 (a)k域框圖；(b)z域信號流圖,將它們寫成矩陣表達式為,7.4 連續(xù)時間系統(tǒng)狀態(tài)方程的求解,連續(xù)時間系統(tǒng)狀態(tài)方程和輸出方程的一般形式為,(724),(725),當給定初始狀態(tài),7.4.1 時域解法 對于LTI系統(tǒng)，狀態(tài)方程實際上是一組常系數(shù)一階線性微分方程。定義矩陣指數(shù),(726),(727),將式（724）兩邊同乘以e-At并移項，有,(728),(729),(730),(731),(732),(733),將式（732）兩邊同乘以eAt，則可寫為 可見，狀態(tài)變量由只與初始狀態(tài)有關(guān)的零輸入解和只與輸入有關(guān)的零狀態(tài)解兩部分組成。將上式結(jié)果代入式（725），得到系統(tǒng)輸出方程的解,(734),(735),由于輸入函數(shù)f(t)的各分量fi(t)與單位沖激函數(shù)(t)的卷積是該函數(shù)本身，即 (t)*fi(t)=fi(t) 若定義一個對角方陣(t)，稱為單位沖激矩陣，令,(738),則顯然有 (t)*f(t)=f(t) (739) 于是，式（735）可寫為,(740),當輸入f(t)=(t)時，則零狀態(tài)響應(yīng)即為系統(tǒng)的沖激 響應(yīng)，即 h(t)=C(t)B+D(t) (741),例77 已知某二階系統(tǒng)的狀態(tài)方程為 并且當 求該系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣(t)和系統(tǒng)矩陣A。 解 由式（734）知，狀態(tài)向量的零輸入解,由于(t)=eAt，根據(jù)矩陣指數(shù)的性質(zhì),7.4.2 變換域解法 對式（724）兩邊取拉普拉斯變換，得 s(s)-(0-)=A(s)+BF(s) (742) 即 (sI-A)(s)=(0-)+BF(s) 兩邊同乘以sIA-1，得 (s)=sI-A-1(0-)+sI-A-1 BF(s) (743),對式（743）第一項取拉氏反變換，并與式（736）零輸入解進行比較，得 (t)(0-)=L-1sI-A-1(0-) 由于(0-)是常數(shù)矩陣，于是有 (t)=eAt=L-1sI-A-1 (744) 為了方便，定義 (s)=L(t)=sI-A-1 (745) 稱為狀態(tài)預(yù)解矩陣。于是，式（743）可寫為 (s)=(s)(0-)+(s)BF(s) (746),對其取反變換即得到時域解式（736） (t)=(t)(0-)+L-1(s)BF(s) (7 47) 另外，在時域法中，我們也常利用式（744）來求解狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣(t)。 同樣，對式（725）兩邊取拉氏變換得 Y(s)=C(s)+DF(s) （748） 將式（746）代入并整理得 Y(s)=C(s)(0-)+C(s)B+DF(s) (749),對其取反變換，得 Y(t)=CL-1(s)(0-)+L-1C(s)B+DF(s) (750) 定義 H(s)=C(s)B+D （751） 稱為系統(tǒng)的轉(zhuǎn)移（傳輸）函數(shù)矩陣。并且有 h(t)=L-1H(s) 即，沖激響應(yīng)矩陣h(t)與系統(tǒng)轉(zhuǎn)移函數(shù)矩陣H(s)是一對拉氏反變換。,系統(tǒng)的轉(zhuǎn)移（傳輸）函數(shù)矩陣,在前面也曾指出，如果系統(tǒng)函數(shù)H(s)在j軸上收斂，則系統(tǒng)的頻率響應(yīng)H(j)=H(s)|s=j。當用狀態(tài)變量法分析系統(tǒng)時，如果H(s)的所有元素均在j軸上收斂，則系統(tǒng)的頻率響應(yīng)矩陣,7.5 離散時間系統(tǒng)狀態(tài)方程的求解,離散系統(tǒng)狀態(tài)方程的求解與連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的求解相似。設(shè)離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程與輸出方程的一般形式如下 (k+1)=A(k)+Bf(k) （753） y(k)=C(k)+Df(k) （754）,由于式（753）是一組差分方程，在給定系統(tǒng)的初始狀態(tài)(k0)后，可直接用迭代法或遞推法來求解，這也是離散系統(tǒng)能方便地利用計算機進行求解的優(yōu)點。一般來說，采用遞推法難以獲得閉合形式的解，因而常用迭代法來解狀態(tài)方程。 由式（753）有,(k0+1)= A(k0)+Bf (k0) (k0+2)= A(k0+1)+Bf (k0+1) = A2(k0)+ABf(k0)+Bf(k0+1) (k0+k)= A(k0+k-1)+Bf(k0+k-1),(755),若初始時刻k0=0，則有,(756),將式（756）代入系統(tǒng)的輸出方程式（754）得： 矩陣Ak稱為離散系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，用(k)來表示，即 (k)=Ak（k0） (758) 則 (k)=(k)(0)+(k-1)B*f(k) (759) y(k)=C(k)(0)+C(k-1)B*f(k)+Df(k) (760),(757),同樣，若定義一個對角方陣(k)，稱為單位序列函數(shù)矩陣，令,(761),顯然有 (k)*f(k)=f(k) (762),于是，式（760）可寫為 y(k)=C(k)(0)+C(k-1) B*f(k)+D(k)*f(k) =C(k)(0)+C(k-1)B+D(k)*f(k) =C(k)(0)+h(k)*f(k) (763) 其中h(k)稱為單位序列響應(yīng)矩陣，有 h(k)=C(k-1)B+D(k) (764),對式（753）、（754）兩邊取Z變換，得 z(z)-z(0)=A(z)+BF (z) (765) y(z)=C(z)+DF(z) (766) 經(jīng)整理得 (z)=zIA-1 z(0)+zI-A-1 BF(z) (767) y(z)=CzI-A-1 z(0)+CzI-A-1 B+DF(z) (768) 定義 H(z)=CzIA-1 B+D (769) Zh(k)=H(z) (770),對式（767）、（768）取反變換即得到離散系統(tǒng)狀態(tài)方程與輸出方程的 解 (k)=Z-1zI-A-1 z(0)+Z-1 zI-A-1 B*Z-1F(z) (771) y(k)=Z-1CzI-A-1 z(0)+Z-1 CzI-A-1 B+D*Z-1F(z) (772),將上式與式（756）、（757）進行比較，可得狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣 (k)=Ak=Z-1zI-A-1 z (773) 這里也為我們提供了一種求狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣(k)的方法,為了方便，我們定義 (z)=Z(k)=zI-A-1 z (774) 稱為狀態(tài)預(yù)解矩陣。于是，式（767）、（768）可寫為 (z)=(z)(0)+Z-1 (z)BF(z) (775) y(z)=C(z)(0)+H(z)F (z) (776),例79已知某離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程與輸出方程為,初始狀態(tài) ，激勵f(k)=u(k)。試求其狀態(tài)轉(zhuǎn)移 矩陣Ak、狀態(tài)向量(k)、輸出向量y(k)、z域轉(zhuǎn)移函數(shù) 矩陣H(z)以及單位序列響應(yīng)矩陣h(k)。,解 由以上方程知，系統(tǒng)矩陣,于是得,取其反變換得,由式（775），得 (z)=(z)(0)+Z-1 (z)BF(z),對(z)取反變換，得,y(z)=C(z)(0)+H(z)F (z) 故先求H(z)，得 H(z)=CzI-A-1 B+D,于是，可得,單位序列響應(yīng)矩陣為,如果系統(tǒng)函數(shù)H(z)在單位圓上收斂，則系統(tǒng)的頻率特性為 （=Ts）H(e j)=H(z)|z=j (777) 當用狀態(tài)變量法分析系統(tǒng)時，如果H(z)的所有元素均在單位圓上收