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第7章 特征理論 偏微分方程組,7.1.1 弱間斷解與弱間斷面,第7章 特征理論 偏微分方程組,例子 考慮弦振動方程 則 不是古典解，但它是弱間斷解。,第7章 特征理論 偏微分方程組,7.1.2 特征方程與特征曲面 設光滑曲面 是方程（7.1.1)的弱間斷面。 可以推出它應滿足的條件為下式在 上處處成立。,第7章 特征理論 偏微分方程組,方程特征曲面的例子,第7章 特征理論 偏微分方程組,7.2 方程組的特征理論,第7章 特征理論 偏微分方程組,7.2.1 弱間斷解與特征線,第7章 特征理論 偏微分方程組,第7章 特征理論 偏微分方程組,第7章 特征理論 偏微分方程組,7.2.2 狹義雙曲型方程組的標準型,第7章 特征理論 偏微分方程組,將狹義雙曲型方程化為標準型的方法： 1. 求向量方程 的解。 2. 令， 用T 左乘（7.2.2）式得：,第7章 特征理論 偏微分方程組,3.,第7章 特征理論 偏微分方程組,7.3 雙曲型方程組的Cauchy 問題 首先指出，并非對一切類型的方程組都可以Cauchy問題，有例子表明，當特征方程（7.2.6)有復根時，方程組（7.2.1)的Cauchy問題的解是不穩(wěn)定的。所以我們僅限于討論雙曲型方程組的Cauchy問題。為便于理解和敘述，這里僅討論兩個自變量的對角型方程組的Cauchy問題。,第7章 特征理論 偏微分方程組,7.3.1 解的存在性和唯一性,第7章 特征理論 偏微分方程組,第7章 特征理論 偏微分方程組,7.3.2 解的穩(wěn)定性,第7章 特征理論 偏微分方程組,7.4 定理,第7章 特征理論 偏微分方程組,第7章 特征理論 偏微分方程組,7.4.2 Cauchy 問題的化簡 首先，把高階非線性 C-K 型組 Cauchy 問題化為一個與其等價的一階非線性 C-K 型組的 Cauchy 問題。 其次，我們可以把一個一階非線性 C-K 型組 Cauchy 問題化為一個與其等價的一階擬線性 C-K 型組的 Cauchy 問題。方法是將所有對空間變量的微商取作新的未知函數，然后這些新的未知函數對時間變量求微商，并利用已知方程式即得。 Cauchy問題(7.4.2)化為如下的一階擬線性 C-K 型方程組的Cauchy問題:,第7章 特征理論 偏微分方程組,于是，C-K 定理 7.4.1可等價地敘述為 C-K型定理的證明用的是強函數的方法，即用一個明顯可解出的問題與所考慮的問題相比較，故須要介紹強函數的概念。,第7章 特征理論 偏微分方程組,7.4.3 強函數,第7章 特征理論 偏微分方程組,7.4.4 C-K 定理的證明 （1） 唯一性（冪級數解法）。 （2） 存在性（強函數方法）。 附注 1 該定理斷言解析解的局部存在唯一性，并沒有保證整體解的存在性。 附注 2 由證明知，若方程右端及Cauchy數據是各自變量的解析函數，則在初始平面 上任意點的領域內都存在一個解析解。再由解的唯一性知，把這些解粘合在一