對“算法初步”在中學(xué)教學(xué)中的一些思考.doc

鹽城師范學(xué)院畢業(yè)論文對“算法初步”在中學(xué)教學(xué)中的一些思考摘要：當(dāng)算法作為重要內(nèi)容第一次被列入高中數(shù)學(xué)的必修課程時，曾引起了強烈的反響。如今，算法在中學(xué)的第一輪教學(xué)實驗已經(jīng)結(jié)束了。本文從一個教材編寫者的角度出發(fā)，匯集了實驗中的一些經(jīng)驗和教訓(xùn)，并將思考和整理的結(jié)果呈現(xiàn)出來，希望引起更多讀者對這一議題的研討。關(guān)鍵詞：算法; 算法的教學(xué); 算法的三種基本邏輯結(jié)構(gòu) “算法初步”一章在中學(xué)的第一輪教學(xué)實驗已經(jīng)結(jié)束了。這一首次出現(xiàn)在中學(xué)數(shù)學(xué)課程中的內(nèi)容，既給一些教師造成了巨大的壓力，成為他們教學(xué)的難點，也激發(fā)了一些教師極大的興趣，為他們發(fā)揮創(chuàng)造力和施展個人特長提供了很好的機會?？傮w來說，教師們在教學(xué)的過程中一般都投入了很大的精力，也積累了一些成功或失敗的經(jīng)驗。作為“算法初步”的編寫者之一，筆者一直密切關(guān)注本章的教學(xué)實踐，也非常希望已完成本章教學(xué)或正在為此做準(zhǔn)備的教師，都積極參與到本章的教學(xué)研討中來，使“算法初步”在中學(xué)中的教學(xué)得到進一步的成熟和完善。本文的目的就是試圖從教材編寫者的角度出發(fā)，對“算法初步”的教學(xué)做一個總結(jié)，特別是介紹教學(xué)中一些好的想法和做法，以起到拋磚引玉的作用。一、引入算法的必要性算法的引入在中學(xué)數(shù)學(xué)教師中曾引起過強烈的反響。其中一些教師持不理解的態(tài)度，如有的教師認為這些內(nèi)容缺乏“數(shù)學(xué)味”，屬于信息技術(shù)課程的內(nèi)容，因此安排在數(shù)學(xué)課程中是不合適的。筆者在實踐中發(fā)現(xiàn)，對于大多數(shù)教師來說，算法的教學(xué)確實大大加重了他們的教學(xué)負擔(dān)。但是，算法的引入仍然具有必要性，它理應(yīng)受到“歡迎”，而不是“排斥”。下面，從三個方面對在中學(xué)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)課程中引入算法的必要性做一個闡述，希望能夠解答一些教師的困惑，提高算法的支持度。(一) 算法是計算機科學(xué)的核心就像人類發(fā)明機器是為了拓展人的生產(chǎn)能力、發(fā)明交通工具是為了拓展人的行動能力一樣，計算機的發(fā)明是為了將人的抽象思維能力拓展到自身以外。每一天，我們使用計算機的電子表格、字處理器、網(wǎng)頁瀏覽器等程序塊來完成各種各樣的任務(wù)。表面看來，計算機做的事情非常漂亮，但那只是一種幻覺。計算機可以做的所有事情只是非?？焖俚夭僮饔?和0組成的數(shù)字。另一方面，我們?nèi)祟悈s不能用1和0進行思考。算法就是將人類的思維能力形式化為計算機可以執(zhí)行的步驟，使得若干微小的電子元件代替人類進行思考。具體過程是先將解決問題的一系列步驟寫成算法，再翻譯成某種程序設(shè)計語言在計算機上實現(xiàn)，就得到了我們每天操作的程序塊。因此，算法是計算機科學(xué)的核心，換句話說，算法是計算機程序的基礎(chǔ)。沒有算法，計算機的存在也就失去了意義。(二) 科學(xué)計算成為第三種科學(xué)研究方法 隨著社會和科學(xué)技術(shù)的發(fā)展與進步，科學(xué)的兩大研究方法理論和實驗越來越多地表現(xiàn)出局限性。許多研究的對象既不可能用理論精確地描述，也不可能通過實驗手段來實現(xiàn)，而計算方法與之相比，有其獨到之處?？茖W(xué)計算是20世紀(jì)后期才興起的一門學(xué)科，如今已經(jīng)廣泛滲透到生物醫(yī)學(xué)研究、基因工程、太空探測和每日天氣預(yù)報等各個領(lǐng)域。人們利用計算機進行模擬和實驗來理解現(xiàn)象，猜測新的事實，發(fā)現(xiàn)新的理論，使各個領(lǐng)域的研究都獲得突破的可能。例如，醫(yī)生想知道病人大腦或其他器官的一些情況，他無法簡單地將病人解剖來進行觀察，但可以利用計算機來處理超聲波或磁場共振信號，并建立可視圖像；經(jīng)濟學(xué)家想為政府制定經(jīng)濟政策提供輔助信息，若采用在局部區(qū)域內(nèi)制定實驗性的經(jīng)濟政策的方法，可能會給該區(qū)域造成巨大的損失，但通過建立經(jīng)濟行為的算法模型，模擬各種經(jīng)濟現(xiàn)象，則可能得到理想的結(jié)果?？茖W(xué)計算對每個專業(yè)和每個研究領(lǐng)域都產(chǎn)生了巨大的沖擊。隨著幾乎所有學(xué)科走向定量化和精確化，科學(xué)知識結(jié)構(gòu)也發(fā)生了巨大的變化，產(chǎn)生了一系列計算性的學(xué)科分支，如計算幾何、算法數(shù)論、計算統(tǒng)計、計算流體力學(xué)、計算量子化學(xué)、計算胚胎學(xué)、計算地質(zhì)學(xué)、計算氣象學(xué)、計算材料科學(xué)、計算天文學(xué)等等。 現(xiàn)在，科學(xué)計算繼實驗、理論之后，已經(jīng)成為第三種科學(xué)研究手段。(三) 計算思維時代的到來在以規(guī)?；笊a(chǎn)為特征的“機械時代”，一般不需要勞動者擁有出眾的才華或者獨特的創(chuàng)意，在這種體制下培養(yǎng)出的人才是“模式化”的、“整齊劃一”的，勞動者只需要掌握自己所從事工作的基礎(chǔ)知識，并按照上級的指令認真做事就可以了。如今，我們的生活方式正在被計算機和網(wǎng)絡(luò)所日益改變著。更加重要的是，計算機不僅在形式上改變著我們的生活方式，而且從思維的深處改變著我們認識世界、改造世界的方式，對我們?nèi)绾嗡伎妓鎸Φ膯栴}和如何解決問題都產(chǎn)生了深刻的影響。21世紀(jì)是創(chuàng)意與構(gòu)思的時代，有意識地培養(yǎng)學(xué)生的算法思想，幫助他們構(gòu)建算法意識，以“算法的視角”看待和解決問題，必將有利于他們未來的發(fā)明與創(chuàng)新。 二、數(shù)學(xué)課程中算法的切入點傳統(tǒng)程序設(shè)計語言的教學(xué)往往存在一個弊端，即讓學(xué)生過早地糾纏于程序的調(diào)試和實現(xiàn)，而任何一種程序設(shè)計語言通常都涉及到大量與技術(shù)問題相關(guān)的煩人細節(jié)，使得成功編譯和執(zhí)行程序需要花費大量的時間。事實上，每一種程序設(shè)計語言都是為特殊的目標(biāo)而創(chuàng)建的，都是將算法轉(zhuǎn)換為計算機程序的工具，因此它們之間的差別只是一件小事，算法才是關(guān)鍵所在。在數(shù)學(xué)課程中，算法的教學(xué)更應(yīng)該關(guān)注的是算法對問題的抽象過程和算法的構(gòu)建過程。在這個過程中，使學(xué)生著重理解算法的“算理”，同時體會算法的程序性、明確性、有效性和有限性等特點，學(xué)習(xí)設(shè)計和描述算法以解決實際問題和與人交流，發(fā)展有條理的思維和表達能力，提高邏輯判斷能力。因此，在數(shù)學(xué)課程中，應(yīng)該盡力讓學(xué)生在簡單的計算機語言環(huán)境中學(xué)習(xí)算法的基本知識，而把有效設(shè)計、實現(xiàn)、調(diào)試和測試程序的任務(wù)留給信息技術(shù)等其他課程。從這個層面上說，在教學(xué)中應(yīng)該把程序框圖作為描述算法的主要工具。 另一方面，進行算法的教學(xué)又不能完全脫離計算機程序設(shè)計。這是因為，我們要講的算法不是廣義的解決現(xiàn)實中一切問題的算法，而是“用計算機來解決某一類問題的程序或步驟”。這就要求學(xué)生在設(shè)計算法時，調(diào)整以往的解數(shù)學(xué)題的思維方式，設(shè)計出明確、有效、有限、可以轉(zhuǎn)化為計算機程序的算法步驟。同時，還要理解一些在計算機程序設(shè)計中所慣用的做法，主要是設(shè)置變量和賦值。例如，在求前100個正整數(shù)的和的“累加器”中，包含算法步驟“sumsum+n”“nn+1”，它們表示的不是相等，而是賦值過程，但很多學(xué)生在初學(xué)算法時都難以理解。為了解決這個問題，可以在進行三種基本邏輯結(jié)構(gòu)的教學(xué)時，結(jié)合具體例子幫助學(xué)生學(xué)習(xí)如何設(shè)置變量和進行賦值。三、算法教學(xué)的重點(一) 算法教學(xué)的過程通常，人們在用計算機解決問題時，先在頭腦中構(gòu)思一個算法（這類似于教科書中的用自然語言描述算法），接著畫出程序框圖形象直觀地把算法表達出來，然后再根據(jù)程序框圖編寫計算機程序。我們進行算法教學(xué)，也是遵循類似的過程進行的。首先，讓學(xué)生在理解算法概念的基礎(chǔ)上，學(xué)習(xí)用自然語言描述算法，然后，教學(xué)生畫程序框圖表示算法，最后，讓學(xué)生將程序框圖轉(zhuǎn)化為計算機程序，在計算機上實現(xiàn)算法。(二) 算法教學(xué)的重點筆者認為在上述算法教學(xué)的過程中，教學(xué)的重點是算法的三種基本邏輯結(jié)構(gòu)，即順序結(jié)構(gòu)、條件結(jié)構(gòu)和循環(huán)結(jié)構(gòu)。這是因為，三種基本邏輯結(jié)構(gòu)被認為是一個良好算法的基本單元，換句話說，要設(shè)計出一個結(jié)構(gòu)良好、易讀好懂的算法，就必須以三種基本邏輯結(jié)構(gòu)為基礎(chǔ)來構(gòu)建算法。而且，三種基本邏輯結(jié)構(gòu)中蘊涵了比較深刻的思想。順序結(jié)構(gòu)反映的是“step by step”的思想，即把解決問題的方法步驟化，一步一步地執(zhí)行；條件結(jié)構(gòu)反映的是“先判斷、后執(zhí)行”的思想，計算機區(qū)別于其他機械的能力就來自于算法做判斷和按判斷的結(jié)果行動的能力；循環(huán)結(jié)構(gòu)蘊涵的是“遞推”的思想，由于學(xué)生還沒有學(xué)習(xí)數(shù)列，對這種思想方法還是初次接觸。由三種基本邏輯結(jié)構(gòu)順序構(gòu)成的程序框圖，明確簡練，結(jié)構(gòu)分明，很容易改寫成計算機程序，而程序設(shè)計語言中的賦值語句、條件語句和循環(huán)語句可以看成是三種基本邏輯結(jié)構(gòu)的“機器化”。教學(xué)算法的三種基本邏輯結(jié)構(gòu)，結(jié)合程序框圖的教學(xué)進行為宜。具體做法是：首先，結(jié)合程序框圖，幫助學(xué)生理解三種基本邏輯結(jié)構(gòu)的含義；然后，在設(shè)計一個算法的程序框圖的過程中，選擇合適的基本邏輯結(jié)構(gòu)表示算法步驟。下面，對算法的三種基本邏輯結(jié)構(gòu)作一些具體的說明，供教師參考。1. 順序結(jié)構(gòu)顧名思義，順序結(jié)構(gòu)就是按照算法步驟排列的順序，逐條執(zhí)行算法。如圖1所示，虛線框內(nèi)是一個順序結(jié)構(gòu)，步驟和步驟n+1是順序執(zhí)行的。順序結(jié)構(gòu)在計算機中表現(xiàn)為，計算機按照語句出現(xiàn)的先后次序執(zhí)行的一串語句。一般來說，學(xué)生對順序結(jié)構(gòu)的理解沒有困難。2. 條件結(jié)構(gòu)條件結(jié)構(gòu)是根據(jù)“條件”在不同情況下的取值選擇不同的處理方法，可以在兩種情況下選擇一種（雙分支），也可以在多種情況下選擇一種（多分支）。教科書一般只采用了“雙分支”的簡單情形。如圖2所示，虛線框內(nèi)是一個條件結(jié)構(gòu)。此結(jié)構(gòu)中包含一個判斷框，根據(jù)條件p是否滿足，選擇執(zhí)行步驟A或步驟B，但不會出現(xiàn)同時執(zhí)行步驟A和步驟B的情形。3. 循環(huán)結(jié)構(gòu)在生活中，我們有時需要重復(fù)做一些事情（如求50個學(xué)生的總成績，需要做50次加法運算，每次加入一個學(xué)生的成績）。從完成這類事情的過程中，可以找出3個關(guān)鍵的地方，即“從什么地方開始”“反復(fù)做什么”“在什么條件下結(jié)束”。計算機的運算速度快，最善于進行重復(fù)性的工作，可以將人們從繁重的重復(fù)運算中解救出來。循環(huán)結(jié)構(gòu)可以讓計算機在某個條件成立的情況下重復(fù)執(zhí)行某個步驟。在構(gòu)造循環(huán)結(jié)構(gòu)時，也必須保證完成下面的事情。(1) 循環(huán)前，初始化變量的值。例如，在“輸出1100”的循環(huán)結(jié)構(gòu)中，要先給輸出的變量i賦初值1。(2) 確定循環(huán)體。循環(huán)體就是在循環(huán)結(jié)構(gòu)中反復(fù)執(zhí)行的操作步驟，例如，上述循環(huán)結(jié)構(gòu)中的循環(huán)體是“輸出變量i”和“i=i+1”。(3) 設(shè)置循環(huán)終止條件。循環(huán)結(jié)構(gòu)不能是永無終止的“死循環(huán)”，一定要在某個條件下終止循環(huán)，這就需要條件結(jié)構(gòu)來做出判斷，因此，循環(huán)結(jié)構(gòu)中一定包含條件結(jié)構(gòu)。例如，上述循環(huán)結(jié)構(gòu)中的終止條件是“i=100”。循環(huán)結(jié)構(gòu)有兩類，當(dāng)型循環(huán)和直到型循環(huán)。如圖3所示，當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)表示“當(dāng)條件p1滿足時，反復(fù)執(zhí)行循環(huán)體”；直到型循環(huán)結(jié)構(gòu)表示“反復(fù)執(zhí)行循環(huán)體直到條件p2滿足”。 相對于順序結(jié)構(gòu)和條件結(jié)構(gòu)來說，循環(huán)結(jié)構(gòu)的教學(xué)難度較大。這是因為，盡管學(xué)生以往對循環(huán)操作這種處理問題的方式已有一些經(jīng)驗，但真正接觸循環(huán)結(jié)構(gòu)還是第一次；而且，程序設(shè)計中的循環(huán)結(jié)構(gòu)與學(xué)生熟悉的重復(fù)運算存在一定的區(qū)別。因此，需要幫助學(xué)生理解和構(gòu)造適合于計算機的循環(huán)結(jié)構(gòu)。從圖13的程序框圖中可以看出，三種基本邏輯結(jié)構(gòu)存在共同的特點，即只有一個入口和一個出口，每一個基本邏輯結(jié)構(gòu)的每一部分都有機會被執(zhí)行到，而且結(jié)構(gòu)內(nèi)不存在死循環(huán)。四、典型算法模型的作用實踐證明，在進行算法教學(xué)的過程中，應(yīng)盡可能選取最簡單、最典型的算法模型作為載體。這是因為，一方面進行算法教學(xué)的目標(biāo)是介紹算法的基本思想和初步知識，另一方面，算法本身就是與具體問題結(jié)合在一起的，空講理論只能導(dǎo)致學(xué)生不能真正理解算法和不會設(shè)計具體問題的算法，而從簡單、典型、學(xué)生熟悉的算法模型中挖掘、提煉出來的思想和方法，更容易被學(xué)生接受。下面，我們舉兩個例子說明這個問題。(一) 條件結(jié)構(gòu)與分段函數(shù)分段函數(shù)是學(xué)生已經(jīng)熟悉的內(nèi)容，它的表達式根據(jù)自變量取值范圍的不同而有不同的形式。在進行條件結(jié)構(gòu)的教學(xué)時，可以將條件結(jié)構(gòu)與分段函數(shù)聯(lián)系起來，讓學(xué)生設(shè)計含有條件結(jié)構(gòu)的算法來計算分段函數(shù)的值。例如，要輸出分段函數(shù)的值，就可以用一個最簡單的條件結(jié)構(gòu)來構(gòu)造算法。對于一些應(yīng)用問題，如判斷某一年是否為閏年，求一元二次方程ax2+bx+c=0的實數(shù)根等等，也可以先將問題轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)，再用條件結(jié)構(gòu)來構(gòu)造算法。(二) 循環(huán)結(jié)構(gòu)與“累加器”如前所述，循環(huán)結(jié)構(gòu)是教學(xué)的難點。筆者認為“累加器”是一個很好的載體，借助于“累加器”，可以使學(xué)生經(jīng)歷把“遞推求和”轉(zhuǎn)化為“循環(huán)求和”的過程，同時經(jīng)歷“初始化變量”“確定循環(huán)體”“設(shè)置循環(huán)終止條件”3個構(gòu)造循環(huán)結(jié)構(gòu)的關(guān)鍵步驟，從而初步理解循環(huán)結(jié)構(gòu)和學(xué)習(xí)構(gòu)造循環(huán)結(jié)構(gòu)的一般方法。可以選擇最簡單的“累加器”問題，例如求1+2+100的值。這個問題的自然求和過程可以表示為：S2S12，S3S23，S4S34，SnSn-1n（n2，3，100），用遞推公式表示為:如圖4所示，若直接利用這個遞推公式構(gòu)造循環(huán)結(jié)構(gòu)，可得顯然，循環(huán)體中的步驟SnSn-1n使用了S1，S2，S3，S100共100個變量，計算機執(zhí)行這樣的算法時需要占用較大的內(nèi)存。為了節(jié)省變量，需要從上述遞推求和的步驟SnSn-1n中提取出共同的結(jié)構(gòu)，即第n步的結(jié)果第(n1)步的結(jié)果n。若引進一個累加變量sum來表示每一步的計算結(jié)果，則第n步可以表示為賦值過程sumsum+n，其中賦值號“”右邊的變量sum表示前一步累加所得的和，賦值號“”左邊的sum表示該步累加所得的和，n表示該步累加的數(shù)。盡管這種賦值過程是計算機程序設(shè)計中的慣用方法，但對于學(xué)生來說可能既新奇又難以理解，在教學(xué)時需要花費一些筆墨。由sum的初始值為0，n的值由1增長到100，可以初始化循環(huán)變量和設(shè)置循環(huán)終止條件，如圖5所示。五、優(yōu)化或改造算法的意義解決同一個問題，可以有不同的算法；同一個算法稍加改造，可以用于解決不同的問題。對算法的優(yōu)化或改造，是幫助學(xué)生理解算法的通用性、有效性等的良好素材。前面我們說過，結(jié)合程序框圖的教學(xué)，教授算法的三種基本邏輯結(jié)構(gòu)，有利于學(xué)生對后者的理解和掌握。類似地，對算法的優(yōu)化或改造，在算法的程序框圖上進行，也有利于學(xué)生看清算法的結(jié)構(gòu)和更好地把握“算理”。舉個例子，讓學(xué)生改造求1+2+100的值的“累加器”的程序框圖（圖5），表示 求1+2+m(mZ*)的值的過程； 求3+5+(2m+1) (mZ*)的值的過程； 輸出1，1+2，1+2+3，1+2+3+100的過程； 求2+22+