高等數(shù)學(xué)(微積分)課件--64定積分的應(yīng)用.ppt

1,6.4定積分的應(yīng)用,一、平面圖形的面積 二、立體的體積 三、經(jīng)濟(jì)應(yīng)用,2,定積分引例的回顧,用定積分解決曲邊梯形面積的步驟可概括為四步： (1)分割：將大曲邊梯形分成n個小曲邊梯形;,( Ai為第i個小曲邊梯形的面積)；,(2)取近似：,(3)求和：,(4)取極限：,提示：用A表示任一小區(qū)間x,x+x上窄曲邊梯形面積,則A=A,并取Af(x)dx=dA,于是Af(x)dx A=lim f(x)dx,3,元素法(微元法)思想,一般說來，如果所求量U與x的變化區(qū)間a,b有關(guān)，且關(guān)于區(qū)間a,b具有可加性，在a,b中的任意小區(qū)間x,x+x上找出U的部分量的近似值dU=f(x)dx,那么,求量U的這種方法叫做定積分的元素法。,稱為量U的元素(微元)。,應(yīng)用方向:,平面圖形的面積；體積；平面曲線的弧長,4,應(yīng)用元素法的前提,所求量U滿足以下三點(diǎn)： (1)所求量U與變量x的變化區(qū)間a,b有關(guān)； (2)所求量U對a,b具有可加性； (3)微元dU=f(x)dx,弧長,體積,面積,5,元素法一般步驟,1. 根據(jù)問題的具體情況，選取一個變量例如x為積分變量，并確定它的變化區(qū)間a,b。 2. 設(shè)想把區(qū)間a,b分成個n小區(qū)間,取其中任一小區(qū)間并記為x,x+dx,估計(jì)出所求量U相應(yīng)于這小區(qū)間的部分量U的近似值。如果U能近似地表示為a,b上的一個連續(xù)函數(shù)在x處的值f(x)與dx的乘積，就把f(x)dx稱為量U的元素且記作dU,即dU=f(x)dx 。 3. 以所求量U的元素f(x)dx為被積表達(dá)式，在區(qū)間a,b上作定積分，得,即為所求量的積分表達(dá)式.,6,平面圖形的面積(關(guān)于x積分),平面圖形面積問題可借助定積分幾何意義或者用元素法思想進(jìn)行求解。,直角坐標(biāo)情形:,面積元素: dU=|f(x)|dx,曲邊梯形的面積,面積元素: dU=|f2(x)-f1(x)|dx,平面圖形的面積,7,左右為曲邊的圖形面積計(jì)算,由左、右兩條曲線x=(y)、x=(y)及直線y=c、y=d (其中cd)圍成的圖形的面積：,其面積的微元為：,所求的面積為：,這是以y為積分變量的面積表達(dá)式,8,例題與講解(1條曲線),9,例題與講解(2條曲線),例：計(jì)算由兩條拋物線y2=x和y=x2所圍成的圖形的面積。,解,兩曲線的交點(diǎn),面積元素,選 為積分變量,10,平面圖形的面積(關(guān)于y積分),1:介紹關(guān)于y軸積分的平面圖形面積計(jì)算公式 2：重新做前面例題,11,例題與講解*,例：計(jì)算由曲線y=x3-6x和y=x2所圍成的圖形的面積.,解,兩曲線的交點(diǎn),選 為積分變量,于是所求面積,12,例題與講解(選擇適當(dāng)?shù)姆椒?,例：計(jì)算由曲線y2=2x和y=x-4直線所圍成的圖形的面積.,解,兩曲線的交點(diǎn),選 為積分變量,13,例題與講解,例*：求擺線,與x軸圍成的圖形的面積.,一拱形,解：,14,極坐標(biāo)下平面圖形面積計(jì)算*,極坐標(biāo)情形： 設(shè)由曲線r=()及射線=、=圍成一曲邊扇形,求其面積。其中()在,上連續(xù),且()0。,面積元素,曲邊扇形的面積,15,例題與講解,例：求雙紐線2=a2cos2所圍平面圖形的面積.,解,由對稱性知總面積=4倍 第一象限部分面積,16,例題與講解,例：求心形線r=a(1+cos) (其中a0)所圍平面圖形的面積。,解,利用對稱性知,17,平行截面面積已知的立體體積,如果一個立體不是旋轉(zhuǎn)體,但卻知道該立體上垂直于一定軸的各個截面面積,那么,這個立體的體積也可用定積分來計(jì)算。,立體體積,18,例題講解(圓錐體積),19,例題與講解*,例：設(shè)有一底圓半徑R的圓柱,被一與圓柱面交成角且過底圓直徑的平面所截,求截下的楔形體積。,立體中過點(diǎn)x且垂直于x軸的截面是直角三角形。,解 取如圖所示的坐標(biāo)系，則底圓方程為,其面積為,楔形體體積為,20,旋轉(zhuǎn)體的體積,旋轉(zhuǎn)體是由某平面內(nèi)一個圖形繞平面內(nèi)的一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體,這條定直線稱為旋轉(zhuǎn)體的軸。,取x為積分變量,變化區(qū)間為 a,b過點(diǎn)x的且垂直于軸的截面面積為,繞x軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體體積為:,或,設(shè)旋轉(zhuǎn)體表面是由曲線段y=f(x), xa,b繞x軸旋轉(zhuǎn)一周而成,現(xiàn)計(jì)算其體積(容積)。,21,繞y軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體體積,由連續(xù)曲線段x=(y),yc,d繞y軸旋轉(zhuǎn)而成的旋體如右圖：,繞y軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體的體積為:,或,22,例題與講解,例：求由橢圓,旋轉(zhuǎn)橢球體的體積,解 旋轉(zhuǎn)橢球體可看作由上半橢圓,繞x軸旋轉(zhuǎn)。,所圍成,的圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的,23,例題與講解,例：求由y=x2,x=y2所圍成的圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)而成的體積。,解：,24,經(jīng)濟(jì)應(yīng)用舉例之一,已知總產(chǎn)量的變化率求總產(chǎn)量 已知某產(chǎn)品總產(chǎn)量Q的變化率是時間t的函數(shù)f(t),且時刻t0的產(chǎn)量Q0,即Q(t)=f(t), Q0=Q(t0) .則,產(chǎn)品的總產(chǎn)量函數(shù)可表示為,注：通常假設(shè)t0=0時，Q0=0即Q(t0)=0。,25,例題與講解,例：某產(chǎn)品總產(chǎn)量變化率為f(t)=100+10t-0.45t2 (噸/小時),求總產(chǎn)量函數(shù)Q(t);從t0=4到t1=8這段時間內(nèi)的總產(chǎn)量Q。 解：,=572.8(噸),26,經(jīng)濟(jì)應(yīng)用舉例之二,已知邊際函數(shù)求總量函數(shù) 例：已知生產(chǎn)某產(chǎn)品x(百臺)的邊際成本、收益函數(shù)分別為MC=3+x/3(萬元/百臺),MR=7-x (萬元/百臺),并知固定成本為C(0)=1(萬元).求總收益、總成本函數(shù);產(chǎn)量從1百臺增加到5百臺時的總利潤增加額L。,解：,答：,27,小結(jié),1. 求在直角坐標(biāo)系下、極坐標(biāo)系下平面圖形的面積。,（注意恰當(dāng)?shù)倪x擇積分變量有助于簡化積分運(yùn)算）,2. 旋轉(zhuǎn)體的體積,平行截面面積為已知的立體的體積,繞 軸旋轉(zhuǎn)一周,繞 軸旋轉(zhuǎn)一周,繞非軸直線旋轉(zhuǎn)一周*,3. 經(jīng)濟(jì)應(yīng)用: 已知變化率求總函數(shù)值。,28,練習(xí),解答,解答,解答,解答,解答,解答,解答,