廣東高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題四立體幾何專題強(qiáng)化練十二立體幾何中的向量方法理.docx

專題強(qiáng)化練十二 立體幾何中的向量方法一、選擇題1在三棱柱ABCA1B1C1中，底面是邊長(zhǎng)為1的正三角形，側(cè)棱AA1底面ABC，點(diǎn)D在棱BB1上，且BD1，若AD與平面AA1C1C所成的角為，則sin 的值是()A.B.C.D.解析：如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，易求點(diǎn)D(，1)，平面AA1C1C的一個(gè)法向量是n(1，0，0)，所以cosn，則sin .答案：D2已知正方體ABCDA1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)E是底面ABCD上的動(dòng)點(diǎn)，則()的最大值為()A. B1 C. D.解析：由正方體性質(zhì)知0，則().建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則B(1，1，0)，C(0，1，0)設(shè)點(diǎn)E(x，y，0)，則(x，y1，0)，(1，1，0)所以(x，y1，0)(1，1，0)xy1.易知當(dāng)E位于點(diǎn)B時(shí)，xy有最大值2.因此的最大值為211.答案：B3(2018全國卷)在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中，ABBC1，AA1，則異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為()A. B. C. D.解析：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示由條件可知D(0，0，0)，A(1，0，0)，D1(0，0，)，B1(1，1，)，所以(1，0，)，(1，1，)則cos，.故異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為.答案：C4(2018濟(jì)南質(zhì)檢)在三棱錐PABC中，點(diǎn)P在底面的正投影恰好是等邊ABC的邊AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P到底面ABC的距離等于底面邊長(zhǎng)設(shè)平面PAC與底面所成的二面角的大小為，平面PBC與底面所成的二面角的大小為，則tan()的值是()A. B. C D解析：如圖，設(shè)點(diǎn)P在邊AB上的射影為H，作HFBC，HEAC，連接PF，PE.依題意，HEP，PFH.不妨設(shè)等邊ABC的邊長(zhǎng)為2，則PH2，AHBH1.所以HE，HF，則tan tan ，故tan().答案：C二、填空題5.如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，AB2，A1C1B1D1E，直線AC與直線DE所成的角為，直線DE與平面BCC1B1所成的角為，則cos()_解析：AC平面BB1D1DACDE，所以.取A1D1的中點(diǎn)F，連EF，F(xiàn)D，易知EF平面ADD1A1，則EDF，所以cos()cossin EDF.答案：6.如圖，在四棱錐CABOD中，CO平面ABOD，ABOD，OBOD，且AB2OD4，AD2，異面直線CD與AB所成角為30，若點(diǎn)O，B，C，D都在同一個(gè)球面上，則該球的表面積為_解析：因?yàn)镃D與AB所成角為30，且ABOD，所以CDO30，由OD2，知OCODtan 30.在直角梯形ABOD中，OB2.因此(2R)2OB2OD2OC2.故球的表面積S4R2.答案：三、解答題7如圖，已知AB平面ACD，DE平面ACD，ACD為等邊三角形，ADDE2AB，F(xiàn)為CD的中點(diǎn)(1)求證：AF平面BCE；(2)求二面角CBED的余弦值的大小解：設(shè)ADDE2AB2a，以AC，AB所在的直線分別為x軸、z軸，以過點(diǎn)A在平面ACD內(nèi)和AC垂直的直線作為y軸，建立如圖所示的坐標(biāo)系，A(0，0，0)，C(2a，0，0)，B(0，0，a)，D(a，a，0)，E(a，a，2a)因?yàn)镕為CD的中點(diǎn)，所以F.(1)證明：，(a，a，a)，(2a，0，a)，所以()，AF平面BCE，所以AF平面BCE.(2)設(shè)平面BCE的一個(gè)法向量為m(x，y，z)，則即不妨令x1可得m(1，2)設(shè)平面BDE的一個(gè)法向量n(x，y，z)，則即令x可得n(，1，0)于是，cosm，n.故二面角CBED的余弦值為.8.(2018浙江卷)如圖所示，已知多面體ABCA1B1C1，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，ABC120，A1A4，C1C1，ABBCB1B2.(1)證明：AB1平面A1B1C1；(2)求直線AC1與平面ABB1所成的角的正弦值(1)證明：如圖，以AC的中點(diǎn)O為原點(diǎn)，分別以射線OB，OC為x，y軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz.由題意知各點(diǎn)坐標(biāo)如下：A(0，0)，B(1，0，0)，A1(0，4)，B1(1，0，2)，C1(0，1)因此(1，2)，(1，2)，(0，2，3.)由0得AB1A1B1.由0得AB1A1C1.所以AB1平面A1B1C1.(2)解：設(shè)直線AC1與平面ABB1所成的角為.由(1)可知(0，2，1)，(1，0)，(0，0，2)設(shè)平面ABB的法向量n(x，y，z)，由即取n(，1，0)所以sin |cos，n|.因此，直線AC1與平面ABB1所成的角的正弦值是.9.如圖，在三棱錐PABC中，PA，AB，AC兩兩垂直，PAABAC，平面平面PAB，且與棱PC，AC，BC分別交于P1，A1，B1三點(diǎn)(1)過A作直線l，使得lBC，lP1A1，請(qǐng)寫出作法并加以證明；(2)若將三棱錐PABC分成體積之比為819的兩部分(其中，四面體P1A1B1C的體積更小)，D為線段B1C的中點(diǎn)，求直線P1D與平面PA1B1所成角的正弦值解：(1)作法：取BC的中點(diǎn)H，連接AH，則直線AH即為要求作的直線l.證明如下：因?yàn)镻AAB，PAAC，且ABACA，所以PA平面ABC.因?yàn)槠矫嫫矫鍼AB，且平面PACP1A1，平面PAB平面PACPA，所以P1A1PA，所以P1A1平面ABC，所以P1A1AH.又ABAC，H為BC的中點(diǎn)，則AHBC，從而直線AH即為要求作的直線l.(2)因?yàn)閷⑷忮FPABC分成體積之比為819的兩部分，所以四面體P1A1B1C的體積與三棱錐PABC的體積之比為827，又平面平面PAB，所以.以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，設(shè)AB3，則A1(0，1，0)，B1(2，1，0)，P(0，0，3)，P1(0，1，2)，D(1，2，0)，(2，0，0)，(0，1，3)，(1，1，2)，設(shè)平面PA1B1的法向量為n(x，y，z)，則即令z1，得n(0，3，1)則cos，n.故直線P1D與平面PA1B1所成角的正弦值為.10(2018鄭州調(diào)研)如圖1，在高為6的等腰梯形ABCD中，ABCD，且CD6，AB12，將它沿對(duì)稱軸OO1折起，使平面ADO1O平面BCO1O.如圖2，點(diǎn)P為BC中點(diǎn)，點(diǎn)E在線段AB上(不同于A，B兩點(diǎn))，連接OE并延長(zhǎng)至點(diǎn)Q，使AQOB.(1)證明：OD平面PAQ；(2)若BE2AE，求二面角CBQA的余弦值(1)證明：由題設(shè)知OA，OB，OO1兩兩垂直，所以以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA，OB，OO1所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AQ的長(zhǎng)度為m，則相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)為O(0，0，0)，A(6，0，0)，B(0，6，0)，C(0，3，6)，D(3，0，6)，Q(6，m，0)因?yàn)辄c(diǎn)P為BC中點(diǎn)，所以P，所以(3，0，6)，(0，m，0)，(6，m，3)，因?yàn)?，0.所以，且與不共線，所以O(shè)D平面PAQ.(2)解：因?yàn)锽E2AE，A