動力學有限元計算已排.ppt

1,第13章 動力學問題的有限元法,在實際機械結構中，常作用于結構上的載荷是動載荷，即載荷隨時間t相關，這時，結構上相應的位移，應力和應變不僅隨空間位置變化，還隨時間t而變化。 結構動力學問題的有限元法的實質就是將一個彈性連續(xù)體的振動問題，離散為一個以有限個節(jié)點位移為廣義坐標的多自由度系統(tǒng)的振動問題。其基本原理和分析方法類同靜力學的有限元法，按桿梁、薄板等不同結構進行分析。不同的是，應用振動理論建立動力學方程時，在單元分析中除需形成剛度矩陣外，還需形成質量矩陣，阻尼矩陣；在整體分析中，不僅求動力響應，還有求解特征值問題（結構振動的固有頻率及相應的振動型（或模態(tài)）,2,從靜力學有限元法可知，有限元的基本思想是將彈性體離散成有限個單元，建立整體剛度平衡方程： 關于靜力問題和動力問題的區(qū)別，據(jù)達朗貝爾原理，動力學問題只要在外力中計入慣性力后，便可按靜力平衡處理?？紤]到動力問題中的載荷和位移均為時間的函數(shù)，上式可記為： 由于動力載荷 可為作用于彈性體上的動載荷 ，也可為彈性體的慣性力 ，也可為與速度相關的阻尼力 ，即： 據(jù)慣性力定義表示為： 如阻尼力正比與速度， 則動力學基本方程：,13.1 振動基本方程的建立,3,1、單元剛度陣 任取一個單元，單元節(jié)點位移為 ，節(jié)點速度和加速度為： ，則單元節(jié)點內任一點的位移 N為形函數(shù)，與時間t無關，為X、Y、Z的函數(shù)，它與靜力分析中一樣；由于N與時間無關，則單元應變矩陣，應力矩陣仍與靜力分析完全相同： 則剛度矩陣同樣與靜力情況相同：,13.2 單元質量、阻尼、剛陣計算,4,2、單元質量陣 設單元節(jié)點加速度為 ，則單元內任一點的加速度： 設單元的質量密度為 ，則單位體積中的慣性力為： 負號表示慣性力與加速度相反。 顯然，整個單元上慣性力即為上式的積分。如何將這個作用于單元上的慣性力移置到單元節(jié)點上，通常有兩種方法： 1）虛功原理法求得一致質量矩陣 2）直接分配法即按重心不變原則分配，求得集中質量矩。,5,這里M為單元的一致質量矩陣。顯然，對于不同的單元，因形函數(shù)不同，則質量矩陣也是不同的。,1）虛功原理法 設單元中發(fā)生虛位移為 則單元慣性力作的虛功為： 單元節(jié)點上節(jié)點慣性力所作的功為： 將 和 代入可得,6,平面常應變三角形單元的一致質量陣為：,單元質量矩陣,7,一般而言，一致質量較準確地反映了單元內質量分布的實際情況，集中質量精度不如前者，但不存在耦合，使計算大大簡化，是工程中常用的方法。,2）直接分配法 將單元內分布質量按重心不變原則分配至單元節(jié)點上，所產(chǎn)生的質量矩陣是沒有耦合項的對角矩陣。 如六自由度的平面三角形單元，單元總質量為W/g，則平均分配至三個節(jié)點上的質量所形成的質量陣為：,3、單元阻尼陣 單元阻尼力主要指結構阻尼力，它是由結構內部材料內摩擦引起的阻尼。設結構阻尼系數(shù)為 ，則單位體積產(chǎn)生的阻尼力（即阻尼力密度）為： 利用虛功原理同理可得：,9,一旦單元剛陣、質量矩陣、阻尼矩陣求得，則動力學方程中的整體剛陣、質量陣等可類似靜力分析的剛度矩陣組裝得到：,10,計算結構的固有頻率和振型是結構動力學分析的主要內容，也是分析結構動力響應和其它動力特性問題的基礎。由于一般結構阻尼對結構的固有頻率和振型影響極小，所以，求結構的固有頻率和振型時，直接用無阻尼的自由振動方程求解。即 因任意彈性體的自由振動都可分解為一系列的簡諧振動的迭加：即結構上各節(jié)點位移為 為節(jié)點位移振幅向量（即振型），與時間t無關的位移幅值； 為與該振型對應的頻率。,13.3 固有頻率和振型計算,11,1、特征方程 將節(jié)點位移代入動力方程，化簡得廣義特征值問題： 由于結構自由振動時，各個節(jié)點的振幅不可能全為零，則 稱為結構的特征方程，即求結構的固有頻率和振型歸結為特征值問題。設計結構的自由度為n，則特征方程為 的n次代數(shù)方程，其n個根稱為特征值，記為 它們的平方根稱為系統(tǒng)的固有頻率，即 將這些固有頻率從小到大依次排列為 最低的頻率 稱為基頻，它是所有頻率中最重要的一個。,12,這個過程稱之為正規(guī)化 利用正規(guī)化，可得,2、特征向量 對應每個固有頻率 ，可有方程 由此求得一組節(jié)點振幅不全為0的向量 稱 為特征向量，也稱為振型或模態(tài)向量。由于上述方程為齊次方程，顯然解 不唯一，也就是說： 振型的形狀是唯一的，但其振幅不是唯一的； 或一個特征值 可對應有多個特征向量，但一個特征向量只對應一個特征值。 實際中，常選特征向量 使,13,則對應所有的特征值問題:,3、特征向量的性質 正交性：任意兩個特征值對應的特征向量關于質量矩陣或剛度矩陣正交。即設 則有 若將所有的特征值 對應的特征向量 組裝成特征向量矩陣，即,14,考慮到正規(guī)化: 可進一步記為：,可簡記為矩陣形式：,15,1、冪迭代法 特點：用于計算最大（主）特征值十分有效。,這里D稱為動力矩陣，也即一個變換矩陣，它可將任一特征向量變換為一常數(shù)與其自身的乘積.,13.4 特征值問題的解法,結構固有頻率和振型的計算歸結為求 的特征值和特征向量。 由于有限元法將結構離散為n個自由度，n一般相當大，故n次特征方程的直接求解十分困難，常求其近似解，常用的求解方法有冪迭代法、逆迭代法、子空間迭代法等。,16,由于任兩個特征值對應的特征向量是正交的，則n個特征向量可組成特征向量空間中的一個特征向量基，其特征向量空間中的任一特征向量可表示為基向量的線性組合。即存在任一向量： 設這個向量被D變換后形成一新的特征向量為： 類推，可得：,17,由于所有的特征值排列為： 即 存在 考慮到問題為齊次方程，特征向量前的系數(shù) 可以略去，則上式在p趨近無窮時，其第一項就趨近 實際計算，只需迭代有限次即可得精確解。,18,冪法迭代格式 1、選初始特征向量 ，如單位向量 2、構造新特征向量，并歸一化 3、計算特征值近似值 4、計算相鄰兩次迭代的特征值誤差， 檢查是否收斂 若需計算二階、三階等特征值，則需構造新的動力矩陣,19,2、逆迭代法 逆迭代法也稱為反冪法，類似于冪法，特征值問題改寫為： 其具體迭代格式為： 1）選初始向量 如單位向量 2）計算中間向量 3）求解線性方程組 4）歸一化 5）計算特征值近似值 6）計算相鄰兩次迭代的特征值誤差，檢查是否收斂,20,對于受迫振動，基本方程為 求解此方程通常有兩種數(shù)值方法：振型迭加法和逐次積分法 1、振型迭加法 振型迭加法的基本思想是利用結構固有振型的正交性，把結構的復雜振動分解為一組相互獨立的單自由度振動（即解耦），從而求得結構的位移響應。 設結構無阻尼自由振動的各階固有頻率和相應的固有振型為： 則結構任意時刻的受迫振動產(chǎn)生的位移可認為是n個固有振型為基的線性組合，即 為組合系數(shù)，是時間t的函數(shù)，也稱為振形坐標,13.5 動力響應的計算,21,廣義質量陣,廣義阻尼陣,廣義剛度陣,廣義激振力,上式可記為 這里 代入動力學方程： 左乘,22,據(jù)正交性可知，這些廣義矩陣均為對角矩陣，即表示方程各個變量之間是沒有耦合項的，從而動力方程轉化為n個相互獨立的單自由度振動的動力方程， 分別求解這n個方程可求得 從而求得動力方程的位移解: 進而可求得速度、加速度。,23,2、逐次積分法 基本思想：將時間t離散為n個區(qū)間，并假設在一個 時間區(qū)間內，結構的加速度響應為線性變化，由此，對加速度積分，可得速度和位移，一旦所有區(qū)間計算完畢，則求出結構的動力響應。 假設在 至t的很小時間間隔內 ，加速度線性變化： 對 積分，并引入初始條件待定積分常數(shù) 將 代入t時刻的動力方程 并整理后即可逐步求解各時刻的加速度，然后求出各時刻的速度和位移。,24,第1部分：優(yōu)化設計 優(yōu)化設計的數(shù)學模型 設計變量、目標函數(shù)、約束條件 優(yōu)化設計的數(shù)學基礎 梯度、Hesse矩陣等 極值問題的基本概念及其幾何描述 (2) 一維搜索方法 確定搜索區(qū)間的進退法 黃金分割法 二次插值法,課程總結,25,(3) 無約束優(yōu)化方法 解析數(shù)值解法(梯度法、牛頓法、變尺度法) 直接數(shù)值解法(共軛方向法，Powll法) (4) 約束優(yōu)化方法 約束極值問題的最優(yōu)解條件(Kuhn-Tucker條件) 求解約束極值問題的基本策略 可行方向應滿足兩個條件: (1)可行; (2)下降。 罰函數(shù)法 內點法，外點法。,26,(1) 有限元建模的基本方法 有限元建模的直接剛度法 用能量原理（虛功原理）推導單元剛度方程