高數(shù)第二學(xué)期期中考前輔導(dǎo).ppt

2009年高數(shù)第二學(xué)期 期中考前指導(dǎo),2009年高數(shù)第二學(xué)期期中考試考點(diǎn),1、多元函數(shù)微分 （1）多元復(fù)合函數(shù)求微分（包括2階偏導(dǎo)）； （2）隱含數(shù)求偏導(dǎo)； （3）會(huì)利用全微分求偏導(dǎo)； （4）多元函數(shù)極值求解（無(wú)條件極值和有條件極值）； （5）會(huì)求切平面和法線方程，會(huì)求切線與法平面方程；,2、重積分 （1）直角坐標(biāo)系下計(jì)算二重三重積分； （2）二三重積分交換積分次序 （3）極坐標(biāo)、柱面坐標(biāo)、球坐標(biāo)下計(jì)算二重三重積分；（4）計(jì)算曲面面積、質(zhì)量、重心坐標(biāo)、引力、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；,2009年高數(shù)第二學(xué)期期中考試考點(diǎn),3、線面積分 （1）第一二類曲線積分的直接計(jì)算； （2）利用第一類和第二類曲線之間的關(guān)系計(jì)算題目； （3）格林公式； （4）曲線積分與路徑無(wú)關(guān)條件； （5）第一二類曲面積分的直接計(jì)算； （6）兩類曲面積分之間的關(guān)系計(jì)算題目； （7）高斯公式；,多元復(fù)合函數(shù)微分法,定理1 設(shè) 和 都在點(diǎn)x可導(dǎo),而z=f(u,v)在對(duì)應(yīng)點(diǎn) (u,v)可微,則復(fù)合函數(shù) 在點(diǎn)x可導(dǎo),且,注:1.上述定理可推廣到所有的多元復(fù)合函數(shù).,全導(dǎo)數(shù),2. 因?yàn)槎嘣獜?fù)合函數(shù)類型復(fù)雜,所以不要死記公式,要學(xué)會(huì)用 復(fù)合關(guān)系圖（ 結(jié)構(gòu)示意圖）.,結(jié)構(gòu)示意圖,例如:,定理2 設(shè) 和 都在點(diǎn)(x,y)可偏導(dǎo),而z=f(u,v) 在對(duì)應(yīng)點(diǎn)(u,v)可微,則復(fù)合函數(shù) 在 點(diǎn)(x,y)可偏導(dǎo),且,復(fù)合函數(shù)的高階偏導(dǎo)數(shù),注意:,結(jié)構(gòu)示意圖 遺傳性,全微分形式不變性,若,則對(duì),全微分形式不變性,注：,可以利用全微分形式不變性及微分法則求微分和偏導(dǎo)數(shù).,例,解,求,方向?qū)?shù), 三元函數(shù),在點(diǎn),沿方向 l (方向角,的方向?qū)?shù)為, 二元函數(shù),在點(diǎn),的方向?qū)?shù)為,沿方向 l (方向角為,（注意方向?qū)?shù)與一般所說(shuō)偏導(dǎo)數(shù)的區(qū)別）,梯度, 三元函數(shù),在點(diǎn),處的梯度為, 二元函數(shù),在點(diǎn),處的梯度為,（注意梯度是一個(gè)向量）,將二元函數(shù)z = f(x , y)在點(diǎn)(x , y)的以下七個(gè)命題填入框圖： （1）有定義 （2）有極限 （3）連續(xù) （4）偏導(dǎo)存在 （5）方向?qū)?shù)存在 （6）偏導(dǎo)連續(xù) （7）可微,（6）,（7）,（3）,（4）,（5）,（1）,（2）,七框圖,問(wèn)題：箭頭是否可逆？不可逆的試舉出反例。,多元函數(shù)微分學(xué)的幾何應(yīng)用,一. 空間曲線的切線和法平面,切線,當(dāng)M 沿曲線L趨向于 時(shí),割線 的極限位置,法平面,過(guò) 而垂直于切線 的平面,1.設(shè)曲線,導(dǎo)數(shù)不全為零,即,切向量,切線方程,法平面方程,2.設(shè)曲線,將x視為參數(shù),切線方程,法平面方程,二.曲面的切平面與法線,若曲面 上過(guò)點(diǎn) 的任意曲線的切線都位于同一平面.,切平面,過(guò) 且與切平面垂直的直線,法線,1.設(shè)曲面方程為,在該點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)且不全為零.,切平面的法向量,切平面,法線,多元函數(shù)的極值,反之,為極小值.,極值,極值點(diǎn),定理1(極值必要條件),設(shè)z=f(x,y)在點(diǎn) 具有偏導(dǎo)數(shù)且有極值,則,駐點(diǎn),注:(1).由偏導(dǎo)數(shù)及一元函數(shù)極值易證;,(2).,(3).駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn).,定理2 ( 極值充分條件 ),設(shè) z=f(x,y)在點(diǎn) 的某鄰域內(nèi)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) 且,記,時(shí),不一定是極值.,時(shí),不是極值;,指向 B( 3, 2 , 2) 方向的方向?qū)?shù)是 .,在點(diǎn)A( 1 , 0 , 1) 處沿點(diǎn)A,例1 函數(shù),提示,則,(96考研),曲線積分,曲面積分,對(duì)面積的 曲面積分,對(duì)坐標(biāo)的 曲面積分,對(duì)弧長(zhǎng)的 曲線積分,對(duì)坐標(biāo)的 曲線積分,定義,計(jì)算,定義,計(jì)算,（一）曲線積分與曲面積分,曲 線 積 分,對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分,對(duì)坐標(biāo)的曲線積分,定義,聯(lián)系,計(jì) 算,三代一定,二代一定 (與方向有關(guān)),與路徑無(wú)關(guān)的四個(gè)等價(jià)命題,條件,等 價(jià) 命 題,曲 面 積 分,對(duì)面積的曲面積分,對(duì)坐標(biāo)的曲面積分,定義,聯(lián)系,計(jì) 算,一代,二換,三投(與側(cè)無(wú)關(guān)),一代,二投,三定向 (與側(cè)有關(guān)),定積分,曲線積分,重積分,曲面積分,計(jì)算,計(jì)算,計(jì)算,Green公式,Stokes公式,Guass公式,(二)、各種積分之間的聯(lián)系,1.定積分與不定積分的聯(lián)系,牛頓-萊布尼茨公式,2.二重積分與曲線積分的聯(lián)系,格林公式,3.三重積分與曲面積分的聯(lián)系,高斯公式,4.曲面積分與曲線積分的聯(lián)系,斯托克斯公式,.,例3,利用對(duì)稱性（輪換對(duì)稱性）化簡(jiǎn) 二重，三重，線面積分,利用對(duì)稱性化簡(jiǎn)三重積分計(jì)算,使用對(duì)稱性時(shí)應(yīng)注意：,、積分區(qū)域關(guān)于坐標(biāo)面的對(duì)稱性；,、被積函數(shù)在積分區(qū)域上的關(guān)于相應(yīng)變量的奇偶性,解,積分域關(guān)于三個(gè)坐標(biāo)面都對(duì)稱，,被積函數(shù)是 的奇函數(shù),例5 設(shè)有一物體，占有空間 在點(diǎn) 處的密度為 ， 求該物體的質(zhì)量.,三重積分的輪換對(duì)稱性，當(dāng) 對(duì) 可以輪換時(shí)，,解,注:選擇合適的坐標(biāo)系是計(jì)算三重積分的關(guān)鍵,(1).區(qū)域由平面圍成,常選擇直角坐標(biāo)系;,一般的:,(3).區(qū)域由球面錐面圍成,被積函數(shù)形如 常選擇球面坐標(biāo)系.,(2).區(qū)域由圓柱面圍成,被積函數(shù)形如 常選擇柱面坐標(biāo)系;,解,注：,例7,證：方法一,思路：從改變積分次序入手,例7,方法二,對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分與方向無(wú)關(guān)，可以利用對(duì)稱性簡(jiǎn)化計(jì)算,設(shè)L 關(guān)于 x 軸對(duì)稱,若 f( x ,y ) 關(guān)于 y 是奇函數(shù)，,即,則,若 f( x ,y ) 關(guān)于 y 是偶函數(shù)，,即,則,其中L1 是位于對(duì)稱軸一側(cè)的部分,對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分與方向無(wú)關(guān)，可以利用對(duì)稱性簡(jiǎn)化計(jì)算,設(shè)L 關(guān)于 y 軸對(duì)稱,若 f( x ,y ) 關(guān)于 x 是奇函數(shù)，,即,則,若 f( x ,y ) 關(guān)于 x 是偶函數(shù)，,即,則,其中L1 是位于對(duì)稱軸一側(cè)的部分,例8,解,由對(duì)稱性, 知,解,由 知,例9,例 10 計(jì)算,其中由平面 y = z 截球面,提示: 因在 上有,故,原式 =,從 z 軸正向看沿逆時(shí)針?lè)较?,若順時(shí)針?lè)较?又如何？,例11 (06,一,二)設(shè)在上半平面 D= 內(nèi),函數(shù) 具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),且對(duì)任意的t0都有,對(duì)L內(nèi)的任意分段光滑的有向簡(jiǎn)單閉曲線L,都有,證明:,得,令 ，得,證明:,再令 所給曲線積分等于0的充分必要條件為 令 要求 成立,只要 上式我們已經(jīng)證明. 于是結(jié)論成立。,例12 計(jì)算,其中 是球面,利用對(duì)稱性可知,解: 顯然球心為,半徑為,利用重心公式,例13. 設(shè)S 是球面,的外側(cè) , 計(jì)算,解: 利用輪換對(duì)稱性, 有,例14.設(shè)質(zhì)點(diǎn)在力場(chǎng),作用下沿曲線 L :,由,移動(dòng)到,求力場(chǎng)所作的功W,解:,令,則有,可見(jiàn), 在不含原點(diǎn)的單連通區(qū)域內(nèi)積分與路徑無(wú)關(guān).,思考: 積分路徑是否可以取,取圓弧,為什么？,注意, 本題只在不含原點(diǎn)的單連通區(qū)域內(nèi)積分與路徑,無(wú)關(guān) !,例1