高等數(shù)學,清華大學出版社.pptVIP

,“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”,1、割圓術：,播放,劉徽,一、概念的引入,正六邊形的面積,正十二邊形的面積,正 形的面積,2、截杖問題：,“一尺之棰，日截其半，萬世不竭”,二、數(shù)列的定義,例如,注意：,1.數(shù)列對應著數(shù)軸上一個點列.可看作一動點在數(shù)軸上依次取,2.數(shù)列是定義域為正整數(shù)集合的函數(shù),播放,三、數(shù)列的極限,問題:,當 無限增大時, 是否無限接近于某一確定的數(shù)值?如果是,如何確定?,問題:,“無限接近”意味著什么?如何用數(shù)學語言刻劃它.,通過上面演示實驗的觀察:,如果數(shù)列不收斂, 就說數(shù)列是發(fā)散的.,注意：,幾何解釋:,其中,數(shù)列極限的定義未給出求極限的方法.,例1,證,所以,注意：,例2,證,所以,說明:常數(shù)列的極限等于同一常數(shù).,小結(jié):,用定義證數(shù)列極限存在時,關鍵是任意給定 尋找N,但不必要求最小的N.,例3,證,1.唯一性,定理1.3.1 每個收斂的數(shù)列只有一個極限.,證,由定義,故收斂數(shù)列極限唯一.,四、數(shù)列極限的性質(zhì),2.有界性,例如,有界,無界,定理1.3.2 收斂的數(shù)列必定有界.,證,由定義,注意：有界性是數(shù)列收斂的必要條件.,推論 無界數(shù)列必定發(fā)散.,例4,證,由定義,區(qū)間長度為1.,不可能同時位于長度為1的區(qū)間內(nèi).,3. 數(shù)列及其子數(shù)列的極限關系,定理 1.3.3,設 是一個數(shù)列. 正整數(shù)列 滿足,則稱數(shù)列,是數(shù)列,的一個子數(shù)列.,若數(shù)列 的極限為,則它的任一,子數(shù)列 都以 為極限.,例,證明數(shù)列 發(fā)散.,證明,記,則由,及定理1.3.3知數(shù)列 發(fā)散.,4. 保號性,設 且 或,則存在正整數(shù),使當 時 或,設 且 或,則 或,證明,因,則可取,使得,于是由 知存在正整數(shù),使當,時有,即,對于 的情況也可類似地證明.,用反證法,設若,則由(1)知存在正整數(shù),當 時,這與假設 矛盾.,推論 (保序性),則存在正整數(shù),使當 時有,(1) 設,且,(2) 設,且,則,注意：,例5,證,設,求證,由題設及定理1.3.4知,若,則有,若,則由 知任給,存在正整數(shù),使當 時,從而,即,于是有,總之有,定理 1.3.5 (極限的四則運算),設 是收斂,數(shù)列,則 也都是收斂數(shù)列,且,如果,則 也是收斂數(shù)列, 且,證明,設,(1) 對任給的,存在正整數(shù),使當,時有,又存在正整數(shù),使當,時有,于是當,時有,對上述,這就證明了,(2) 由于 收斂, 故有界:,而,對于任給的,存在正整數(shù),使當,時有,又存在正整數(shù),使當,時有,于是當,時有,這就證明了,(3),先證明當 時,對于,存在正整數(shù),使當,時有,此時有,這表明在 的條件下數(shù)列 中至多有有限,項等于零.,在 的情況下又有,現(xiàn)考慮對于任意給定的,根據(jù),知存在正整數(shù),使當,時有,因此當,時有,這表明,再由上述已證明的(2)即得,例 求極限,解,例 求極限,解,由,知,因此,1.3.3 數(shù)列極限存在的條件,1.3.6 （夾逼定理）,證,上兩式同時成立,例,解,由夾逼定理得,例 證明,證明,令,則當 時,且,由此得,即,于是由夾逼定理即得,例,設,求證,證明,先設,則當 時,由夾逼定理知,當 時,則,于是,因此,令,例,設 是正整數(shù), 求證,證明,先考慮,設,其中,則,而,故,再考慮任意的正整數(shù),記,則,于是,由此得,例,證明,證明,由,及,利用夾逼定理即得,定理 1.3.7 (單調(diào)有界定理),若數(shù)列,單調(diào)上升,有上界:,則該數(shù)列收斂; 類似地, 單調(diào)下降且有下界的數(shù)列,必收斂.,例,設,證明,數(shù)列 的單調(diào)上升性是明顯的,求證 存在.,下面證明其有上界,故由單調(diào)有界定理知 存在.,事實上,例 證明數(shù)列,收斂, 并求其極限.,證明,設該數(shù)列的通項為,則它顯然滿足,遞推公式,為了證明其單調(diào)性,考察,根據(jù)此式及,由數(shù)學歸納法,知數(shù)列 是單調(diào)上升的.,下面證明,顯然,設若,則,由數(shù)學歸納法知,根據(jù)單調(diào)有界定理,數(shù)列 收斂.,設其極限為,則由遞推公式有,對此式兩端求極限, 得到,解得,根據(jù)極限的保號性知,注,對這類由遞推公式兩端取極限來求極限的,題目, 必須首先證明其極限的存在性, 否則會導,致謬誤.,例如,則,若直接對上式兩端求極限, 就得到,從而,但顯然 不能成立.,例 證明下列兩個數(shù)列的極限存在且相等:,證明,顯然數(shù)列 是單調(diào)上升的.,又因,即 有上界,故 存在, 記為 ,即,對于數(shù)列,利用二項式展開, 有,從而,易知,即數(shù)列 單調(diào)上升.,由式(1.3.7)可以看出,根據(jù)單調(diào)有界定理,存在, 記為,再由極限,的保序性知,另一方面, 由式(1.3.7)知當 時,固定,令 對上式取極限, 得,再令,即得,總之,思考題,證明,要使,只要使,從而由,得,取,當 時，必有 成立,思考題解答,（等價）,證明中所采用的,實際上就是不等式,即證明中沒有采用“適當放大” 的值,從而 時，,僅有 成立，,但不是 的充分條件,反而縮小為,習題 1.3,1 (1)、(2)、(4)、(5)、(7) (2)、(3)、(5) 4、5、6.,1、割圓術：,“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”,劉徽,一、概念的引入,1、割圓術：,“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”,劉徽,一、概念的引入,“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”,1、割圓術：,劉徽,一、概念的引入,“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”,1、割圓術：,劉徽,一、概念的引入,“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”,1、割圓術：,劉徽,一、概念的引入,“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”,1、割圓術：,劉徽,一、概念的引入,“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”,1、割圓術：,劉徽,一、概念的引入,“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”,1、割圓術：,劉徽,一、概念的引入,“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與