高等數(shù)學9-1二重積分的概念與性質(zhì).ppt

1,第九章,一元函數(shù)積分學,多元函數(shù)積分學,重 積 分,第一節(jié),二重積分的概念與性質(zhì),2,解法: 類似定積分解決問題的思想:,一、引例,曲頂柱體的體積,給定曲頂柱體:,底： xoy 面上的閉區(qū)域 D,頂: 連續(xù)曲面,側(cè)面：以 D 的邊界為準線 , 母線平行于 z 軸的柱面,求其體積.,“分割,近似 ,求和, 取極限”,3,1)“分割”,用任意曲線網(wǎng)把D分為 n 個小區(qū)域,以它們?yōu)榈装亚斨w分為 n 個,2)“近似”-以平代曲,在每個,3)“求和”,則,中任取一點,小曲頂柱體,4,4)“取極限”,令,5,用若干個小平 頂柱體體積之 和近似表示曲 頂柱體的體積，,先分割曲頂柱體的底，并任取一小區(qū)域，,曲頂柱體的體積,6,7,二、二重積分的定義及可積性,定義:,將區(qū)域 D 任意分成 n 個小區(qū)域,任取一點,若存在一個常數(shù) I , 使,可積 ,在D上的二重積分.,是定義在有界區(qū)域 D上的有界函數(shù) ,8,積分和,9,對二重積分定義的說明：,二重積分的幾何意義,當被積函數(shù)大于零時，二重積分是柱體的體積,當被積函數(shù)小于零時，二重積分是柱體的體積的負值,(3) 積分值和積分和的關(guān)系,當被積函數(shù)既有小于零又有大于零時，二重積分是各部分柱體體積的代數(shù)和,10,引例中曲頂柱體體積:,如果 在D上可積,也常,二重積分記作,這時,分區(qū)域D ,因此面積元素,可用平行坐標軸的直線來劃,記作,11,二重積分存在定理:,若函數(shù),定理2.,(證明略),定理1.,在D上可積.,限個點或有限個光滑曲線外都連續(xù) ,積.,在有界閉區(qū)域 D上連續(xù),則,若有界函數(shù),在有界閉區(qū)域 D 上除去有,12,例如,在D :,上二重積分存在 ;,在D 上,二重積分不存在 .,13,三、二重積分的性質(zhì),( k 為常數(shù)),（二重積分與定積分有類似的性質(zhì)）,對區(qū)域具有可加性,14, 為D 的面積, 則,特別, 由于,則,5. 若在D上,15,.,（二重積分估值不等式）,16,7.(二重積分的中值定理),證: 由性質(zhì)6 可知,由連續(xù)函數(shù)介值定理, 至少有一點,在閉區(qū)域D上, 為D 的面積 ,則至少存在一點,使,使,連續(xù),因此,17,解,18,例2. 估計,的值, 其中 D 為,解: 被積函數(shù),D 的面積,的最大值,的最小值,19,例3. 比較下列積分的大小:,其中,解: 積分域 D 的邊界為圓周,它與 x 軸交于點 (1,0) ,而域 D 位,從而,于直線的上方, 故在 D 上,20,解,D夾在兩直線間,21,例5. 估計下列積分之值,解: D 的面積為,由于,積分性質(zhì)5,即: 1.96 I 2,22,8. 設函數(shù),D 位于 x 軸上方的部分為D1 ,當區(qū)域關(guān)于 y 軸對稱, 函數(shù)關(guān)于變量 x 有奇偶性時, 仍,在 D 上,在閉區(qū)域上連續(xù),域D 關(guān)于x 軸對稱,則,則,有類似結(jié)果.,23,在第一象限部分, 則有,24,四、特殊區(qū)域下曲頂柱體體積的計算,設曲頂柱體的底可表示為:,X型積分區(qū)域,其中函數(shù) 、 在區(qū)間 上連續(xù).,25,應用計算“平行截面面積為已知的立體求體積”的方法,26,任取,平面,故曲頂柱體體積為,截面積為,截柱體的,27,同樣, 曲頂柱體的底可表示為,Y型,28,則其體積可按如下兩次積分計算,這樣我們就把二重積分轉(zhuǎn)化成為了二次積分或累次積分.,29,內(nèi)容小結(jié),1. 二重積分的定義,2. 二重積分的性質(zhì),(與定積分性質(zhì)相似),3. 曲頂柱體體積的計算,二次積分法,30,被積函數(shù)相同, 且非負,思考與練習,解:,由它們的積分域范圍可知,1. 比較下列積分值的大小關(guān)系:,31,2. 設D 是第二象限的一個有界閉域 , 且 0 y 1, 則,的大小順序為 ( ),提示: 因 0 y 1, 故,故在D上有,32,3. 計算,解:,33,P78 2，4(1)(4), 5(2)(4) P95 1(1), 8,作業(yè),