Black-scholes期權(quán)定價模型(上海財經(jīng)大學劉莉亞).ppt

2019/6/29,1,Black-Scholes期權(quán)定價模型,2019/6/29,2,Black-Scholes期權(quán)定價模型的基本思路,期權(quán)是標的資產(chǎn)的衍生工具，其價格波動的來源就是標的資產(chǎn)價格的變化，期權(quán)價格受到標的資產(chǎn)價格的影響。 標的資產(chǎn)價格的變化過程是一個隨機過程。因此，期權(quán)價格變化也是一個相應的隨機過程。 金融學家發(fā)現(xiàn)，股票價格的變化可以用Ito過程來描述。而數(shù)學家Ito發(fā)現(xiàn)的Ito引理可以從股票價格的Ito過程推導出衍生證券價格所遵循的隨機過程。 在股票價格遵循的隨機過程和衍生證券價格遵循的隨機過程中， Black-Scholes發(fā)現(xiàn)，由于它們都只受到同一種不確定性的影響，如果通過買入和賣空一定數(shù)量的衍生證券和標的證券，建立一定的組合，可以消除這個不確定性，從而使整個組合只獲得無風險利率。從而得到一個重要的方程： Black-Scholes微分方程。 求解這一方程，就得到了期權(quán)價格的解析解。,2019/6/29,3,為什么要研究證券價格所遵循的隨機過程?,期權(quán)是衍生工具，使用的是相對定價法，即相對于證券價格的價格，因此要為期權(quán)定價首先必須研究證券價格。 期權(quán)的價值正是來源于簽訂合約時，未來標的資產(chǎn)價格與合約執(zhí)行價格之間的預期差異變化，在現(xiàn)實中，資產(chǎn)價格總是隨機變化的。需要了解其所遵循的隨機過程。 研究變量運動的隨機過程，可以幫助我們了解在特定時刻，變量取值的概率分布情況。,2019/6/29,4,隨機過程,隨機過程是指某變量的值以某種不確定的方式隨時間變化的過程。 隨機過程的分類 離散時間、離散變量 離散時間、連續(xù)變量 連續(xù)時間、離散變量 連續(xù)時間、連續(xù)變量,2019/6/29,5,幾種隨機過程,標準布朗運動（維納過程 ） 起源于物理學中對完全浸沒于液體或氣體中，處于大量微小分子撞擊下的的小粒子運動的描述。 設(shè)t代表一個小的時間間隔長度，z代表變量z在t時間內(nèi)的變化，遵循標準布朗運動的z具有兩種特征： 特征1： 其中，代表從標準正態(tài)分布（即均值為0、標準差為1.0的正態(tài)分布）中取的一個隨機值。 特征2：對于任何兩個不同時間間隔t ，z的值相互獨立。 特征的理解 特征1： 特征2: 馬爾可夫過程：只有變量的當前值才與未來的預測有關(guān)，變量過去的歷史和變量從過去到現(xiàn)在的演變方式與未來的預測無關(guān)。標準布朗運動符合馬爾可夫過程，因此是馬爾可夫過程的一種特殊形式。,2019/6/29,6,標準布朗運動（續(xù)）,考察變量z在一段較長時間T中的變化情形： z（T）z(0)表示變量z在T中的變化量 又可被看作是在N個長度為t的小時間間隔中z的變化總量，其中N=T/ t 。 很顯然，這是n個相互獨立的正態(tài)分布的和： 因此，z（T）-z（0）也具有正態(tài)分布特征，其均值為0，方差為N t =T，標準差為 。 為何定義為： 當我們需要考察任意時間長度間隔中的變量變化的情況時，獨立的正態(tài)分布，期望值和方差具有可加性，而標準差不具有可加性。這樣定義可以使方差與時間長度成比例，不受時間劃分方法的影響。 相應的一個結(jié)果就是：標準差的單位變?yōu)?連續(xù)時間的標準布朗運動： 當t 0時，我們就可以得到極限的標準布朗運動,2019/6/29,7,普通布朗運動,變量x遵循普通布朗運動： 其中，a和b均為常數(shù)，z遵循標準布朗運動。 這里的a為漂移率（Drift Rate），是指單位時間內(nèi)變量x均值的變化值。 這里的b2為方差率（Variance Rate），是指單位時間的方差。 這個過程指出變量x關(guān)于時間和dz的動態(tài)過程。其中第一項adt為確定項，它意味著x的期望漂移率是每單位時間為a。第二項bdz是隨機項，它表明對x的動態(tài)過程添加的噪音。這種噪音是由維納過程的b倍給出的。 可以發(fā)現(xiàn)，任意時間長度后，x值的變化都具有正態(tài)分布特征，其均值為aT，標準差為 ,方差為b2T.,2019/6/29,8,Ito過程和Ito引理,伊藤過程（Ito Process）： 普通布朗運動假定漂移率和方差率為常數(shù)，若把變量x的漂移率和方差率當作變量x和時間t的函數(shù)，我們就得到 其中，z遵循一個標準布朗運動，a、b是變量x和t的函數(shù)，變量x的漂移率為a，方差率為b2都隨時間變化。這就是伊藤過程。 Ito引理 若變量x遵循伊藤過程，則變量x和t的函數(shù)G將遵循如下過程： 其中，z遵循一個標準布朗運動。由于a 和b都是x和t的函數(shù)，因此函數(shù)G也遵循伊藤過程，它的漂移率為 方差率為,2019/6/29,9,證券價格的變化過程,目的：找到一個合適的隨機過程表達式，來盡量準確地描述證券價格的變動過程，同時盡量實現(xiàn)數(shù)學處理上的簡單性。 基本假設(shè)：證券價格所遵循的隨機過程： 其中，S表示證券價格，表示證券在單位時間內(nèi)以連續(xù)復利表示的期望收益率（又稱預期收益率），2 表示證券收益率單位時間的方差，表示證券收益率單位時間的標準差，簡稱證券價格的波動率（Volatility），z遵循標準布朗運動。 一般和的單位都是年。 很顯然，這是一個漂移率為S、方差率為2S2的伊藤過程。也被稱為幾何布朗運動,2019/6/29,10,為什么證券價格可以用幾何布朗運動表示？,一般認同的“弱式效率市場假說”： 證券價格的變動歷史不包含任何對預測證券價格未來變動有用的信息。 馬爾可夫過程：只有變量的當前值才與未來的預測有關(guān)，變量過去的歷史和變量從過去到現(xiàn)在的演變方式與未來的預測無關(guān)。 幾何布朗運動的隨機項來源于維納過程dz，具有馬爾可夫性質(zhì)，符合弱式假說。 投資者感興趣的不是股票價格S，而是獨立于價格的收益率。投資者不是期望股票價格以一定的絕對價格增長，而是期望股票價格以一定的增長率在增長。因此需要用百分比收益率代替絕對的股票價格。 幾何布朗運動最終隱含的是：股票價格的連續(xù)復利收益率（而不是百分比收益率）為正態(tài)分布；股票價格為對數(shù)正態(tài)分布。這比較符合現(xiàn)實。,2019/6/29,11,百分比收益率與連續(xù)復利收益率,百分比收益率： 連續(xù)復利收益率: 百分比收益率的缺陷與連續(xù)復利收益率的優(yōu)點： 有限責任原則： 金融學中常常存在對實際收益率（近似）服從正態(tài)分布的隱含假定，但是在有限責任（投資者頂多賠償全部的投資，不會損失更多）原則下，百分比收益率只在1和 之間變化，不符合正態(tài)分布假定。 對數(shù)收益率（ ， ）：更適合于建立正態(tài)分布的金融資產(chǎn)行為模型。 多期收益率問題： 即使假設(shè)單期的百分比收益率服從正態(tài)分布，多期的百分比收益率是單期百分比收益率的乘積，n個正態(tài)分布變量的乘積并非正態(tài)分布變量。從而產(chǎn)生悖論。 多期的對數(shù)收益率是單期的對數(shù)收益率之和，仍然服從正態(tài)分布。 交叉匯率問題： 如果用百分比表示，例如美元對日元匯率變化收益率、日元對美元匯率變化收益率，兩者絕對值不會相等；而且其中一個服從正態(tài)分布，另一個就無法服從正態(tài)分布；交叉匯率的收益率難以直接計算。 如果用對數(shù)收益率表示，兩個相互的匯率收益率絕對值正好相等而符號相反；可以滿足同時服從正態(tài)分布的假設(shè)；交叉匯率收益率可以直接相加計算。 連續(xù)復利收益率的問題：盡管時間序列的收益率加總可以很容易的實現(xiàn)；但是橫截面的收益率加總則不是單個資產(chǎn)收益率的加權(quán)平均值，因為對數(shù)之和不是和的對數(shù)。但是在很短時間內(nèi)幾乎可以認為是近似。JP摩根銀行的RiskMetrics方法就假定組合的收益率是單個資產(chǎn)連續(xù)復利收益率的加權(quán)平均。,2019/6/29,12,幾何布朗運動的深入分析,在很短的時間t后，證券價格比率的變化值 為： 可見，在短時間內(nèi)， 具有正態(tài)分布特征 其均值為 ，標準差為 ，方差為 。,2019/6/29,13,幾何布朗運動的深入分析（2）,但是，在一個較長的時間T后， 不再具有正態(tài)分布的性質(zhì)： 多期收益率的乘積問題 因此，盡管是短期內(nèi)股票價格百分比收益率的標準差，但是在任意時間長度T后，這個收益率的標準差卻不再是 。股票價格的年波動率并不是一年內(nèi)股票價格百分比收益率變化的標準差。,2019/6/29,14,幾何布朗運動的深入分析（3）,如果股票價格服從幾何布朗運動，則可以利用Ito引理來推導證券價格自然對數(shù)lnS所遵循的隨機過程： 這個隨機過程的特征： 普通布朗運動：恒定的漂移率和恒定的方差率。 在任意時間長度T之后，G的變化仍然服從正態(tài)分布，均值為 ，方差為 。標準差仍然可以表示為 ，和時間長度平方根成正比。 從自然對數(shù)lnS所遵循的這個隨機過程可以得到兩個結(jié)論:,2019/6/29,15,（1）幾何布朗運動意味著股票價格服從對數(shù)正態(tài)分布。,令t時刻G的值為lnS，T時刻G的值為lnST，其中S表示t時刻（當前時刻）的證券價格，ST表示T時刻（將來時刻）的證券價格，則在Tt期間G的變化為： 這意味著： 進一步從正態(tài)分布的性質(zhì)可以得到 也就是說，證券價格對數(shù)服從正態(tài)分布。如果一個變量的自然對數(shù)服從正態(tài)分布，則稱這個變量服從對數(shù)正態(tài)分布。這表明ST服從對數(shù)正態(tài)分布。 這正好與作為預期收益率的定義相符。,2019/6/29,16,（2）股票價格對數(shù)收益率服從正態(tài)分布,由于dG實際上就是連續(xù)復利的對數(shù)收益率。因此幾何布朗運動實際上意味著對數(shù)收益率遵循普通布朗運動，對數(shù)收益率的變化服從正態(tài)分布，對數(shù)收益率的標準差與時間的平方根成比例。 將t與T之間的連續(xù)復利年收益率定義為，則,2019/6/29,17,結(jié)論,幾何布朗運動較好地描繪了股票價格的運動過程。,2019/6/29,18,參數(shù)的理解,： 幾何布朗運動中的期望收益率，短時期內(nèi)的期望值。 根據(jù)資本資產(chǎn)定價原理， 取決于該證券的系統(tǒng)性風險、無風險利率水平、以及市場的風險收益偏好。由于后者涉及主觀因素，因此的決定本身就較復雜。然而幸運的是，我們將在下文證明，衍生證券的定價與標的資產(chǎn)的預期收益率是無關(guān)的。 較長時間段后的連續(xù)復利收益率的期望值等于 ，這是因為較長時間段后的連續(xù)復利收益率的期望值是較短時間內(nèi)收益率幾何平均的結(jié)果，而較短時間內(nèi)的收益率則是算術(shù)平均的結(jié)果。 ： 是證券價格的年波動率，又是股票價格對數(shù)收益率的年標準差 因此一般從歷史的價格數(shù)據(jù)中計算出樣本對數(shù)收益率的標準差，再對時間標準化，得到年標準差，即為波動率的估計值。 一般來說，時間越近越好；時間窗口太長也不好；采用交易天數(shù)而不采用日歷天數(shù)。,2019/6/29,19,小結(jié),我們可以用幾何布朗運動來描述股票價格的運動：符合弱式有效、對數(shù)正態(tài)分布的市場現(xiàn)實，以及投資者對收益率而非價格的關(guān)注。 根據(jù)Ito引理，可以得到衍生證券所遵循的隨機過程。 股票價格遵循幾何布朗運動，可以得到未來的某個時刻股票價格服從對數(shù)正態(tài)分布的結(jié)論,2019/6/29,20,Black-Scholes微分方程：基本思路,思路：由于衍生證券價格和標的證券價格都受同一種不確定性（dz）影響，若匹配適當?shù)脑挘@種不確定性就可以相互抵消。因此布萊克和舒爾斯就建立起一個包括一單位衍生證券空頭和若干單位標的證券多頭的投資組合。若數(shù)量適當?shù)脑?，標的證券多頭盈利（或虧損）總是會與衍生證券空頭的虧損（或盈利）相抵消，因此在短時間內(nèi)該投資組合是無風險的。那么，在無套利機會的情況下，該投資組合在短期內(nèi)的收益率一定等于無風險利率。,2019/6/29,21,Black-Scholes微分方程：假設(shè),假設(shè)： 證券價格遵循幾何布朗運動，即和為常數(shù)； 允許賣空； 沒有交易費用和稅收，所有證券都是完全可分的； 在衍生證券有效期內(nèi)標的證券沒有現(xiàn)金收益支付； 不存在無風險套利機會； 證券交易是連續(xù)的，價格變動也是連續(xù)的； 在衍生證券有效期內(nèi)，無風險利率r為常數(shù)。 歐式期權(quán)，股票期權(quán)，看漲期權(quán),2019/6/29,22,股票價格和期權(quán)價格服從的隨機過程,2019/6/29,23,Black-Scholes微分方程,推導過程 根據(jù)（1）和（2），在一個很小的時間間隔里S和f的變化值分別為 為了消除 ，我們可以構(gòu)建一個包括一單位衍生證券空頭和 單位標的證券多頭的組合。令 代表該投資組合的價值，則：,2019/6/29,24,在 時間后： 將 代入，可得： 在沒有套利機會的條件下： 從而得到： 這就是著名的布萊克舒爾斯微分分程，它事實上適用于其價格取決于標的證券價格S的所有衍生證券的定價。 值得強調(diào)的是：上述投資組合只是在極短的時間內(nèi)才是無風險的。 會不斷地發(fā)生變化。,2019/6/29,25,BS公式的一個重要結(jié)論 風險中性定價原理,從BS微分方程中我們可以發(fā)現(xiàn)：衍生證券的價值決定公式中出現(xiàn)的變量為標的證券當前市價（S）、時間（t）、證券價格的波動率（）和無風險利率r，它們?nèi)际强陀^變量，獨立于主觀變量風險收益偏好。而受制于主觀的風險收益偏好的標的證券預期收益率并未包括在衍生證券的價值決定公式中。 由此我們可以利用BS公式得到的結(jié)論，作出一個可以大大簡化我們的工作的風險中性假設(shè)：在對衍生證券定價時，所有投資者都是風險中性的。,2019/6/29,26,風險中性定價原理,所謂風險中性，即無論實際風險如何，投資者都只要求無風險利率回報。 風險中性假設(shè)的結(jié)果：我們進入了一個風險中性世界 所有證券的預期收益率都可以等于無風險利率 所有現(xiàn)金流量都可以通過無風險利率進行貼現(xiàn)求得現(xiàn)值。 盡管風險中性假定僅僅是為了求解布萊克舒爾斯微分方程而作出的人為假定，但BS發(fā)現(xiàn)，通過這種假定所獲得的結(jié)論不僅適用于投資者風險中性情況，也適用于投資者厭惡風險的所有情況。也就是說，我們在風險中性世界中得到的期權(quán)結(jié)論，適合于現(xiàn)實世界。,2019/6/29,27,An Example,假設(shè)一種不支付紅利股票目前的市價為10元，我們知道在3個月后，該股票價格要么是11元，要么是9元?，F(xiàn)在我們要找出一份3個月期協(xié)議價格為10.5元的該股票歐式看漲期權(quán)的價值。 由于歐式期權(quán)不會提前執(zhí)行，其價值取決于3個月后股票的市價。若3個月后該股票價格等于11元，則該期權(quán)價值為0.5元；若3個月后該股票價格等于9元，則該期權(quán)價值為0。 為了找出該期權(quán)的價值，我們可構(gòu)建一個由一單位看漲期權(quán)空頭和單位的標的股票多頭組成的組合。若3個月后該股票價格等于11元時，該組合價值等于（110.5）元；若3個月后該股票價格等于9元時，該組合價值等于9元。為了使該組合價值處于無風險狀態(tài)，我們應選擇適當?shù)闹?，?個月后該組合的價值不變，這意味著： 110.5=9 =0.25 因此，一個無風險組合應包括一份看漲期權(quán)空頭和0.25股標的股票。無論3個月后股票價格等于11元還是9元，該組合價值都將等于2.25元。,2019/6/29,28,在沒有套利機會情況下，無風險組合只能獲得無風險利率。假設(shè)現(xiàn)在的無風險年利率等于10%，則該組合的現(xiàn)值應為： 2.25e-0.10.25=2.19 由于該組合中有一單位看漲期權(quán)空頭和0.25單位股票多頭，而目前股票市場價格為10元，因此： 100.25-f2.19; f0.31 這就是說，該看漲期權(quán)的價值應為0.31元，否則就會存在無風險套利機會。,2019/6/29,29,從該例子可以看出，在確定期權(quán)價值時，我們并不需要知道股票價格上漲到11元的概率和下降到9元的概率。但這并不意味著概率可以隨心所欲地給定。事實上，只要股票的預期收益率給定，股票上升和下降的概率也就確定了。例如，在風險中性世界中，無風險利率為10%，則股票上升的概率P可以通過下式來求： 10=e-0.10.2511p+9(1-p) P=62.66%。 又如，如果在現(xiàn)實世界中股票的預期收益率為15%，則股票的上升概率可以通過下式來求： 10=e-0.150.2511p+9(1-p) P=69.11%。 可見，投資者厭惡風險程度決定了股票的預期收益率，而股票的預期收益率決定了股票升跌的概率。然而，無論投資者厭惡風險程度如何，從而無論該股票上升或下降的概率如何，該期權(quán)的價值都等于0.31元。,2019/6/29,30,前文的兩個重要結(jié)論,股票價格服從對數(shù)正態(tài)分布 風險中性定價原理,2019/6/29,31,blackScholes期權(quán)定價公式,金融產(chǎn)品今天的價值，應該等于未來收入的貼現(xiàn)： （3） 其中，由于風險中性定價， E是風險中性世界中的期望值。所有的利率都使用無風險利率：包括期望值的貼現(xiàn)率和對數(shù)正態(tài)分布中的期望收益率。 要求解這個方程，關(guān)鍵在于到期的股票價格ST，我們知道它服從對數(shù)正態(tài)分布，且其中所有的利率應用無風險利率，因此，,2019/6/29,32,對式（3）的右邊求值是一個積分過程，求得： N（x）為標準正態(tài)分布變量的累計概率分布函數(shù)（即這個變量小于x的概率）。 這就是無收益資產(chǎn)歐式看漲期權(quán)的定價公式,2019/6/29,33,首先，N(d2)是在風險中性世界中ST大于X的概率，或者說是歐式看漲期權(quán)被執(zhí)行的概率， e-r(T-t)XN(d2)是X的風險中性期望值的現(xiàn)值。 SN(d1)= e-r(T-t)ST N(d1)是ST的風險中性期望值的現(xiàn)值。 因此，這個公式就是未來收益期望值的貼現(xiàn)。,BS公式的理解,2019/6/29,34,其次， 是復制交易策略中股票的數(shù)量（求導），SN（d1)就是股票的市值, -e-r(T-t)XN(d2)則是復制交易策略中負債的價值。 數(shù)學等式的金融工程含義 看漲期權(quán)空頭的套期保值結(jié)果,2019/6/29,35,最后，從金融工程的角度來看，歐式看漲期權(quán)可以分拆成資產(chǎn)或無價值看漲期權(quán)（Asset-or-noting call option）多頭和現(xiàn)金或無價值看漲期權(quán)（cash-or-nothing option）空頭，SN(d1)是資產(chǎn)或無價值看漲期權(quán)的價值，-e-r(T-t)XN(d2)是X份現(xiàn)金或無價值看漲期權(quán)空頭的價值。 資產(chǎn)或無價值看漲期權(quán)：如果標的資產(chǎn)價格在到期時低于執(zhí)行價格，該期權(quán)沒有價值；如果高于執(zhí)行價格，則該期權(quán)支付一個等于資產(chǎn)價格本身的金額，因此該期權(quán)的價值為e-r(T-t)STN(d1)= SN(d1) （標準）現(xiàn)金或無價值看漲期權(quán):如果標的資產(chǎn)價格在到期時低于執(zhí)行價格，該期權(quán)沒有價值；如果高于執(zhí)行價格，則該期權(quán)支付1元， 由于期權(quán)到期時價格超過執(zhí)行價格的概率為1份現(xiàn)金或無價值看漲期權(quán)的現(xiàn)值為-e-r(T-t) N(d2)。,2019/6/29,36,在標的資產(chǎn)無收益情況下，由于C=c，因此式也給出了無收益資產(chǎn)美式看漲期權(quán)的價值。 根據(jù)歐式看漲期權(quán)和看跌期權(quán)之間存在平價關(guān)系，可以得到無收益資產(chǎn)歐式看跌期權(quán)的定價公式 ： 由于美式看跌期權(quán)與看漲期權(quán)之間不存在嚴密的平價關(guān)系，因此美式看跌期權(quán)無法得到精確的解析公式，而只能運用數(shù)值方法和近似方法得到。,BS定價模型的基本推廣,2019/6/29,37,有收益資產(chǎn)的歐式期權(quán)定價公式,基本理解：在收益已知情況下，我們可以把標的證券價格分解成兩部分：期權(quán)有效期內(nèi)已知現(xiàn)金收益的現(xiàn)值部分和一個有風險部分。當期權(quán)到期時，這部分現(xiàn)值將由于標的資產(chǎn)支付現(xiàn)金收益而消失。因此，我們只要用S表示有風險部分的證券價格。表示風險部分遵循隨機過程的波動率，就可直接套用前面公式分別計算出有收益資產(chǎn)的歐式看漲期權(quán)和看跌期權(quán)的價值。 因此，當標的證券已知收益的現(xiàn)值為I時，我們只要用（SI）代替前面公式的S即可求出固定收益證券歐式看漲和看跌期權(quán)的價格。 當標的證券的收益為按連續(xù)復利計算的固定收益率q（單位為年）時，我們只要將Seq（T-t）代替前面公式中的S就可求出支付連續(xù)復利收益率證券的歐式看漲和看跌期權(quán)的價格。,2019/6/29,38,歐式股指期權(quán)、歐式外匯期權(quán)都可以看成支付連續(xù)復利紅利率的資產(chǎn)期權(quán) 歐式期貨期權(quán)定價公式為： 其中：,2019/6/29,39,例1,假設(shè)當前英鎊的即期匯率為$1.5000，美國的無風險連續(xù)復利年利率為7%，英國的無風險連續(xù)復利年利率為10%，