宜賓專版2019年中考數學總復習第4章圖形的初步認識與三角形第15講等腰三角形與直角三角形精講練習.docx

第十五講等腰三角形與直角三角形宜賓中考考情與預測宜賓考題感知與試做1.（2014宜賓中考）如圖，在RtABC中，B90，AB3，BC4，將ABC折疊，使點B恰好落在邊AC上，與點B重合，AE為折痕，則EB1.5.2.（宜賓中考）如圖，在ABC中，ADBC于點D.請你再添加一個條件，就可以確定ABC是等腰三角形.你添加的條件是答案不唯一，如BDCD.宜賓中考考點梳理等腰三角形及其性質和判定1.等腰三角形概念有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形，相等的兩邊都叫做腰，另一邊叫做底邊，兩腰的夾角叫做頂角，腰和底邊的夾角叫做底角性質（1）等腰三角形兩腰相等（如ABAC）；（2）等腰三角形的兩底角相等（簡寫成“等邊對等角”，如BC）；（3）等腰三角形底邊上的高、中線及頂角的平分線互相重合（簡稱“三線合一”）；（4）等腰三角形是軸對稱圖形，有一條對稱軸；（5）面積： SABCBCAD判定如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊相等（簡寫成“等角對等邊”）2.等邊三角形定義三條邊都相等的三角形稱為等邊三角形（或正三角形）性質（1）等邊三角形三邊相等（如ABBCAC）；（2）等邊三角形的各個角都相等，并且每一個角都等于60（如ABC60）；（3）等邊三角形的內、外心重合；（4）等邊三角形是軸對稱圖形，有三條對稱軸；（5）面積：SABCBCADAB2判定（1）三條邊都相等的三角形是等邊三角形；（2）三個角都相等的三角形是等邊三角形；（3）有一個角等于60的等腰三角形是等邊三角形直角三角形及其性質和判定3.直角三角形定義有一個角是直角的三角形叫做直角三角形性質（1）直角三角形的兩個銳角互余；（2）直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半（如CDAB）；（3）在直角三角形中，如果一個銳角等于30，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半（如ACAB）；（4）勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方（如a2b2c2）；（5）在直角三角形中，如果一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對的銳角等于30；（6）面積：SABCabch（h為斜邊c上的高）判定（1）有一個角是直角的三角形是直角三角形；（2）有兩個角互余的三角形是直角三角形；（3）一條邊的中線等于這條邊的一半的三角形是直角三角形；（4）勾股定理的逆定理：如果三角形三邊長a、b、c有關系a2b2c2，那么這個三角形是直角三角形，且邊c所對的角為直角4.等腰直角三角形定義頂角為90的等腰三角形是等腰直角三角形性質等腰直角三角形的頂角是直角，兩底角都為45判定（1）用定義判定；（2）有兩個角為45的三角形線段的垂直平分線和角平分線5.線段的垂直平分線（1）性質定理：線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等.如圖，若OP垂直平分AB，則PAPB.（2）判定（性質定理的逆定理）：到線段兩端距離相等的點在線段的垂直平分線上.6.角平分線（1）性質定理：角平分線上的點到角兩邊的距離相等.如圖，若12，PAOA，PBOB，則PAPB.（2）判定（性質定理的逆定理）：角的內部到角兩邊距離相等的點在角的平分線上.1.到三角形三個頂點的距離都相等的點是這個三角形的（D）A.三條高的交點B.三條角平分線的交點C.三條中線的交點D.三條邊的垂直平分線的交點2.如圖，在ABC中，ABAC，A30，AB的垂直平分線l交AC于點D，則CBD的度數為（B）A.30 B.45 C.50 D.75（第2題圖）（第3題圖）3.如圖，在ABC中，ABAC，D為BC上一點，且DADC，BDBA，則B的大小為（B）A.40 B.36 C.30 D.254.已知一個等腰三角形的兩邊長分別為2和4，則該等腰三角形的周長是10.5.在ABC中，若C90，A30，AC5，則AB.6.含30角的直角三角板與直線l1、l2的位置關系如圖所示，已知l1l2，160，以下三個結論中正確的是（寫出所有正確結論的序號）.AC2BC；BCD為正三角形；ADBD.7.如圖，在RtABC中，ACB90，CD是AB邊上的中線，EDAB于點D，交AC于點E.（1）若BC3，AC4，求CD的長；（2）求證：12.（1）解：ACB90，BC3，AC4，AB5.CD是AB邊上的中線，CDAB2.5；（2）證明：ACB90，AB90.EDAB，A190，B1.CD是AB邊上的中線，BDCD，B2，12.8.如圖，在ABC中，ABAC，CD是ACB的平分線，DEBC，交AC于點E.（1）求證：DECE；（2）若CDE35，求A的度數.（1）證明：CD是ACB的平分線，BCDECD.DEBC，EDCBCD，EDCECD，DECE；（2）解：ECDEDC35，ACB2ECD70.ABAC，ABCACB70，A180707040.中考典題精講精練等腰三角形的性質和判定【典例1】如圖，已知點D為ABC內一點，CD平分ACB，BDCD，AABD，若AC6，BC4，求BD的長.【解析】延長BD與AC交于點E，由題意可推出BEAE，依據等角的余角相等，即可得等腰三角形BCE，可推出BCCE，AEBE2BD，根據AC6，BC4，即可求出BD的長.【解答】解：延長BD與AC交于點E.AABD，BEAE.BDCD，BECD.CD平分ACB，BCDECD，EBCBEC，BCCE.BECD，2BDBE.AC6，BC4，CE4，AEACEC642，BE2，BD1.直角三角形的性質和判定【典例2】如圖1，ABC中，CD、BE分別是AB、AC邊上的高，M、N分別是線段BC、DE的中點.（1）求證：MNDE；（2）連結DM、ME，猜想A與DME之間的關系，并寫出推理過程；（3）若將銳角ABC變?yōu)殁g角ABC，如圖2，上述（1）（2）中的結論是否都成立？若結論成立，直接回答，不需證明；若結論不成立，說明理由.圖1圖2【解析】（1）連結DM、EM，根據“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”可得DMBC，EMBC，從而得到DMME，再根據等腰三角形的“三線合一”可得結論；（2）根據三角形的內角和定理可得ABCACB180A，再根據“等腰三角形兩底角相等”表示出BMDCME，然后根據“平角等于180”表示出DME，整理即可得解；（3）根據三角形的內角和定理可得ABCACB180BAC，再根據“等腰三角形兩底角相等及三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和”表示出BMECMD，然后根據“平角等于180”表示出DME，整理即可得解.【解答】（1）證明：連結DM、EM.CD、BE分別是AB、AC邊上的高，點M是BC的中點，DMBC，MEBC，DMEM.又點N為DE的中點，MNDE；（2）解：在ABC中，ABCACB180A.DMEMBMCM，BMDCME（1802ABC）（1802ACB）3602（ABCACB）3602（180A）2A，DME1802A；（3）解：（1）中的結論成立，（2）中的結論不成立.理由：在ABC中，ABCACB180BAC.DMEMBMCM，BMECMD2ACB2ABC2（180BAC）3602BAC，DME180（3602BAC）2BAC180.線段中垂線定理及其逆定理【典例3】如圖，在ABC中，AD平分BAC，DEAC，EFAD交BC的延長線于點F.求證：FACB.【解析】根據角的平分線的定義和平行線的性質，可得AEDE，則EF是AD的垂直平分線，又FADCADFAC，FDABBAD，即可得證.【解答】證明：AD平分BAC，BADCAD.DEAC，EDACAD.EDABAD，AEED.又EFAD，EF是AD的垂直平分線，AFDF，FADFDA.又FADCADFAC，FDABBAD，FACB.1.如圖，在ABC中，AD平分BAC，BEAD，BE交AD的延長線于點E，點F在AB上，且EFAC.求證：點F是AB的中點.證明：AD平分BAC，BAECAE.EFAC，AEFCAE，AEFBAE，AFEF.又BEAD，BAEABE90，BEFAEF90，ABEBEF，BFEF，AFBF，點F為AB的中點.2.如圖，AOPBOP15，PCOA，PDOA，垂足為D，若PC10，則PD等于（C）A.10 B.5 C.5 D.2.53.如圖，ABCADC90，M、N分別是AC、BD的中點.求證：MNBD.證明：連結BM、DM.ABCADC90，M是AC的中點，BMDMAC.N是BD的中點，MNBD.4.在ABC中，MP、NO分別垂直平分AB、AC.（1）若BC10 cm，試求出PAO的周長；（2）若ABAC，BAC110，試求PAO的度數；（3）在（2）中，若無“ABAC”的條件，你能求出PAO的度數嗎？若能，請求出來；若不能，請說明理由.解：（1）MP、NO分別垂直平分AB、AC，APBP，AOCO，PAO的周長APPOAOBPPOCOBC，BC10 cm