Laplace變換§2.4Laplace變換的應(yīng).ppt

第二章 Laplace變換,2.4 Laplace變換的應(yīng)用,2.3 Laplace 逆變換,2.2 Laplace變換的性質(zhì),2.1 Laplace變換的概念,主 要 內(nèi) 容,本章介紹Laplace變換的概念、性質(zhì) 以及Laplace逆變換. 最后給出Laplace變 換一些應(yīng)用的例子.,Fourier變換在許多領(lǐng)域中發(fā)揮著重要的作用, 但是在通常意義下，F(xiàn)ourier變換存在的條件需要 實函數(shù)f (t)在(-,+)上絕對可積. 很多常見的初等 函數(shù)(例如，常數(shù)函數(shù)、多項式函數(shù)、正弦與余弦 函數(shù)等)都不滿足這個要求. 另外，很多以時間t 為 為自變量的函數(shù)，當(dāng)t0時，往往沒有定義，或者 不需要知道t0的情況. 因此, Fourier變換在實際 應(yīng)用中受到一些限制.,當(dāng)函數(shù)f (t)在t0時沒有定義或者不需要知 道時, 可以認(rèn)為當(dāng)t0時, f (t)0. 這時, Fourier 變換的表達(dá)式為,這個要求限制了它的應(yīng)用.,函數(shù)時,是衰減速度很快的函數(shù)，稱它為指數(shù)衰減函數(shù).,可表示為,這就是本章要討論的Laplace變換, 它放寬了對函,數(shù)的限制并使之更適合工程實際, 并且仍然保留,Fourier變換中許多好的性質(zhì), 更實用、更方便.,1 Laplace變換的定義,2 周期函數(shù)和 函數(shù)的Laplace變換,2.1 Laplace變換的概念,(s是復(fù)參變量)關(guān)于某一范圍,s 收斂，則由這個積分確定的函數(shù),2.1.1 Laplace變換的定義,的像原函數(shù).,所以經(jīng)常記作,例2.1 求單位階躍函數(shù),的Laplace變換.,的Laplace變換.,所以,根據(jù)Laplace變換的定義,Laplace變換存在定理,故 絕對收斂，即,類似于冪級數(shù)中 ，有下面定理.,根據(jù)定理2.2，存在實數(shù)s (或是)使得在,在收斂區(qū)域上，,Laplace變換的像函數(shù),是s的解,析函數(shù).,Laplace變換存在，且,于是,類似可得,解 如果a是正整數(shù) m, 則由分部積分法, 易,求得,方法, 可求出,且在一個周期內(nèi)分段連續(xù)，則,2.1.2 周期函數(shù)和d 函數(shù)的Laplace變換,于是,這就是周期函數(shù)的Laplace變換公式.,例2.5 求全波整流函數(shù),的Laplace變換.,所以由,的周期,如果滿足Laplace變換存在條件的函數(shù),即,并且把Laplace變換定義為,解 因為,所以,例2.7 求,1 線性性質(zhì),3 像函數(shù)的微分性質(zhì),6 位移性質(zhì),5 像函數(shù)的積分性質(zhì),2 微分性質(zhì),4 積分性質(zhì),7 延遲性質(zhì),10 卷積定理,9 初值和終值定理,8 相似性質(zhì),2.2 Laplace變換的性質(zhì),以下假定所考慮的 Laplace 變換的像原函數(shù),都滿足存在定理的條件.,(1) 線性性質(zhì),設(shè)a, b 是常數(shù)，,則,由Laplace變換的定義及積分的線性性質(zhì)可證.,(2) 微分性質(zhì),證明 根據(jù)Laplace變換的定義和分部積分公式,推論 對正整數(shù)n, 有,變換存在定理的條件,( ),解 因為,所以,使用同樣方法，可得,參見例2.3, 與這里方法不同,根據(jù) 和線性性質(zhì),解 根據(jù)線性性質(zhì)與,利用 也可以求出當(dāng)m是正整數(shù)時，,因為,所以,于是,(3) 像函數(shù)的微分性質(zhì),一般地，對正整數(shù)n, 有,證明 對解析函數(shù),求導(dǎo), 右端求導(dǎo)時可在積分號下進(jìn)行，即得.,使用同樣方法，可得,(4) 積分性質(zhì),故由,于是結(jié)論得證. 一般地，對n次積分有,(5) 位移性質(zhì),證明 根據(jù)定義，有,故根據(jù),使用同樣方法，可得,使用同樣方法，可得,(6) 像函數(shù)的積分性質(zhì),證明 根據(jù) ,u取在正實軸,從s 到 則,推論 如果像函數(shù)積分性質(zhì)的條件滿足, 且,事實上，對于像函數(shù)積分性質(zhì),再利用,(7) 延遲性質(zhì),則對任何非負(fù)實數(shù)t , 有,證明 根據(jù)定義,從而,寫成,例2.14 求如圖所示階梯函數(shù)的Laplace變換.,解法1 利用Heaviside函數(shù),是以 為周期的函數(shù), 由,(8) 相似性質(zhì),其中,故由 和,(9) 初值定理和終值定理,初值定理,則,終值定理,點(diǎn)都在s平面的左半部，則,下面介紹Laplace變換的卷積性質(zhì)卷積定理.,Laplace變換的卷積性質(zhì)不僅能用來求出某些函數(shù),的Laplace逆變換, 而且在線性系統(tǒng)的研究中起著重,要作用.,因為在Laplace變換中, 總認(rèn)為t 0時像原函數(shù),卷積定理,如果,則,或,其中A是 平面內(nèi) t 軸,和第一象限的角平分線,圍成的角形區(qū)域.,交換積分次序,證明Laplace變換的積分性質(zhì),于是,應(yīng)用卷積定理可求某些Laplace逆變換.,故根據(jù),因為,根據(jù),則由,故根據(jù) 及 ，有,例2.19 求,因為,故由 ，,由,因此，根據(jù),2.3 Laplace 逆變換,由例2.17 例2.20可見, 應(yīng)用Laplace變換的,性質(zhì), 特別是卷積定理，能夠解決某些Laplace逆,變換問題. 但是當(dāng) 比較復(fù)雜時, 僅用前面的,方法是不夠的. 因此, 本節(jié)給出Laplace逆變換積分,表達(dá)式，應(yīng)用復(fù)變函數(shù)論中的留數(shù)理論作為工具，,給出一種較一般的方法.,不是所有解析函數(shù)都是某一函數(shù)的Laplace變換,像函數(shù). 例如，由初值定理可以看出, 多項式不,存在Laplace逆變換. 由 ,的Fourier變換. 因此, 當(dāng),滿足Fourier積分定理的條件時, 根據(jù)Fourier積分,積分路徑是,這就是Laplace逆變換的,一般公式, 稱為Laplace 變換,的反演積分. 這是復(fù)變函數(shù)的,積分, 在一定條件下, 可利用留數(shù)來計算.,利用留數(shù)求Laplace逆變換的公式,的區(qū)域內(nèi).,于是，根據(jù),分子次數(shù)的有理真分式，則Laplace逆變換存在，,利用,解,由計算,留數(shù)的法則，,解,和2級極點(diǎn).,故由計算留數(shù)的法則,例2.23 求,解,的3級和2級極點(diǎn). 故由計算留數(shù)的法則,再求逆變換，一般來說這樣更為方便.,逆變換.,解法1,解法2,可分解為形如,可以求得,到目前為止, 已介紹了多種求Laplace逆變換,的方法. 例如: 利用卷積定理; 利用留數(shù)定理; 利,用部分分式等. 在使用時, 應(yīng)該根據(jù)具體情形采用,簡便的方法. 有時也可以利用Laplace變換的一些,基本性質(zhì). 在以上方法中，除利用留數(shù)定理之外,都需要知道一些最基本的Laplace 變換的像函數(shù),和像原函數(shù).,例2.25 求,解 因為,所以,2.4 Laplace變換的應(yīng)用,Laplace變換在線性系統(tǒng)的分析和研究中起著,重要作用. 線性系統(tǒng)在許多場合，可以用線性常微,分方程來描述. 這類系統(tǒng)在電路原理和自動控制理,論中，都占有重要地位.,方程和方程組特解的方法.,下面首先介紹利用Laplace變換求線性常微分,像原函數(shù) (常微分方程的解),像函數(shù),常微分方程,像函數(shù)的 代數(shù)方程,Laplace逆變換,Laplace變換,解代數(shù)方程,對所給方程的兩端進(jìn)行Laplace變換, 根據(jù),Laplace變換的性質(zhì)(如微分性質(zhì)), 得出有關(guān)像函,數(shù)的代數(shù)方程, 從而求出未知函數(shù)的像函數(shù). 最,后通過求其逆變換, 得出所給方程的解.,例2.26 求常系數(shù)線性微分方程的初值問題,的解.,基本思路,Laplace變換的像. 對方程兩邊進(jìn)行Laplace變換，,根據(jù) 和初值條件,由,于是,例2.27 求積分方程,的解.,對方程兩邊進(jìn)行Laplace變換，根據(jù),再求逆變換，從而,例2.28 求一階微分方程組,對方程組兩邊進(jìn)行Laplace變換，,由 和,初值條件,解線性方程組，得,求Laplace逆變換,整理得,例2.29 求二階微分方程組,對方程組兩邊求Laplace變換, 并考慮初值條件，,則得,整理化簡后為,解這個代數(shù)方程組，即得,根據(jù)例2.22,故,于是方程的解為,從以上例子可以看出, 利用Laplace變換求解,常系數(shù)微分方程和方程組時，初值條件已經(jīng)用到,所得的解就是滿足初值條件的特解, 避免了先求,通解，再求特解的過程. 對有些變系數(shù)方程, 也可,以利用Laplace變換求解.,對方程兩邊進(jìn)行Laplace變換得,這是關(guān)于Y 的齊次線性方程(也是變量可分離的,方程)，于是其通解為,求Laplace逆變換, 可得,例2.31 質(zhì)量為m的物體,掛在彈性系數(shù)為k的彈簧一端,外力為 f (t), 物體自平衡位置,x=0處開始運(yùn)動, 求運(yùn)動方程.,解 根據(jù)Newton定律,進(jìn)行Laplace變換得,因為,所以根據(jù),例2.32 在圖示電路中,求開關(guān)閉合后, 電容器兩端,的電壓 uC(t).,i(t)表示回路中電流,則對方程兩邊進(jìn)行Laplace變換得,于是,則,求Laplace逆變換, 可得,例2.33 在圖示的RLC,電路中串接直流電源E, 求,回路中電流i(t).,解 因為,其中,故,所以得到微分積分方程,其中 是方程 的根,求Laplace逆變換, 可得,例2.34 考慮單輸入單輸出的線性定常系統(tǒng),其中,分別是系統(tǒng)的輸入函數(shù)(激,勵)和輸出函數(shù)(響應(yīng)).,當(dāng)初始條件為零時, 對系統(tǒng),進(jìn)行Laplace變換. 令,則有,從而,稱 為線性定常系統(tǒng)的傳遞函數(shù).,傳遞函數(shù)是系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的另一種表達(dá)形式,通過系統(tǒng)輸入和輸出之間的關(guān)系來描述系統(tǒng)本身,的特性, 它只與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)有關(guān), 與輸入,函數(shù)的變化形式無關(guān).,Y(s)=G(s)U(s), 所以由,即系統(tǒng)的響應(yīng)等于其激勵與g(t)=L -1G(s)的卷積.,傳遞函數(shù) G(s),u(t),y(t),U(s),Y(s),可以根據(jù)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)可以判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性.,下面我們給出一個具體的汽車懸掛系統(tǒng)的,例子.,圖a)所示為汽車,懸掛系統(tǒng)原理圖. 汽車,在道路上行駛時, 輪胎,的垂直位移是一個運(yùn)動,激勵, 作用在汽車的懸,掛系統(tǒng)上.該系統(tǒng)的運(yùn)動, 由質(zhì)心的平移運(yùn)動和圍,繞質(zhì)心的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動組成. 建立車體在垂直方向上,運(yùn)動的簡化數(shù)學(xué)模型, 如圖b).,設(shè)汽車輪胎的垂直運(yùn)動 xi為系統(tǒng)的輸入量, 車,體的垂直運(yùn)動 xo 為系統(tǒng)的輸出量, 則根據(jù)Newton,定律, 得到系統(tǒng)運(yùn)動方程為,因此, 有,假設(shè)初始條件為零, 對上面兩式進(jìn)行Laplace變換,得到,消去中間變量X(s), 整理后即得簡化的汽車懸掛,系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為,其中,給定傳遞函數(shù)中的參數(shù)值后, 可以求出傳遞,函數(shù)的極點(diǎn), 并根據(jù)極點(diǎn)的位置, 就可以判斷該,汽車懸掛系統(tǒng)的穩(wěn)定性.,例2.35 考慮由狀態(tài)方程,輸出系統(tǒng), 其中x(t)是狀態(tài)向量, u(t)是輸入向量,y(t)是輸出向量. 設(shè)初始狀態(tài)為零, 對狀態(tài)方程和,輸出方程取Laplace變換, 得,于是可解出,的傳遞矩陣.,下面給