2018_2019學(xué)年高中數(shù)學(xué)第三講柯西不等式與排序不等式本講知識(shí)歸納與達(dá)標(biāo)驗(yàn)收講義含解析新人教A版.docx

第三講 柯西不等式與排序不等式考情分析從近兩年高考來(lái)看，對(duì)本部分內(nèi)容還未單獨(dú)考查，但也不能忽視，利用柯西不等式構(gòu)造“平方和的積”與“積的和的平方”，利用排序不等式證明成“對(duì)稱”形式，或兩端是“齊次式”形式的不等式問(wèn)題真題體驗(yàn) 1(2017江蘇高考)已知a，b，c，d為實(shí)數(shù)，且a2b24，c2d216，證明：acbd8.證明：由柯西不等式可得：(acbd)2(a2b2)(c2d2)因?yàn)閍2b24，c2d216，所以(acbd)264，因此acbd8.2(2015陜西高考)已知關(guān)于x的不等式|xa|b的解集為x|2x4(1)求實(shí)數(shù)a，b的值；(2)求的最大值解：(1)由|xa|b，得baxba，則解得(2) 24，當(dāng)且僅當(dāng)，即t1時(shí)等號(hào)成立，故()max4.利用柯西不等式證明有關(guān)不等式問(wèn)題柯西不等式的一般形式為(aaa)(bbb)(a1b1a2b2anbn)2(ai，biR，i1，2，n)，形式簡(jiǎn)潔、美觀、對(duì)稱性強(qiáng)，靈活地運(yùn)用柯西不等式，可以使一些較為困難的不等式證明問(wèn)題迎刃而解例1已知a，b為正實(shí)數(shù)，ab1，x1，x2為正實(shí)數(shù)(1)求的最小值；(2)求證：(ax1bx2)(ax2bx1)x1x2.解(1)a，b為正實(shí)數(shù)，ab1，x1，x2為正實(shí)數(shù)，3336，當(dāng)且僅當(dāng)，ab，即ab，且x1x21時(shí)，有最小值6.(2)證明：a，bR，ab1，x1，x2為正實(shí)數(shù)，(ax1bx2)(ax2bx1)()2()2()2()2()2x1x2(ab)2x1x2，當(dāng)且僅當(dāng)x1x2時(shí)取等號(hào).利用排序不等式證明有關(guān)的不等式問(wèn)題排序不等式具有自己獨(dú)特的體現(xiàn)：多個(gè)變量的排列與其大小順序有關(guān)，特別是與多變量間的大小順序有關(guān)的不等式問(wèn)題，利用排序不等式解決往往很簡(jiǎn)捷例2在ABC中，試證：.證明不妨設(shè)abc，于是ABC.由排序不等式，得aAbBcCaAbBcC，aAbBcCbAcBaC，aAbBcCcAaBbC.以上三式相加，得3(aAbBcC)(abc)(ABC)(abc)得，又由0bca,0abc,0acb，有0A(bca)C(abc)B(acb)a(BCA)b(ACB)c(ABC)a(2A)b(2B)c(2C)(abc)2(aAbBcC)得.由得原不等式成立.利用柯西不等式或排序不等式求最值問(wèn)題有關(guān)不等式問(wèn)題往往要涉及到對(duì)式子或量的范圍的限定其中含有多變量限制條件的最值問(wèn)題往往難以處理在這類題目中，利用柯西不等式或排序不等式處理往往比較容易例3已知5a23b2，求a22abb2的最大值解(a)2(b)22(ab)2a22abb2，當(dāng)且僅當(dāng)5a3b即a，b時(shí)取等號(hào)a22abb2(5a23b2)1.a22abb2的最大值為1.例4已知abc1.(1)求S2a23b2c2的最小值及取得最小值時(shí)a，b，c的值；(2)若2a23b2c21，求c的取值范圍解(1)根據(jù)柯西不等式，得1abcab1c(2a23b2c2) ，即 1，S，當(dāng)且僅當(dāng)a，b，c時(shí)等號(hào)成立，當(dāng)a，b，c時(shí)，Smin.(2)由條件可得根據(jù)柯西不等式，得(ab)2(a)2(b)2(2a23b2)，(1c)2(1c2)，解得c1.c的取值范圍為. (時(shí)間：90分鐘，總分120分)一、選擇題(本大題共10小題，每小題5分，滿分50分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1設(shè)a，bR且ab16，則的最小值是()A.B.C. D.解析：選A(ab)24，.當(dāng)且僅當(dāng)，即ab8時(shí)取等號(hào)2已知x3y5z6，則x2y2z2的最小值為()A. B.C. D6解析：選C由柯西不等式，得x2y2z2(123252)(x2y2z2)(x3y5z)262，當(dāng)且僅當(dāng)x時(shí)等號(hào)成立3已知a，b，c為正數(shù)且abc3，則的最小值為()A4 B4C6 D6解析：選Ca，b，c為正數(shù) ab.同理 bc， ca，相加得 ()2(bca)6，即6，當(dāng)且僅當(dāng)abc時(shí)取等號(hào)4設(shè)a，b，c均大于0，a2b2c23，則abbcca的最大值為()A0 B1C3 D.解析：選C設(shè)abc0，由排序不等式得a2b2c2abbcac，所以abbcca3，故選C.5已知a，b，c為正數(shù)，則(abc)的最小值為()A1 B.C3 D4解析：選D(abc)()2()22224.當(dāng)且僅當(dāng)abc時(shí)取等號(hào)6已知(x1)2(y2)24，則3x4y的最大值為()A21 B11C18 D28解析：選A根據(jù)柯西不等式得(x1)2(y2)232423(x1)4(y2)2(3x4y11)2，(3x4y11)2100.可得3x4y21，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)7設(shè)a，b，c為正數(shù)，ab4c1，則2的最大值是()A. B.C2 D.解析：選B1ab4c()2()2(2)2()2()2(2)2(121212)(2)2，(2)23，當(dāng)且僅當(dāng)ab4c時(shí)等式成立，故2的最大值為.8函數(shù)f(x)cos x，則f(x)的最大值是()A. B.C1 D2解析：選A因?yàn)閒(x)cos x，所以f(x) cos x ，當(dāng)且僅當(dāng)cos x時(shí)取等號(hào)9若5x16x27x34x41，則3x2x5xx的最小值是()A. B.C3 D.解析：選B3x2x5(x3)2x(5x16x27x34x4)21，即3x2x5xx.10已知a，b，cR，則a2(a2bc)b2(b2ac)c2(c2ab)的正負(fù)情況是()A大于零 B大于等于零C小于零 D小于等于零解析：選B設(shè)abc0，所以a3b3c3，根據(jù)排序不等式，得a3ab3bc3ca3bb3cc3a.又abacbc，a2b2c2，所以a3bb3cc3aa2bcb2cac2ab.所以a4b4c4a2bcb2cac2ab，即a2(a2bc)b2(b2ac)c2(c2ab)0.二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分把正確答案填寫在題中橫線上)11設(shè)a，b，c是正實(shí)數(shù)，且abc9，則的最小值為_(kāi)解析：(abc)()2()2()2218，2，當(dāng)且僅當(dāng)abc3時(shí)等號(hào)成立的最小值為2.答案：212已知A，B，C是三角形三個(gè)內(nèi)角的弧度數(shù)，則的最小值是_解析：(ABC)(111)29，而ABC，故，當(dāng)且僅當(dāng)ABC時(shí)，等號(hào)成立答案：13設(shè)有兩組實(shí)數(shù)：a1，a2，a3，an與b1，b2，b3，bn，且它們滿足：a1a2a3an，b1b2b3bn，若c1，c2，c3，cn是b1，b2，b3，bn的任意一個(gè)排列，則a1b1a2b2anbna1c1a2c2ancna1bna2bn1anb1，反序和與順序和相等的條件是_解析：反序和與順序和相等，則兩組數(shù)至少有一組相等答案：a1a2an或b1b2bn14設(shè)a，b，c為正數(shù)，且a2b3c13，求的最大值為_(kāi)解析：(a2b3c)2()2，()2.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)又a2b3c13，a9，b，c時(shí)，有最大值.答案：三、解答題(本大題共4小題，共50分解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)15(本小題滿分12分)已知實(shí)數(shù)a，b，c，d滿足abcd3，a22b23c26d25，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解：由柯西不等式，得：(2b23c26d2)(bcd)2，即2b23c26b2(bcd)2.由條件可得5a2(3a)2，解得1a2.所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為1,216(本小題滿分12分)求函數(shù)y的最大值解：由1sin x0,4sin x10，得sin x1，則y22(14)，即y，當(dāng)且僅當(dāng)4(1sin x)sin x，即sin x時(shí)等號(hào)成立，所以函數(shù)y的最大值為.17(本小題滿分12分)設(shè)a1，a2，an是1,2，n的一個(gè)排列，求證：.證明：設(shè)b1，b2，bn1是a1，a2，an1的一個(gè)排列，且b1b2bn1；c1，c2，cn1是a2，a3，an的一個(gè)排列，且c1c2且b11，b22，bn1n1，c12，c23，cn1n.利用排序不等式，有.原不等式成立18(本小