廣義Vandermonde行列式.doc

安慶師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院2008屆畢業(yè)論文廣義Vandermonde行列式作者：袁敏 指導(dǎo)老師：舒阿秀摘要 Vandermonde行列式是行列式的一種特殊形式，而廣義Vandermonde行列式是Vandermonde行列式的一種推廣形式，在實(shí)際應(yīng)用中占有十分重要的地位，如在Hermite插值問題適定性證明等問題中都可以用到它. 本文主要在Vandermonde 行列式基礎(chǔ)上介紹廣義Vandermonde 行列式及其性質(zhì)、計(jì)算與應(yīng)用，并在此基礎(chǔ)上加以適當(dāng)推廣，介紹增次廣義Vandermonde 矩陣的含義和一些相關(guān)性質(zhì).關(guān)鍵詞 Vandermonde 行列式 廣義Vandermonde 行列式 增次廣義Vandermonde 矩陣1引言在高等代數(shù)中，行列式是一個(gè)極其重要的概念，而Vandermonde 行列式又是行列式的一種特殊形式，目前許多文獻(xiàn)都對(duì)它進(jìn)行了廣泛的研究并得到了許多豐富的成果. 本文主要在Vandermonde 行列式的基礎(chǔ)上對(duì)廣義Vandermonde 行列式及其性質(zhì)、應(yīng)用等進(jìn)行一些歸納和討論.1.1 Vandermonde 行列式的定義稱形如 (1.1)的行列式為級(jí)范德蒙德（Vandermonde）行列式.1.2 性質(zhì)任意的級(jí)范德蒙德行列式等于這個(gè)數(shù)的所有可能的差的乘積. 用連乘號(hào)，這個(gè)結(jié)果可以簡(jiǎn)寫成由這個(gè)結(jié)果立即得出，Vandermonde行列式為零的充分必要條件是這個(gè)數(shù)中至少有兩個(gè)相等.2 廣義Vandermonde 行列式2.1 定義設(shè)維向量,它對(duì)的一階導(dǎo)數(shù)為 （2.1）同樣可以定義對(duì)的階導(dǎo)數(shù)，顯然，當(dāng)時(shí)，是零向量，令 （2.2）考慮如下的Vandermonde型的階矩陣 （2.3）這里.顯然，當(dāng)時(shí)，是階方陣.當(dāng)在（2.3）式中不出現(xiàn)時(shí)，約定，這里仍寫成 （2.4）顯然，行列式是通常的Vandermonde行列式的一種推廣，即當(dāng)時(shí)，有.以下稱為廣義Vandermonde行列式.2.2 性質(zhì)定理 設(shè)，則有 （2.5）證明 將的第列各乘以，然后分別加到第列，并按第1行展開得到一個(gè)階行列式，設(shè)為，也即（是階）顯然的第一行是維向量， 的第二行是， 的第三行是， 的第行是.從而知的前行是，又易知是的第行各元素的公因子，故第行可變成（將提到行列式的外邊相乘）：.再把第行乘以加到第行上去，得第行為它也有公因子，也提到行列式外邊相乘，這時(shí)，第行變成 .再把第行乘以加到第行，于是第行變成為，它也有公因子，可提到行列式外邊相乘，這時(shí)，第行變?yōu)?，這樣一直進(jìn)行到第行（共次）為，而提出到行列式外面的因子為，同理，可依次得到的其余行，最后得出即有 （2.6）反復(fù)用（2.6）式即得（2.5）式：于是定理得證.2.3 應(yīng)用在Hermite插值問題適定性的證明中將用到廣義Vandermonde行列式，下面我們將介紹這個(gè)應(yīng)用.首先，我們陳述一下Hermite插值問題.對(duì) ,設(shè)是第個(gè)插值結(jié)點(diǎn),且個(gè)結(jié)點(diǎn)互異；設(shè)是關(guān)于第個(gè)結(jié)點(diǎn)的插值重度，記為關(guān)于第個(gè)結(jié)點(diǎn)階導(dǎo)數(shù)的任意給定參數(shù)，確定滿足條件：的一元次多項(xiàng)式，其中，且稱上條件為Hermite插值條件；稱滿足Hermite插值條件的一元次多項(xiàng)式為Hermit插值多項(xiàng)式.現(xiàn)在我們給出Hermite插值問題的直觀性證明.定理2.11 Hermit插值多項(xiàng)式是存在唯一的.證明 記一元多項(xiàng)式為，其中為待定系數(shù)，利用上Hermite插值條件可得如下關(guān)于待定系數(shù)的方程組顯然上方程組的系數(shù)矩陣為廣義Vandermonde矩陣，利用定理2.1由插值結(jié)點(diǎn)互異知，廣義Vandermonde行列式不等于0，從而上方程組的解存在且唯一.定理2.2 Hermit插值多項(xiàng)式可表為其中.證明 參見文獻(xiàn)1.另外，在圖書流通管理中可應(yīng)用廣義范德蒙德（Vandermonde）行列式的縱向思維過程；關(guān)于WJ-AVE5數(shù)字特技機(jī)在電視節(jié)目制作過程中的使用可應(yīng)用廣義范德蒙德（Vandermonde）行列式的統(tǒng)計(jì)運(yùn)算功能；目前許多行業(yè)，如飼料工業(yè)上的應(yīng)用、肉堿在畜禽水產(chǎn)養(yǎng)殖上的應(yīng)用、計(jì)算機(jī)應(yīng)用基礎(chǔ)課程教學(xué)模式的探討、計(jì)算機(jī)輔助教學(xué)課件的應(yīng)用分析等等，都在利用數(shù)學(xué)模擬計(jì)算方法包括廣義范德蒙德（Vandermonde）行列式在內(nèi)的一系列的基礎(chǔ)數(shù)學(xué)理論，以精確的理論數(shù)據(jù)進(jìn)行可維護(hù)的實(shí)踐操作. 另外上定理可將控制論中許多關(guān)于的計(jì)算得到簡(jiǎn)化.3 增次廣義Vandermonde行列式3.1 定義對(duì)于第2節(jié)中給出的廣義范德蒙德行列式的定義（2.4），若去掉的第列，而在末尾增加諸次數(shù)順序?yàn)榈牧?，則所得矩陣稱為增次廣義Vandermonde矩陣，記為3.2性質(zhì)Laplace定理的引理 行列式的任一階子式與它的代數(shù)余子式的乘積中的每一項(xiàng)都是的一項(xiàng)，而且符號(hào)一致.定理3.1 . （3.1）證明 是的按最后一行展開式中項(xiàng)的系數(shù)，而.再由韋達(dá)定理知中的系數(shù)為，所以.化簡(jiǎn)即得（3.1）式.推論3.1 .推論3.2 當(dāng)時(shí)，有：，且僅當(dāng)時(shí)，有.推論3.3 若，則的秩為.推論3.4 若，則的秩為.推論3.5 若時(shí)，的秩為.推論3.6 若時(shí),的秩為.定理3.2 .證明 設(shè)按最后兩行展開后，的系數(shù)為，則從而.注意到,展開式中的系數(shù)分別為；而展開式中的系數(shù)分別為，于是中的系數(shù)是.由Laplace定理的引理知：化簡(jiǎn)上式即得定理成立.推論3.7 若，則的秩為.3.3 計(jì)算例1 計(jì)算.解 .是的按最后一行展開式中項(xiàng)系數(shù)，得例2 計(jì)算.解 是的按最后兩行展開中項(xiàng)系數(shù)，得中的系數(shù)為，的系數(shù)為，所以.結(jié) 束 語(yǔ)本文主要在Vandermonde行列式的基礎(chǔ)上對(duì)廣義Vandermonde行列式的概念、性質(zhì)及其應(yīng)用等加以歸納和討論，并在此基礎(chǔ)上適當(dāng)推廣，討論了增次廣義Vandermonde行列式的含義、性質(zhì)與計(jì)算. 由于廣義Vandermonde行列式的應(yīng)用較為廣泛，目前在這方面的研究已經(jīng)取得了豐碩的成果，對(duì)此本文不再深入討論.參考文獻(xiàn)1 盛中平. 林正華, 廣義Vandermonde行列式及其應(yīng)用J，高等學(xué)校計(jì)算數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，3（1996），217-225.2 邱建霞. 吳康，廣義Vandermonde行列式的再推廣J，西華師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，25：3（2004），328-332.3 王向東,，廣義Vandermonde行列式J，佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院報(bào)，19：1（2001），1-4.4 邱建霞，增次廣義Vandermonde行列式J，大學(xué)數(shù)學(xué)，21：3（2005），85-90.5 邱建霞，增次廣義Vandermonde行列式的計(jì)算J，高等數(shù)學(xué)研究，9：1（2006），19-21.6 普豐山. 陳軍，廣義Vandermonde行列式及其應(yīng)用J，河南科學(xué)，24：5（2006），26-28.7 SEYMOURL Inpschut. Schaums outline of Theory and problems of Linear Algebra M. McGraw 2 Hill Book Company, 1968Generalized Vandermonde DeterminantAuthor: Yuan Min Supervisor: Shu AxiuAbstract: Vandermonde determinant is a special determinant, and generalized Vandermonde determinant is promotion of Vandermonde determinant which is important in practical application. For instance, it can be used to solve the question of qualitative property of Hermit interpolation. In this paper , we introduced the property , calculation and application of generalized Vandermonde determinant, extended appropriately ,and introduced the definition and property of generalized ad