《多元函數(shù)極值》PPT課件.ppt

多元函數(shù)的極值,一、多元函數(shù)極值的概念,二、最值問題,三、條件極值,第九章,第八節(jié),一、 多元函數(shù)的極值,定義: 若函數(shù),則稱函數(shù)在該點(diǎn)取得極大值(極小值).,極大值和極小值,統(tǒng)稱為極值,使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn).,的某鄰域內(nèi)有,說明,(1)函數(shù)的極值點(diǎn)必須是函數(shù)定義域的內(nèi)點(diǎn).,(2)極值的概念可以推廣到一般的多元函數(shù).,例1,例2,例3,說明: 使偏導(dǎo)數(shù)都為 0 的點(diǎn)稱為駐點(diǎn) .,例如,定理1 (必要條件),函數(shù),偏導(dǎo)數(shù),證:,據(jù)一元函數(shù)極值的必要條件可知定理結(jié)論成立.,取得極值 ,取得極值,取得極值,但駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn).,有駐點(diǎn)( 0, 0 ),但在該點(diǎn)不取極值.,且在該點(diǎn)取得極值 ,則有,存在,故,處的切平面方程為,由可微函數(shù)取極值的必要條件：,此時(shí), 切平面平行于 xy 平面.,下面看看函數(shù)極值的幾何意義,故切平面方程實(shí)際為,時(shí), 具有極值,定理2 (充分條件),的某鄰域內(nèi)具有一階和二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 且,令,則: 1) 當(dāng),A0 時(shí)取極大值;,A0 時(shí)取極小值.,2) 當(dāng),3) 當(dāng),證明見 第九節(jié)(P122) .,時(shí), 沒有極值.,時(shí), 不能確定 , 需另行討論.,若函數(shù),例4.,求函數(shù),解: 第一步 求駐點(diǎn).,得駐點(diǎn): (1, 0) , (1, 2) , (3, 0) , (3, 2) .,第二步 判別.,在點(diǎn)(1,0) 處,為極小值;,解方程組,的極值.,求二階偏導(dǎo)數(shù),在點(diǎn)(3,0) 處,不是極值;,在點(diǎn)(3,2) 處,為極大值.,在點(diǎn)(1,2) 處,不是極值;,極值點(diǎn)和駐點(diǎn)的關(guān)系,(1)極值點(diǎn)可能是駐點(diǎn),(2)極值點(diǎn)可能不是駐點(diǎn),(3)駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn),例1,先求開區(qū)域內(nèi)的極值，再求區(qū)域邊界上的極值，從中選取最值.,提示與分析:,2005年考研,解,唯一駐點(diǎn),例2.,解: 設(shè)水箱長,寬分別為 x , y m ,則高為,則水箱所用材料的面積為,令,得駐點(diǎn),某廠要用鐵板做一個(gè)體積為2,根據(jù)實(shí)際問題可知最小值在定義域內(nèi)應(yīng)存在,的有蓋長方體水,問當(dāng)長、寬、高各取怎樣的尺寸時(shí), 才能使用料最省?,因此可,斷定此唯一駐點(diǎn)就是最小值點(diǎn).,即當(dāng)長、寬均為,高為,時(shí), 水箱所用材料最省.,例3. 有一寬為 24cm 的長方形鐵板 ,把它折起來做成,解: 設(shè)折起來的邊長為 x cm,則斷面面積,一個(gè)斷面為等腰梯形的水槽,傾角為 ,積最大.,為,問怎樣折法才能使斷面面,令,解得:,由題意知,最大值在定義域D 內(nèi)達(dá)到,而在域D 內(nèi)只有,一個(gè)駐點(diǎn),故此點(diǎn)即為所求.,三、條件極值,極值問題,無條件極值:,條 件 極 值 :,條件極值的求法:,方法1 代入法.,求一元函數(shù),的無條件極值問題,對(duì)自變量只有定義域限制,對(duì)自變量除定義域限制外,還有其它條件限制,例如 ,方法2 拉格朗日乘數(shù)法.,如方法 1 所述 ,則問題等價(jià)于一元函數(shù),可確定隱函數(shù),的極值問題,極值點(diǎn)必滿足,設(shè),記,例如,故,故有,引入輔助函數(shù),輔助函數(shù)F 稱為拉格朗日( Lagrange )函數(shù).,利用拉格,極值點(diǎn)必滿足,則極值點(diǎn)滿足:,朗日函數(shù)求極值的方法稱為拉格朗日乘數(shù)法.,3. 根據(jù)實(shí)際問題的性質(zhì)判斷可疑極值點(diǎn)究竟是不是 極值點(diǎn).,拉格朗日乘數(shù)法,求 z = f (x, y) 在附加條件 (x, y)=0 下的極值.,1. 作拉格朗日函數(shù),2. 求解方程組,解出 x, y, , 則點(diǎn) (x, y) 就是可疑極值點(diǎn).,問題：,推廣,拉格朗日乘數(shù)法可推廣到多個(gè)自變量和多個(gè)約束條件的情形.,設(shè),解方程組,可得到條件極值的可疑點(diǎn) .,例如, 求函數(shù),下的極值.,在條件,作拉格朗日函數(shù),解,例1,例2.,要設(shè)計(jì)一個(gè)容量為,則問題為求x , y ,令,解方程組,解: 設(shè) x , y , z 分別表示長、寬、高,下水箱表面積,最小.,z 使在條件,水箱長、寬、高等于多少時(shí)所用材料最省？,的長方體開口水箱, 試問,得唯一駐點(diǎn),由題意可知合理的設(shè)計(jì)是存在的,長、寬為高的 2 倍時(shí)，所用材料最省.,因此 , 當(dāng)高為,思考:,1) 當(dāng)水箱封閉時(shí), 長、寬、高的尺寸如何?,提示: 利用對(duì)稱性可知,2) 當(dāng)開口水箱底部的造價(jià)為側(cè)面的二倍時(shí), 欲使造價(jià),最省, 應(yīng)如何設(shè)拉格朗日函數(shù)? 長、寬、高尺寸如何?,提示:,長、寬、高尺寸相等 .,下面舉一例說明常見的解方程組的技巧.,例3,求函數(shù),在約束條件,下的極值.,(下面僅就解此方,程組的方法進(jìn)行討論, 不具體求出極值),解,作拉格朗日函數(shù),用拉格朗日乘數(shù)法求條件極值,根據(jù)極值必要,條件求解方程組的解即求駐點(diǎn),此方程組一般都是,非線性的,解法的技巧性較高,需視具體方程組的特,征采用特殊的處理方法.,解方程組,方法一,注意到前三個(gè)方程的第一項(xiàng)均是x, y, z,三個(gè)變量中兩個(gè)的乘積,如果將各方程乘以相應(yīng)缺,少的那個(gè)變量,那么就都成為xyz,再消項(xiàng).,即,(a),乘以x得:,乘以y得:,(b),乘以z得:,(c),(a) + (b) + (c)得:,(d),把方程組中的第四個(gè)方程代入(d),得,再把(e)分別代入(a), (b), (c)式便得,(e),方法二,因x, y, z 都不等于0,上兩式相除,立即消去,得到,改寫為,改寫為,同理對(duì)方程組中的第二,三個(gè)方程作類似,得到,從而,處理,再代入方程組中的,第四個(gè)方程,便得,方法三,先解出,把方程組的第四個(gè)方程代入(d)式,得,再把,分別代入方程組的第一,二,三個(gè)方程中便得,內(nèi)容小結(jié),1. 函數(shù)的極值問題,第一步 利用必要條件在定義域內(nèi)找駐點(diǎn).,即解方程組,第二步 利用充分條件 判別駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn) .,2. 函數(shù)的條件極值問題,(1) 簡單問題用代入法,如對(duì)二元函數(shù),(2) 一