《二節(jié)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算》PPT課件.pptVIP

第二節(jié) 導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算,一、基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式 二、導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則 三、反函數(shù)的求導(dǎo)法則 四、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 五、隱函數(shù)的求導(dǎo)法則 六、由參數(shù)方程確定的函數(shù)的求導(dǎo)法則 七、對數(shù)求導(dǎo)法,一、基本的初等函數(shù)的求導(dǎo)公式,二、導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則,定理2.2 設(shè)u=u(x),v=v(x)可導(dǎo)，則 可導(dǎo)，且有,證 設(shè)自變量在x取得增量 時(shí)，函數(shù)u，v分別取得增量,于是,此定理可以推廣到有限個(gè)函數(shù)相加減的情況.例如，若u,v,w分別可導(dǎo)，則,因此,定理2.3 設(shè)u=u(x),v=v(x)可導(dǎo)，則 可導(dǎo)，且有,證 設(shè)自變量在x取得增量 時(shí)，函數(shù)u，v分別取得增量 ，則,此定理可以推廣到有限個(gè)函數(shù)相乘的情況，例如u，v，w分別可導(dǎo)，則,由定理3.3容易得到一個(gè)重要的結(jié)論：若u可導(dǎo)，c為常數(shù)，則 . 即求導(dǎo)時(shí)，常數(shù)因子可以提出來.,定理2.4 設(shè)u=u(x),v=v(x)可導(dǎo)，且 ，則 可導(dǎo)，且有,證 設(shè)自變量在x取得增量 時(shí)，函數(shù)u，v分別取得增量 ，則,因此,例1,解,例2,解,例3 用四則運(yùn)算法則證明基本初等求導(dǎo)公式：,解,同樣可以得到另外兩個(gè)基本公式：,解,例4,例5 設(shè)f(x)=(1+x)(1+2x) (1+10x)，求 .,解,三、反函數(shù)的求導(dǎo)法則,定理2.5 設(shè)函數(shù) 在某區(qū)間內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)、可導(dǎo)，且 ，則其反函數(shù)y=f(x)在相應(yīng)區(qū)間內(nèi)也嚴(yán)格單調(diào)且可導(dǎo)，且有,證 因?yàn)?在某區(qū)間內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)、連續(xù)，而嚴(yán)格單調(diào)連續(xù)的反函數(shù)也是嚴(yán)格單調(diào)連續(xù)的.,所以當(dāng) 時(shí),且x0時(shí), y0,故,例6 證明：,證 內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)、連續(xù)，且,所以其反函數(shù)y=f(x)=arcsin x在(1,1)內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)、連續(xù)、可導(dǎo)，且有,同樣可得,當(dāng)然，如果得到了arcsin x 的導(dǎo)數(shù)，也可以用下面的方法得到arccos x的導(dǎo)數(shù)，即,例7 證明：,所以其反函數(shù)y=f(x)=arctan x在 內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)，連續(xù)，可導(dǎo)，且有,同樣也可得,證 在內(nèi) 嚴(yán)格單調(diào)、連續(xù)，且 ，,四、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則,定理2.6 設(shè)u=g(x)在x可導(dǎo)，y=f(u)在相應(yīng)點(diǎn)u=g(x)可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)y=f(g(x)在x可導(dǎo)，且有,證 由 得到,當(dāng) 時(shí)，由u=g(x)可導(dǎo)知u=g(x)連續(xù)，,復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則一般稱為鏈?zhǔn)椒▌t，它也適用于多層復(fù)合的情況.比如y=f(u)，u=g(v)，v=h(x)，則只要滿足相應(yīng)的條件，復(fù)合函數(shù)y=f(g(h(x)就可導(dǎo)，且有,此時(shí)必有 或者 .因而總有 .故,例8 設(shè)y=sin3 x，求 .,解 令,例9 設(shè)y=ln(cos x)，求 .,解 令,例10 設(shè),解 令,例11 設(shè),解 令 則,例12 設(shè),解,例13 設(shè)y=ln(x+tan x)，求 .,解,例14,解,例15 計(jì)算,若完全掌握了復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t，那么在對初等函數(shù)求導(dǎo)時(shí)，就可以“一步到位”.,解,例16,解,例17,解,例18 一人以2米/秒的速度通過一座高為20米的橋，在此人的正下方有一小船以 米/秒的速度與橋垂直方向前進(jìn)，求第5秒末人與小船的分離速度.,兩端關(guān)于t求導(dǎo)，得,則,即所求的分離速度為 米/秒.,五、隱函數(shù)的求導(dǎo)法則,自變量x和因變量y是通過一個(gè)方程建立起函數(shù)關(guān)系.比如 建立了x和y之間的關(guān)系，此時(shí)對應(yīng)規(guī)則是對x在允許范圍內(nèi)的每一個(gè)值，y將以方程的解與之對應(yīng)，這種函數(shù)稱為隱函數(shù).,隱函數(shù)一般可用F(x,y)=0表示.現(xiàn)在的問題是通過方程F(x,y)=0確定了y是x的函數(shù)，如何來求 .容易看出：“先將形式隱函數(shù)顯化，然后再求導(dǎo)”不是一個(gè)好的辦法，因?yàn)閷㈦[函數(shù)顯化，即將其變成顯函數(shù)形式一般是非常困難的，甚至是不可能的.對于隱函數(shù)求,導(dǎo)，可以采用這樣的方法：首先在等式兩邊對x求導(dǎo),遇到y(tǒng)時(shí)將其認(rèn)作中間變量，利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，得到含 的方程，解出 即可.,例19 設(shè)y=y(x)由 確定，求 .,解 兩邊對x求導(dǎo)，得,解方程得,例20 求隱函數(shù) 的導(dǎo)數(shù),解,例21 求橢圓曲線 處的切線方程和法線方程.,解,切線斜率,法線斜率,所以切線方程為,法線方程為,六、由參數(shù)方程確定的函數(shù)的求導(dǎo)法則,若將由參數(shù)方程 所確定的函數(shù)看成復(fù)合函數(shù)： ，則由復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，有,例22 設(shè),解,例23 設(shè),解,例24 求曲線 在t=e處的切線方程和法線方程.,解,所以切線斜率,當(dāng)t=e時(shí)，x=e，y=e.,法線斜率,故切線方程為,法線方程為,例25 以速度v0,發(fā)射角發(fā)射炮彈,炮彈的運(yùn)動方程為,求:(1)炮彈在時(shí)刻t的運(yùn)動方向;(2)炮彈在時(shí)刻t的速度.,解 (1)炮彈在時(shí)刻t的運(yùn)動方向就是炮彈運(yùn)動軌跡在時(shí)刻t的切線方向，所以只需求出切線的斜率,(2)炮彈在時(shí)刻t沿x軸方向的分速度為,沿y軸方向的分速度為,故炮彈在時(shí)刻t的速率為,七、對數(shù)求導(dǎo)法,在求導(dǎo)運(yùn)算中，常會遇到下列兩類函數(shù)的求導(dǎo)問題，一類是冪指函數(shù)，即形如 的函數(shù)，一類是一系列函數(shù)的乘、除、乘方、開方所構(gòu)成的函數(shù).,