用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征.ppt

用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征,情境一:,某農(nóng)場種植了甲、乙兩種玉米苗，從中各抽取了10株，分別測得它們的株高如下（單位：厘米）：,甲： 25 41 40 37 22 14 19 39 21 42,乙： 27 16 44 27 44 16 40 40 16 40,分析：,欲比較哪種玉米苗長得高，可以比較一下它們的平均高 ！,反映了總體的 某種特征,總體特征數(shù),30,31,總體特征數(shù)：,通常把能反映總體某種特征的量稱為總體特征數(shù),如何反映總體的特征數(shù)？,用樣本的特征數(shù)估計(jì)總體的特征數(shù)！,情境二:,在利用單擺檢驗(yàn)重力加速度的實(shí)驗(yàn)中，全班同學(xué)在相同的條件下進(jìn)行測試，得到下列數(shù)據(jù)（單位：m/s),9.62 9.54 9.78 9.94 10.01 9.66 9.88 9.68 10.32,9.76 9.45 9.99 9.81 9.56 9.78 9.72 9.93 9.94,9.65 9.79 9.42 9.68 9.70 9.84 9.90,怎樣利用這些數(shù)據(jù)對重力加速度進(jìn)行估計(jì)？,平均數(shù),為什么呢？,問題轉(zhuǎn)化為：,實(shí)驗(yàn)結(jié)果測得一組數(shù)據(jù)為,用 作為重力加速度“最理想的”近似值，依據(jù)是什么呢？,算術(shù)平均數(shù),=,=,讀作： 平均,處理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的原則是使這個(gè)近似值與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)之間的離差（偏差）最小、設(shè)近似值為x，則它與n個(gè)實(shí)驗(yàn)值 ai（i1，2，3，n）的離差分別為 x-a1,x-a2,x-an,平均數(shù)最能代表一個(gè)樣本數(shù)據(jù)的集中趨勢，也就是說它與樣本數(shù)據(jù)的離差最小。,稱為這n個(gè)數(shù)的 平均數(shù)或者均值,一 眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的概念,中數(shù)：將一組數(shù)據(jù)按大小依次排列，把處在最中間位置的一個(gè)數(shù)據(jù)（或最中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)）叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù),眾數(shù)：在一組數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù),眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)都是描述一組數(shù)據(jù)的集中趨勢的特征數(shù)，只是描述的角度不同，其中以平均數(shù)的應(yīng)用最為廣泛.,注： 若有兩個(gè)或幾個(gè)數(shù)據(jù)出現(xiàn)的最多，且出現(xiàn)的次數(shù)一樣，這些數(shù)據(jù)都是這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)；若一組數(shù)據(jù)中，每個(gè)數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù)一樣多，則認(rèn)為這組數(shù)據(jù)沒有眾數(shù)。 樣本數(shù)據(jù)不一定有眾數(shù)，有眾數(shù)則不一定只有一個(gè),中位數(shù)怎么求？,1、求下列各組數(shù)據(jù)的眾數(shù),（1）、1 ，2，3，3，3，5，5，8，8，8，9，9,眾數(shù)是：3和8,（2）、1 ，2，3，3，3，5，5，8，8，9，9,眾數(shù)是：3,2、求下列各組數(shù)據(jù)的中位數(shù),（1）1 ，2，3，3，3，4，6，8，8，8，9，9,（2）1 ，2，3，3，3，4，8，8，8，9，9,中位數(shù)是：5,中位數(shù)是：4,平均數(shù): 一組數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù),即 x=,練習(xí): 在一次中學(xué)生田徑運(yùn)動(dòng)會(huì)上，參加男子跳高的17名運(yùn)動(dòng)員的成績?nèi)缦卤硭荆?分別求這些運(yùn)動(dòng)員成績的眾數(shù)，中位數(shù)與平均數(shù),平均數(shù): 一組數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù),即 x=,解：在17個(gè)數(shù)據(jù)中，1.75出現(xiàn)了4次，出現(xiàn)的次數(shù)最多，即這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是1.75 上面表里的17個(gè)數(shù)據(jù)可看成是按從小到大的順序排列的，其中第9個(gè)數(shù)據(jù)1.70是最中間的一個(gè)數(shù)據(jù)，即這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是1.70；,這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是,答：17名運(yùn)動(dòng)員成績的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)依次是1.75（米）、1.70（米）、1.69（米）.,加權(quán)平均值,（用頻率計(jì)算平均值）,一般地，若取值為 ， 出現(xiàn)的次數(shù)分別為 ，設(shè)頻率為,則其加權(quán)平均數(shù)為,其中,例3：由下表計(jì)算學(xué)生平均日睡眠時(shí)間,0.5,2.5,2,1.5,1,4,3.5,3,4.5,頻率 組距,思考：小長方形面積、對應(yīng)這個(gè)組的頻率、這個(gè)組占的比例的關(guān)系。,二 、 眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)與頻率分布直方圖的關(guān)系,1、眾數(shù)在樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖中，就是最高矩形的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)。 例如，在上一節(jié)調(diào)查的100位居民的月均用水量的問題中，從這些樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖可以看出，月均用水量的眾數(shù)是2.25t.如圖所示：,0.5,2.5,2,1.5,1,4,3.5,3,4.5,頻率 組距,2.25,0.5,2.5,2,1.5,1,4,3.5,3,4.5,頻率 組距,0.04,0.08,0.15,0.22,0.25,0.14,0.06,0.04,0.02,提示：中位數(shù)左邊的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)與右邊的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)是相等的。,0.5,2.5,2,1.5,1,4,3.5,3,4.5,頻率 組距,0.04,0.08,0.15,0.22,0.25,0.14,0.06,0.04,0.02,前四個(gè)小矩形的面積和=0.49,后四個(gè)小矩形的面積和=0.26,2.02,歸納總結(jié)得： 在樣本中，有50的個(gè)體小于或等于中位數(shù)，也有50的個(gè)體大于或等于中位數(shù)，因此，在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積應(yīng)該相等，由此可以估計(jì)中位數(shù)的值。在這個(gè)頻率分布直方圖中，左邊的直方圖的面積代表50個(gè)單位，右邊的直方圖也是代表50個(gè)單位，它們的分界線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是中位數(shù)。中位數(shù)在樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖中，就是把頻率分布直方圖劃分左右兩個(gè)面積相等的分界線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。,思考討論以下問題： 1、2.02這個(gè)中位數(shù)的估計(jì)值，與樣本的中位數(shù)值2.0不一樣，你能解釋其中原因嗎？,答：2.02這個(gè)中位數(shù)的估計(jì)值,與樣本的中位數(shù)值2.0不一樣，這是因?yàn)闃颖緮?shù)據(jù)的頻率分布直方圖，只是直觀地表明分布的形狀，但是從直方圖本身得不出原始的數(shù)據(jù)內(nèi)容，直方圖已經(jīng)損失一些樣本信息。所以由頻率分布直方圖得到的中位數(shù)估計(jì)值往往與樣本的實(shí)際中位數(shù)值不一致.,0.5,2.5,2,1.5,1,4,3.5,3,4.5,頻率 組距,0.04,0.08,0.15,0.22,0.25,0.14,0.06,0.04,0.02,提示：在頻率分布直方圖中,各個(gè)組的平均數(shù)如何找？,0.5,2.5,2,1.5,1,4,3.5,3,4.5,頻率 組距,0.04,0.08,0.15,0.22,0.25,0.14,0.06,0.04,0.02,.,.,.,.,.,.,.,.,.,0.75,1.75,2.25,2.75,3.25,3.75,4.25,1.25,0.5,提示：與小長方形面積的比例有關(guān)嗎？,總結(jié)歸納得： 平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”，是直方圖的平衡點(diǎn)。 先找出每個(gè)小長方形的“重心”，即每小組的平均數(shù)，再按比例算出直方圖的平均數(shù)。 平均數(shù)在樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖中，等于頻率分布圖中每個(gè)小長方形面積乘以小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和。,思考討論以下問題： 2、樣本中位數(shù)不受少數(shù)極端值的影響，這在某些情況下是一個(gè)優(yōu)點(diǎn)，但它對極端值的不敏感有時(shí)也會(huì)成為缺點(diǎn)。你能舉例說明嗎？,答：優(yōu)點(diǎn)：對極端數(shù)據(jù)不敏感的方法能夠有效地預(yù)防錯(cuò)誤數(shù)據(jù)的影響。 對極端值不敏感有利的例子:例如當(dāng)樣本數(shù)據(jù)質(zhì)量比較差，即存在一些錯(cuò)誤數(shù)據(jù)（如數(shù)據(jù)錄入錯(cuò)誤、測量錯(cuò)誤等）時(shí)，用抗極端數(shù)據(jù)強(qiáng)的中位數(shù)表示數(shù)據(jù)的中心值更準(zhǔn)確。,三 三種數(shù)字特征的優(yōu)缺點(diǎn),1、眾數(shù)體現(xiàn)了樣本數(shù)據(jù)的最大集中點(diǎn)，但它對其它數(shù)據(jù)信息的忽視使得無法客觀地反映總體特征.如上例中眾數(shù)是2.25t,它告訴我們,月均用水量為2.25t的居民數(shù)比月均用水量為其它數(shù)值的居民數(shù)多,但它并沒有告訴我們多多少.,2、中位數(shù)是樣本數(shù)據(jù)所占頻率的等分線，它不受少數(shù)幾個(gè)極端值的影響，這在某些情況下是優(yōu)點(diǎn)，但它對極端值的不敏感有時(shí)也會(huì)成為缺點(diǎn)。如上例中假設(shè)有某一用戶月均用水量為10t，那么它所占頻率為0.01,幾乎不影響中位數(shù),但顯然這一極端值是不能忽視的。,3、由于平均數(shù)與每一個(gè)樣本的數(shù)據(jù)有關(guān)，所以任何一個(gè)樣本數(shù)據(jù)的改變都會(huì)引起平均數(shù)的改變，這是眾數(shù)、中位數(shù)都不具有的性質(zhì)。也正因如此 ，與眾數(shù)、中位數(shù)比較起來，平均數(shù)可以反映出更多的關(guān)于樣本數(shù)據(jù)全體的信息，但平均數(shù)受數(shù)據(jù)中的極端值的影響較大，使平均數(shù)在估計(jì)時(shí)可靠性降低。,思考討論以下問題： 3、“用數(shù)據(jù)說話”，這是我們經(jīng)常聽到的一句話。但是，數(shù)據(jù)有時(shí)也會(huì)被利用，從而產(chǎn)生誤導(dǎo)。例如，一個(gè)企業(yè)中，絕大多數(shù)人是一線工人，他們的年收入可能是一萬元左右，另有一些經(jīng)理層次的人，年收入過到幾十萬元。這時(shí)年收入的平均數(shù)比中位數(shù)大得多。盡管這時(shí)的中位數(shù)比平均數(shù)更合理些，但是這個(gè)企業(yè)的老板到人力市場去招聘工人時(shí)，也許更可能用平均數(shù)來回答有關(guān)工次待遇的指問。 你認(rèn)為“我們單位的收入水平比別的單位高”這句話應(yīng)當(dāng)怎么解釋？,答: 我認(rèn)為這句話是這樣解釋的：這個(gè)企業(yè)的老板以員工平均工資收入水平去描述他們單位的收入情況。我覺得這是不合理的，因?yàn)檫@些員工當(dāng)中，少數(shù)經(jīng)理層次的收入與大多數(shù)一般員工收入的差別比較大，所以平均數(shù)不能反映該單位員工的收入水平。這個(gè)老板的話有誤導(dǎo)與蒙騙行為。,課后練習(xí) 假設(shè)你是一名交通部門的工作人員，你打算向市長報(bào)告國家對本市26個(gè)公路項(xiàng)目投資的平均資金數(shù)額，其中一條新公路的建設(shè)投資為2000萬元人民幣，另外25個(gè)項(xiàng)目的投資是20100萬元。中位數(shù)是25萬元，平均數(shù)是100萬元，眾數(shù)是20萬元。你會(huì)選擇哪一種數(shù)據(jù)特征來表示國家對每一個(gè)項(xiàng)目投資的平均金額？你選擇這種數(shù)字特征的缺點(diǎn)是什么？,答： 這里應(yīng)該采用平均數(shù)來表示每一個(gè)國家項(xiàng)目的平均金額，因?yàn)檫@能反映所有項(xiàng)目的信息。但平均數(shù)會(huì)受到極端數(shù)據(jù)2000萬元的影響，所以大多數(shù)項(xiàng)目投資金額都和平均數(shù)相差比較大。,四 眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的簡單應(yīng)用,例 某工廠人員及工資構(gòu)成如下：,（1）指出這個(gè)問題中周工資的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù),（2）這個(gè)問題中，工資的平均數(shù)能客觀地反映該廠的工資水平嗎？為什么？,分析：眾數(shù)為200，中位數(shù)為220，平均數(shù)為300。 因平均數(shù)為300，由表格中所列出的數(shù)據(jù)可見，只有經(jīng)理在平均數(shù)以上，其余的人都在平均數(shù)以下，故用平均數(shù)不能客觀真實(shí)地反映該工廠的工資水平。,標(biāo)準(zhǔn)差,平均數(shù)向我們提供了樣本數(shù)據(jù)的重要信息,但是平均有時(shí)也會(huì)使我們作出對總體的片面判斷因?yàn)檫@個(gè)平均數(shù)掩蓋了一些極端的情況，而這些極端情況顯然是不能忽的因此，只有平均數(shù)還難以概括樣本數(shù)據(jù)的實(shí)際狀態(tài),如：有兩位射擊運(yùn)動(dòng)員在一次射擊測試中各射靶10次，每次命中的環(huán)數(shù)如下：,甲： ,乙： ,如果你是教練,你應(yīng)當(dāng)如何對這次射擊作出評價(jià)?,如果看兩人本次射擊的平均成績,由于,兩人射擊 的平均成績是一樣的.那么兩個(gè)人的水平就沒有什么差異嗎?,2.標(biāo)準(zhǔn)差,4,5,6,7,8,9,10,環(huán)數(shù),頻率,0.1,0.2,0.3,(甲),4,5,6,7,8,9,10,0.1,0.2,0.3,0.4,環(huán)數(shù),頻率,(乙),直觀上看,還是有差異的.如:甲成績比較分散,乙成績 相對集中(如圖示).因此,我們還需要從另外的角度來考察這兩組數(shù)據(jù).例如:在作統(tǒng)計(jì)圖,表時(shí)提到過的極差. 甲的環(huán)數(shù)極差=10-4=6 乙的環(huán)數(shù)極差=9-5=4. 它們在一定程度上表明了樣本數(shù)據(jù)的分散程度,與平均數(shù)一起,可以給我們許多關(guān)于樣本數(shù)據(jù)的信息.顯然,極差對極端值非常敏感,注意到這一點(diǎn),我們可以得到一種“去掉一個(gè)最高分,去掉一個(gè)最低分”的統(tǒng)計(jì)策略.,考察樣本數(shù)據(jù)的分散程度的大小，最常用的統(tǒng)計(jì)量是標(biāo)準(zhǔn)差 標(biāo)準(zhǔn)差是樣本平均數(shù)的一種平均距離，一般用s表示,由于上式含有絕對值，運(yùn)算不太方便，因此，通常改用如下公式來計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差,一個(gè)樣本中的個(gè)體與平均數(shù)之間的距離關(guān)系可用下圖表示:,考慮一個(gè)容量為2的樣本:,建構(gòu)數(shù)學(xué),因?yàn)榉讲钆c原始數(shù)據(jù)的單位不同，且 平方后可能夸大了離差的程度，我們 將方差的算術(shù)平方根稱為這組數(shù)據(jù)的 標(biāo)準(zhǔn)差,標(biāo)準(zhǔn)差：,標(biāo)準(zhǔn)差也可以刻畫數(shù)據(jù)的穩(wěn)定程度 方差和標(biāo)準(zhǔn)差的意義： 描述一個(gè)樣本和總體的波動(dòng)大小的特征數(shù)， 標(biāo)準(zhǔn)差大說明波動(dòng)大.,例題1:畫出下列四組樣本數(shù)據(jù)的直方圖,說明它們的異同點(diǎn).,解:四組樣本數(shù)據(jù)的直方圖是:,0.1,0.2,0.3,0.4,0.5,0.6,0.7,0.8,0.9,1.0,1,2,3,4,5,6,7,8,四組數(shù)據(jù)的平均數(shù)都是5.0,標(biāo)準(zhǔn)差分別是0.00,0.82, 1.49,2.83.雖然它們有相同的平均數(shù),但是它們有不同的標(biāo)準(zhǔn)差,說明數(shù)據(jù)的分散程度是不一樣的.,標(biāo)準(zhǔn)差還可以用于對樣本數(shù)據(jù)的另外一種解釋.例如,在關(guān)于居民月均用水量的例子中,平均數(shù),標(biāo)準(zhǔn)差s=0.868 ,所以,例2 甲乙兩人同時(shí)生產(chǎn)內(nèi)徑為25.40mm的一種零件.為了對兩人的生產(chǎn)質(zhì)量進(jìn)行評比,從他們生產(chǎn)的零件中各抽出20件,量得其內(nèi)徑尺寸如下(單位:mm),甲 25.46, 25.32, 25.45, 25.39, 25.36 25.34, 25.42, 25.45, 25.38, 25.42 25.39, 25.43, 25.39, 25.40, 25.44 25.40, 25.42, 25.35, 25.41, 25.39,乙 25.40, 25.43, 25.44, 25.48, 25.48 25.47, 25.49, 25.49, 25.36, 25.34 25.33, 25.43, 25.43, 25.32, 25.47 25.31, 25.32, 25.32, 25.32, 25.48,從生產(chǎn)的零件內(nèi)徑的尺寸看,誰生產(chǎn)的質(zhì)量較高?,分析:每一個(gè)工人生產(chǎn)的所有零件的內(nèi)徑尺寸組成一個(gè)總體, 由于零件的生產(chǎn)標(biāo)準(zhǔn)已經(jīng)給出(內(nèi)徑25.40mm),生產(chǎn)質(zhì)量可以從總體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差兩個(gè)角度來衡量.總體的平均數(shù)與內(nèi)徑標(biāo)準(zhǔn)尺寸25.00mm的差異在時(shí)質(zhì)量低,差異小時(shí)質(zhì)量高;當(dāng)總體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)尺寸很接近時(shí),總體的標(biāo)準(zhǔn)差小的時(shí)候質(zhì)量高,標(biāo)準(zhǔn)差大的時(shí)候質(zhì)量低.這樣比較兩人的生產(chǎn)質(zhì)量只要比較他們所生產(chǎn)的零件內(nèi)徑尺寸所組成的兩個(gè)總體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差的大小即可.但是這兩個(gè)總體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差都是不知道的,根據(jù)用樣本估計(jì)總體的思想,我們可以通過抽樣分別獲得相應(yīng)的樣體數(shù)據(jù),然后比較這兩個(gè)樣本的平均數(shù),標(biāo)準(zhǔn)差,以此作為兩個(gè)總體之間的估計(jì)值.,解:用計(jì)算器計(jì)算可得:,從樣本平均數(shù)看,甲生產(chǎn)的零件內(nèi)徑比乙生產(chǎn)的更接近內(nèi)徑標(biāo)準(zhǔn)(25.40mm),但是差異很小;從樣本標(biāo)準(zhǔn)差看,由于,從上述例子我們可以看到,對一名工人生產(chǎn)的零件內(nèi)徑(總體)的質(zhì)量判斷,與我們抽取的內(nèi)徑(樣本數(shù)據(jù))直接相關(guān).顯然,我們可以從這名工人生產(chǎn)的零件中獲取許多樣本(為什么?).這樣,盡管總體是同一個(gè),但由于樣本不同,相應(yīng)的樣本頻率分布與平均數(shù),標(biāo)準(zhǔn)差等都會(huì)發(fā)生