浙江省中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)難題突破題型（十一）數(shù)學(xué)文化（新版）浙教版.docx

難題突破題型(十一)數(shù)學(xué)文化【題型解讀】數(shù)學(xué)文化指數(shù)學(xué)的思想、精神、方法、觀點(diǎn)、語言,以及它們的形成和發(fā)展.數(shù)學(xué)作為一種文化現(xiàn)象,早已是一種生活常識(shí).在近幾年的中考中,以數(shù)學(xué)文化為載體的數(shù)學(xué)題越來越多,只要我們平時(shí)注意積累和了解這方面的常識(shí),解題時(shí)注意審題,實(shí)現(xiàn)載體與考點(diǎn)的有效轉(zhuǎn)化,透過現(xiàn)象看本質(zhì),問題便可迎刃而解.類型1以數(shù)學(xué)名著為題材例1 九章算術(shù)中,將兩底面是直角三角形的棱柱稱之為“塹堵”,已知某“塹堵”的三視圖如圖Z11-1,主視圖中的虛線平分矩形的面積,則該“塹堵”的側(cè)面積為()圖Z11-1A.2B.4+22C.4+42D.6+42【分層分析】(1)通過閱讀,你知道“塹堵”是什么樣的圖形嗎?(2)根據(jù)“塹堵”的定義,你能推斷出該幾何體的底面是什么圖形?側(cè)面又是什么圖形?針對(duì)訓(xùn)練1.2018樂山 九章算術(shù)是我國(guó)古代第一部自成體系的數(shù)學(xué)專著,代表了東方數(shù)學(xué)的最高成就,它的算法體系至今仍在推動(dòng)著計(jì)算機(jī)的發(fā)展和應(yīng)用.書中記載:“今有圓材埋在壁中,不知大小,以鋸鋸之,深一寸,鋸道長(zhǎng)一尺,問徑幾何?”譯為:“今有一圓柱形木材,埋在墻壁中,不知其大小,用鋸去鋸這木材,鋸口深1寸(ED=1寸),鋸道長(zhǎng)1尺(AB=1尺=10寸).問這塊圓形木材的直徑是多少?”如圖Z11-2,請(qǐng)根據(jù)所學(xué)的知識(shí)計(jì)算:圓形木材的直徑AC是()圖Z11-2A.13寸B.20寸C.26寸D.28寸2.2018邵陽 程大位是我國(guó)明朝商人,珠算發(fā)明家.他60歲時(shí)完成的直指算法統(tǒng)宗是東方古代數(shù)學(xué)名著,詳述了傳統(tǒng)的珠算規(guī)則,確立了算盤用法.書中有如下問題:一百饅頭一百僧,大僧三個(gè)更無爭(zhēng),小僧三人分一個(gè),大小和尚得幾丁.意思是:有100個(gè)和尚分100個(gè)饅頭,如果大和尚1人分3個(gè),小和尚3人分1個(gè),正好分完,大、小和尚各有多少人.下列求解結(jié)果正確的是()A.大和尚有25人,小和尚有75人B.大和尚有75人,小和尚有25人C.大和尚有50人,小和尚有50人D.大、小和尚各有100人3.2018長(zhǎng)沙 我國(guó)南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶的著作數(shù)書九章里記載有這樣一道題目:“問有沙田一塊,有三斜,其中小斜五里,中斜十二里,大斜十三里,欲知為田幾何?”這道題講的是:有一塊三角形沙田,三條邊長(zhǎng)分別為5里,12里,13里,問這塊沙田面積有多大?題中的“里”是我國(guó)市制長(zhǎng)度單位,1里=500米,則該沙田的面積為()A.7.5平方千米B.15平方千米C.75平方千米D.750平方千米4.2018江西 中國(guó)的九章算術(shù)是世界現(xiàn)代數(shù)學(xué)的兩大源泉之一,其中有一問題:“今有牛五、羊二,直金十兩;牛二、羊五,直金八兩.問牛羊各直金幾何?”譯文:今有牛5頭,羊2頭,共值金10兩;牛2頭,羊5頭,共值金8兩.問牛、羊每頭各值金多少?設(shè)牛、羊每頭各值金x兩、y兩,依題意,可列出方程組為.5.2018棗莊 我國(guó)南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶在他的著作數(shù)書九章一書中,給出了著名的秦九韶公式,也叫三斜求積公式.即:如果一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為a,b,c,則該三角形的面積為S=,已知ABC的三邊長(zhǎng)分別為5,2,1,則ABC的面積為.6.2018恩施州 我國(guó)古代易經(jīng)一書中記載,遠(yuǎn)古時(shí)期,人們通過在繩子上打結(jié)來記錄數(shù)量,即“結(jié)繩記數(shù)”.如圖Z11-3,一位婦女在從右到左依次排列的繩子上打結(jié),滿六進(jìn)一,用來記錄采集到的野果數(shù)量,由圖可知,她一共采集到的野果數(shù)量為個(gè).圖Z11-37.2018雅安 九章算術(shù)是我國(guó)古代數(shù)學(xué)成就的杰出代表作,其中方田章計(jì)算弧田面積所用的經(jīng)驗(yàn)公式是:弧田面積=12(弦矢+矢2).弧田(如圖Z11-4陰影部分),由圓弧和其所對(duì)弦所圍成,公式中“弦”指圓弧所對(duì)弦長(zhǎng),“矢”等于半徑長(zhǎng)與圓心到弦的距離之差,現(xiàn)有圓心角為120,半徑等于4米的弧田,按照上述公式計(jì)算出弧田的面積為米2.圖Z11-48.2018張家界 列方程解應(yīng)用題:九章算術(shù)中有“盈不足術(shù)”的問題,原文如下:“今有共買羊,人出五,不足四十五;人出七,不足三.問人數(shù)、羊價(jià)各幾何?”題意是:若干人共同出資買羊,每人出5元,則差45元;每人出7元,則差3元.求人數(shù)和羊價(jià)各是多少.類型2以數(shù)學(xué)名人為題材例2 古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家研究過各種多邊形數(shù).如三角形數(shù)1,3,6,10,第n個(gè)三角形數(shù)為n(n+1)2=12n2+12n.記第n個(gè)k邊形數(shù)為N(n,k)(k3),以下列出了部分k邊形數(shù)中第n個(gè)數(shù)的表達(dá)式.三角形數(shù)N(n,3)=12n2+12n,正方形數(shù)N(n,4)=n2,五邊形數(shù)N(n,5)=32n2-12n,六邊形數(shù)N(n,6)=2n2-n,可以推測(cè)N(n,k)的表達(dá)式,由此計(jì)算N(10,24)=.針對(duì)訓(xùn)練1.2017云南 正如我們小學(xué)學(xué)過的圓錐體積公式V=13r2h(表示圓周率,r表示圓錐的底面半徑,h表示圓錐的高)一樣,許多幾何量的計(jì)算都要用到.祖沖之是世界上第一個(gè)把計(jì)算到小數(shù)點(diǎn)后7位的中國(guó)古代科學(xué)家,創(chuàng)造了當(dāng)時(shí)世界上的最高水平,差不多過了1000年,才有人把計(jì)算得更精確.在輝煌成就的背后,我們來看看祖沖之付出了多少.現(xiàn)在的研究表明,僅僅就計(jì)算來講,他至少要對(duì)9位數(shù)字反復(fù)進(jìn)行130次以上的各種運(yùn)算,包括開方在內(nèi).即使今天我們用紙筆來算,也絕不是一件輕松的事情,何況那時(shí)候沒有現(xiàn)在的紙筆,數(shù)學(xué)計(jì)算不是用現(xiàn)在的阿拉伯?dāng)?shù)字,而是用算籌(小竹棍或小竹片)進(jìn)行的,這需要怎樣的細(xì)心和毅力啊!他這種嚴(yán)謹(jǐn)治學(xué)的態(tài)度,不怕復(fù)雜計(jì)算的毅力,值得我們學(xué)習(xí).下面我們就來通過計(jì)算解決問題:已知圓錐的側(cè)面展開圖是個(gè)半圓,若該圓錐的體積等于93,則這個(gè)圓錐的高等于()A.53B.53C.33D.332.2018德州 我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的詳解九章算術(shù)一書中,用圖Z11-5的三角形解釋二項(xiàng)式(a+b)n的展開式的各項(xiàng)系數(shù),此三角形稱為“楊輝三角”.(a+b)01(a+b)111(a+b)2121(a+b)31331(a+b)414641(a+b)515101051圖Z11-5根據(jù)“楊輝三角”請(qǐng)計(jì)算(a+b)8的展開式中從左起第四項(xiàng)的系數(shù)為()A.84B.56C.35D.283.2018萊蕪 如圖Z11-6,若ABC內(nèi)一點(diǎn)P滿足PAC=PCB=PBA,則稱點(diǎn)P為ABC的布羅卡爾點(diǎn).三角形的布羅卡爾點(diǎn)是法國(guó)數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家克雷爾首次發(fā)現(xiàn),后來被數(shù)學(xué)愛好者法國(guó)軍官布羅卡爾重新發(fā)現(xiàn),并用他的名字命名,布羅卡爾點(diǎn)的再次發(fā)現(xiàn),引發(fā)了研究“三角形幾何”的熱潮.已知ABC中,CA=CB,ACB=120,P為ABC的布羅卡爾點(diǎn),若PA=3,則PB+PC=.圖Z11-64.2017樂山 莊子說:“一尺之棰,日取其半,萬世不竭”.這句話(文字語言)表達(dá)了古人將事物無限分割的思想,用圖形語言表示為圖Z11-7,按此圖分割的方法,可得到一個(gè)等式(符號(hào)語言):1=12+122+123+12n+.圖Z11-7也是一種無限分割:在ABC中,ACB=90,B=30,過點(diǎn)C作CC1AB于點(diǎn)C1,再過點(diǎn)C1作C1C2BC于點(diǎn)C2,又過點(diǎn)C2作C2C3AB于點(diǎn)C3,如此無限繼續(xù)下去,則可將ABC分成ACC1、CC1C2、C1C2C3、C2C3C4、Cn-2Cn-1Cn、.假設(shè)AC=2,這些三角形的面積和可以得到一個(gè)等式是.圖Z11-7類型3其他題材例3 “牟合方蓋”是我國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉徽在研究球的體積的過程中構(gòu)造的一個(gè)和諧優(yōu)美的幾何體.圖Z11-8它由完全相同的四個(gè)曲面構(gòu)成,相對(duì)的兩個(gè)曲面在同一個(gè)圓柱的側(cè)面上,好似兩個(gè)扣合(牟合)在一起的方形傘(方蓋).其直觀圖如圖,圖中四邊形是為體現(xiàn)其直觀性所作的輔助線.其實(shí)際直觀圖中四邊形不存在,當(dāng)其主視圖和左視圖完全相同時(shí),它的主視圖和俯視圖分別可能是()圖Z11-8圖Z11-9A.a,bB.a,cC.c,bD.b,d【分層分析】(1)根據(jù)題目所給的直觀圖,你發(fā)現(xiàn)“牟合方蓋”有哪些特征?(2)“牟合方蓋”的主視圖和俯視圖分別是什么?針對(duì)訓(xùn)練1.2018金華 如圖Z11-10,小靚用七巧板拼成一幅裝飾圖,放入長(zhǎng)方形ABCD內(nèi),裝飾圖中的三角形頂點(diǎn)E,F分別在邊AB,BC上,三角形的邊GD在邊AD上,則ABBC的值是.圖Z11-102.2002年在北京召開的國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì),會(huì)標(biāo)是以我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖為基礎(chǔ)設(shè)計(jì)的.弦圖是由四個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形(如圖Z11-11).如果小正方形的面積為1,大正方形的面積為25,直角三角形中較小的銳角為,那么cos的值等于.圖Z11-113.2017江西 中國(guó)人最先使用負(fù)數(shù),魏晉時(shí)期的數(shù)學(xué)家劉徽在“正負(fù)術(shù)”的注文中指出,可將算籌(小棍形狀的記數(shù)工具)正放表示正數(shù),斜放表示負(fù)數(shù).如圖Z11-12,根據(jù)劉徽的這種表示法,觀察圖,可推算圖中所得的數(shù)值為.圖Z11-12參考答案例1 C解析 依題意,得該幾何體為三棱柱,且底面為等腰直角三角形,兩直角邊長(zhǎng)均為2,高為2,所以其側(cè)面積為S=22+222=4+42.故選C.賞析 該題以我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著九章算術(shù)中所描述的特殊幾何體“塹堵”為背景,是一道新概念信息的遷移題.試題以三視圖為依托,在考查空間想象能力的同時(shí)傳播數(shù)學(xué)文化.針對(duì)訓(xùn)練1.C解析 本題主要考查圓的相關(guān)知識(shí),解決本題的關(guān)鍵是掌握和運(yùn)用垂徑定理和勾股定理.根據(jù)題意可知,ED=1寸,AB=1尺=10寸.ODAB,AD=BD=5寸,不妨設(shè)O的半徑為r,在AOD中,r2=52+(r-1)2,解得r=13,圓形木材的直徑AC的長(zhǎng)為26寸.故選C.2.A解析 設(shè)大和尚有x人,則小和尚有(100-x)人,根據(jù)相等關(guān)系:大和尚吃的饅頭個(gè)數(shù)+小和尚吃的饅頭個(gè)數(shù)=100,可列方程為3x+100-x3=100.解方程可得x=25.所以大和尚有25人,小和尚有75人.故選A.3.A解析 將里換算為米為單位,則三角形沙田的三邊長(zhǎng)分別為2.5千米、6千米、6.5千米.因?yàn)?.52+62=6.52,所以這個(gè)三角形為直角三角形,直角邊長(zhǎng)為2.5千米和6千米,所以S=1262.5=7.5(平方千米).故選A.4.5x+2y=10,2x+5y=85.1解析 把5,2,1代入三角形的面積公式得S=1.故填1.6.1838解析 由題意可知,因?yàn)闈M六進(jìn)一,從右到左依次排列的繩子分別代表繩結(jié)數(shù)乘6的0次冪,6的1次冪,6的2次冪,6的3次冪,6的4次冪.她一共采集到的野果數(shù)量為1838個(gè).7.(43+2)解析 由題可知,AOB=120,OB=4,OCAB,“矢”為CD的長(zhǎng),則AD=DB.在RtBOD中,OBD=30,所以O(shè)D=2,所以CD=2,BD=23,AB=2BD=43,即“弦”的長(zhǎng),由公式,得弧田面積=12(弦矢+矢2)=12(432+22)=43+2. 8.解:設(shè)買羊的有x人,則羊價(jià)為(5x+45)元.根據(jù)題意,得5x+45=7x+3.解得x=21.521+45=150(元).答:買羊人數(shù)為21人,羊價(jià)為150元.例2 1000解析 由N(n,4)=n2,N(n,6)=2n2-n,可以推測(cè):當(dāng)k為偶數(shù)時(shí),N(n,k)=k2-1n2-k2-2n,于是N(n,24)=11n2-10n,故N(10,24)=11102-1010=1000.針對(duì)訓(xùn)練1.D解析 如圖,圓錐的側(cè)面展開圖是個(gè)半圓,設(shè)這個(gè)半圓的半徑為R,則AC=R,這個(gè)半圓的弧長(zhǎng)為R.設(shè)圓錐底面圓的半徑為r,則2r=R,得R=2r,AC=2r.由圓錐的母線AC=2r,OC=r得在RtAOC中,h=AO=3r.圓錐的體積等于93,13r23r=93,r=3,h=AO=3r=33.故選D. 2.B3.1+33解析 如圖,由“布羅卡爾點(diǎn)”的定義,如圖,設(shè)PAC=PCB=PBA=,PAB=.CA=CB,ACB=120,ABC=BAC=30,CBP=PAB=30-=,BCPABP,PBPA=BCAB=PCPB.而在ABC中,如圖,作CDAB于點(diǎn)D,則BD=12AB.cosB=BDBC=32,BCAB=13,PB3=13=PCPB,PB=1,PC=33,PB+PC=1+33.故答案為1+33.4.23=321+34+342+343+34n+解析 根據(jù)三角形的面積來列出等式.由ACB=90,B=30,AC=2,可得三角形的面積為12ACBC=12223=23.又因?yàn)槿切蔚拿娣e可表示為n個(gè)三角形的面積和,則可得到1213+123232+1234334+1212n332n+=.所以根據(jù)面積相等得23=.例3 A解析 當(dāng)主視圖和左視圖完全相同時(shí),“牟合方蓋”相對(duì)的兩個(gè)曲面正對(duì)前方,主視圖為一個(gè)圓,俯視圖為一個(gè)正方形,且對(duì)角線為兩條實(shí)線.故選A.賞析 “牟合方蓋”是我國(guó)古代利用立體幾何模型和數(shù)學(xué)思想方法解決數(shù)學(xué)問題的代表之一.本題取材于“牟合方蓋”,通過添加解釋和提供直觀圖的方式降低了理解題意的難度.試題從識(shí)“圖”到想“圖”,再到構(gòu)“圖”,要經(jīng)歷分析、判斷的邏輯過程.另外,我國(guó)古代數(shù)學(xué)中的其他著名幾何體,如“陽馬”“鱉臑”和“塹堵”等的三視圖問題都有可能在中考中考查,值得我們注意.針對(duì)訓(xùn)練