《正態(tài)分布》PPT課件.ppt

1,第五章：正態(tài)分布,1、標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 2、常用統(tǒng)計(jì)分布 3、大數(shù)定理與中心極限定理,2,學(xué)習(xí)目標(biāo),掌握正態(tài)分布的特性； 正態(tài)分布曲線下面積的含義； 標(biāo)準(zhǔn)分的計(jì)算和應(yīng)用； 利用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表計(jì)算概率。 理解大數(shù)定理和中心極限定理,3,從 “分布” 說(shuō)起,一、什么是正態(tài)分布？,4,直方圖用長(zhǎng)條的面積來(lái)表示頻次或相對(duì)頻次； 折線圖用直線連接直方圖中條形頂端的中點(diǎn)； 當(dāng)組距逐漸減小時(shí)，折線將逐漸平滑為曲線。,5,峰點(diǎn)（Peak)研究（P40）,單峰,多峰,6,幾種常見(jiàn)的頻數(shù)分布曲線,7,一、 正態(tài)分布曲線,8,1.1 什么是正態(tài)分布？,1、由德國(guó)數(shù)學(xué)家高斯提出，也叫高斯分布； 2、自然界、社會(huì)經(jīng)濟(jì)生活中大量存在的分布規(guī)律； 3、經(jīng)典統(tǒng)計(jì)推斷的基礎(chǔ)； 4、在所有的分布中，正態(tài)分布居于首要位置；,9,1.2 正態(tài)分布的基本特征,特征一：一個(gè)高峰 特征二：一條對(duì)稱軸 特征三：一條漸近線,M0Md=,眾值=中位值均值,10,1.3 正態(tài)分布的數(shù)學(xué)表達(dá)式,(x) = 隨機(jī)變量 X 的頻次（概率密度） 總體標(biāo)準(zhǔn)差； = 總體方差 = 總體均值 =3.14159; e = 2.71828 x = 隨機(jī)變量的取值 (- x ),11,1.4 兩個(gè)參數(shù)的影響（ ， ）,均 值,標(biāo)準(zhǔn)差,12,1.4.1 對(duì)正態(tài)曲線的影響,1 2 3,13,1.4.2 對(duì)正態(tài)曲線的影響,曲線A和B的比較,14,正態(tài)曲線的位置由均值 決定； 正態(tài)曲線的形狀“高，矮，胖，瘦”的特點(diǎn)由標(biāo)準(zhǔn)差 決定；,15,二、正態(tài)曲線下的面積,2.1 正態(tài)曲線下面積的涵義 隨機(jī)變量的頻次總和； 一般把正態(tài)曲線下的總面積約等于1， 這時(shí)一定區(qū)間內(nèi)的頻次分布表現(xiàn)為概率分布。,16,2.2 正態(tài)曲線的一個(gè)重要性質(zhì),無(wú)論正態(tài)曲線具有哪種均值和標(biāo)準(zhǔn)差，在均值和橫坐標(biāo)某一點(diǎn)的距離內(nèi)（用標(biāo)準(zhǔn)差來(lái)表示）曲線下的面積是常數(shù)。 下圖說(shuō)明此意。,17,正態(tài)曲線下的面積（圖）, -, + ,95.46%,68.26%,18,2.3 幾個(gè)典型取值區(qū)間的概率值,P( - + ) =0.6827; P( -2 +2 )=0.9545; P( -3 +3 )=0.9973;,19,三、標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,3.1 什么是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 以標(biāo)準(zhǔn)差為單位的正態(tài)分布一般稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布（standardized normal distribution),20,3.2 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的重要性,簡(jiǎn)化統(tǒng)計(jì)分析 一般的正態(tài)分布取決于均值和標(biāo)準(zhǔn)差 ； 計(jì)算概率時(shí)，每一個(gè)正態(tài)分布都需要有自己的正態(tài)概率分布表，這種表格是無(wú)窮多的 若能將一般的正態(tài)分布轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，計(jì)算概率時(shí)只需要查一張表,21,3.3 標(biāo)準(zhǔn)分（Standard scores),公式:,Z值代表每個(gè)X值在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布上的數(shù)值。,22,3.4 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的表達(dá)式,正態(tài)分布的表達(dá)式為： N（ ， ） 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的表達(dá)式為： N（0，1） 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布是一般正態(tài)分布的特例，即0， 1的正態(tài)分布。,23,3.5 標(biāo)準(zhǔn)分的實(shí)際意義,各總體之間可以通過(guò)標(biāo)準(zhǔn)分進(jìn)行合理的比較 不同總體間綜合指標(biāo)的比較,24,3.7 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的面積,P(-1 Z 1 ) =0.6827; P(-2 Z 2 ) =0.9545; P(-3 Z 3 ) =0.9973; 由于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N（0，1）的圖形是唯一的，因此使用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布無(wú)須自己計(jì)算，只需要學(xué)會(huì)查表就行了。,25,四、標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表的使用,4.1 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表的介紹,26,4.2標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的計(jì)算,【例5】已知服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N（0，1），求P（ 1.3)=? 解：因?yàn)?服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N（0，1），可直接查附表4，根據(jù)z=1.3，有 P（ 1.3)= 1.3=0.9032,Xi:大寫(xiě)，小寫(xiě) 讀作：克西,27,【例6】:,已知服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N（0，1），求P（ 1.3)=? 解：因?yàn)?1， 而 P（ 1.3) P（ 1.3)1 因此有P（ 1.3)1 P（ 1.3)1 1.30.0968,28,【例7】,已知服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N（0，1），求P（ 1.3)=? 解：附表四中沒(méi)有給出Z0的 Z值。根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布圖形是以Z0為對(duì)稱的原理， P（ 1.3)=1 1.30.0968,29,【例8】,已知服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N（0，1），求P（1.3 2.3）？ 解： P（1.3 2.3） 2.3 1.3 =0.98930.9032=0.0861,30,【例9】,已知服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N（0，1），求滿足P（ )0.05 中的值 解： P（)P（)+ （- )2 P （ ) =2(1- )=0.05 =1-0.025=0.975 查表得， =1.96,31,【例10】,根據(jù)統(tǒng)計(jì)，北京市初婚年齡服從正態(tài)分布。其均值為25歲，標(biāo)準(zhǔn)差為5歲，問(wèn)25歲到30歲之間結(jié)婚的人，其百分比為多少？ 解：1. 年齡換為標(biāo)準(zhǔn)分： Z1 ，Z2 2. 查表得 Z1 0.50, Z2 0.8413 Z2 - Z1 =0.3413, 所以25歲到30歲之間結(jié)婚的人，百分?jǐn)?shù)為34.13%.,32,4.3 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表的使用,1. 通過(guò)標(biāo)準(zhǔn)分公式，將一般為正態(tài)分布轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布； 2. 計(jì)算概率時(shí) ，查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表； 3. 對(duì)于負(fù)的 x ，可由 (-x) x得到； 4. 對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，即XN(0,1)，有 P (a X b) b a P (|X| a) 2 a 1,33,常用的標(biāo)準(zhǔn)值,Z 1.65,概率P為0.05; Z 1.96,概率P為0.025; Z 2.58,概率P為0.005;,34,二項(xiàng)分布的正態(tài)近似法 通過(guò)前面的討論，我們已經(jīng)知道二項(xiàng)分布受成功事件概率p和重復(fù)次數(shù)n兩個(gè)參數(shù)的影響，只要確定了p和n，二項(xiàng)分布也隨之確定了。 但是，二項(xiàng)分布的應(yīng)用價(jià)值實(shí)際上受到了n的很大限制。也就是說(shuō)，只有當(dāng)n較小時(shí)，我們才能比較方便地計(jì)算二項(xiàng)分布。所幸的是，二項(xiàng)分布是以正態(tài)分布為極限的。所以當(dāng)n很大時(shí)，只要p或q不近于零，我們就可以用正態(tài)近似來(lái)解決二項(xiàng)分布的計(jì)算問(wèn)題。即以n p、n p q2，將B(x；n，p)視為N(n p，n p q)進(jìn)行計(jì)算。在社會(huì)統(tǒng)計(jì) 中，當(dāng)n 30，n p、n q均不小于5時(shí)，對(duì)二項(xiàng)分布作正態(tài)近似是可靠的。,35,常見(jiàn)的抽樣分布,（一） 分布 設(shè) 是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，且每個(gè)隨機(jī)變量都服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，即 （0，1），則隨機(jī)變量 = 的分布稱為自由度為 的 分布，記作 （ ）。 當(dāng) 時(shí)， 分布趨近于正態(tài)分布，即 （ ）（ ，2 ）。,36,卡方分布,卡方分布是一種連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布，主要用于列聯(lián)表 檢驗(yàn)。 1.數(shù)學(xué)形式 設(shè)隨機(jī)變量X1，X2，Xk，相互獨(dú)立，且都服從同一的正態(tài) 分布N (，2)。那么，我們可以先把它們變?yōu)闃?biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量 Z1，Z2，Zk，k個(gè)獨(dú)立標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量的平方和被定義為卡方分布 （ 分布）的隨機(jī)變量 （ 讀作卡方），且,我們把隨機(jī)變量 的概率分布稱為 分布，其概率密度記 作 。其中k為卡方分布的自由度，它表示定義式中獨(dú)立變量 的個(gè)數(shù)。,37,關(guān)于卡方分布的分布函數(shù)，附表7對(duì)不同的自由度k及不同的臨 界概率(01)，給出了滿足下面概率式的 的值(參見(jiàn) 圖)。,注意 寫(xiě)法的含義：它 表示自由度為k的卡方分布，當(dāng) 其分布函數(shù) 時(shí)，其隨機(jī)變量 的臨界值(參 見(jiàn)圖)。具體來(lái)說(shuō)，在假設(shè)檢驗(yàn) 中，它表示在顯著性水平上卡 方分布隨機(jī)變量 的臨界值。,38,解 查卡方分布表(附表7)得,例 試求下列各值：,例 已知k5， 15，求臨界概率。 解 查卡方分布表，在表中自由度為5的橫行中找到 與15最接近的數(shù)值是15086，得到的近似值為001。 由此可知 001,39,式中：2代表總體方差，自由度為nl。,2.卡方分布的性質(zhì) (1) 恒為正值 。 (2)卡方分布的期望值 是自由度k，方差 為2k。 卡方分布取決于自由度k，每一個(gè)可能的自由度對(duì)應(yīng)一個(gè)具體 的卡方分布。卡方分布只與自由度有關(guān)，這就給卡方分布的實(shí)際應(yīng) 用帶來(lái)很大方便。分布由正態(tài)分布導(dǎo)出，但它之所以與正態(tài)分布的 參數(shù)和無(wú)關(guān)，是因?yàn)闃?biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量Z與原來(lái)的參數(shù)無(wú)關(guān)。 (3)卡方分布具有可加性 (4)利用卡方分布可以推出樣本方差 S2 的分布,40,所以，樣本方差S 2落在33和87之間的概率約為90。,3. 樣本方差的抽樣分布 例 由一正態(tài)總體抽出容量為25的一隨機(jī)樣本，已知26，求 樣本方差S 2在33到87之間的概率。 解 已知n25，26，由 得,41,常見(jiàn)的抽樣分布,（二） 分布 設(shè)隨機(jī)變量 與 相互獨(dú)立， （0，1）， （ ），則稱隨機(jī)變量 服從自由度為 的 分布，記作 ( )。 當(dāng) 時(shí)， 分布趨近于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。實(shí)際應(yīng)用中，當(dāng) 30時(shí)， 分布可用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布近似。,42,常見(jiàn)的抽樣分布,（三） 分布 1.設(shè)隨機(jī)變量 與 相互獨(dú)立，且分別服從自由度為 、 的 分布，則稱隨機(jī)變量 服從第一自由度為 、第二自由度 為 的 分布，記作 ( ， )。 2. 分布對(duì)于兩個(gè)總體的方差比的統(tǒng)計(jì)推斷問(wèn)題十分重要，是方差分析等統(tǒng)計(jì)推斷方法的基礎(chǔ)。與前兩種分布不同的是 分布不以正態(tài)分布為其極限分布，它總是一個(gè)正偏分布。,43,F 分布,F 分布是連續(xù)性隨機(jī)變量的另一種重要的小樣本分布， 可用來(lái)檢驗(yàn)兩個(gè)總體的方差是否相等，多個(gè)總體的均值是 否相等。還是方差分析和正交設(shè)計(jì)的理論基礎(chǔ)。 1.數(shù)學(xué)形式 設(shè) 和 相互獨(dú)立，那么隨機(jī)變量,服從自由度為(k1，k2)的F分布。其中，分子上的自由 度k1叫做第一自由度，分母上的自由度k2叫做第二自由度。,44,我們把隨機(jī)變量F的概率分 布稱為F分布，其概率密度記 作 。本書(shū)附 表8，對(duì)不同自由度(k1，k2)及 不同的臨界概率(01)， 給出滿足下列概率式的F(k1， k2)的值(參見(jiàn)圖)。,注意 寫(xiě)法的含義：它表示自由度為 (k1，k2)的F 分布，當(dāng)其分布函數(shù) 時(shí)，其隨機(jī)變量 F 的臨界值(參 見(jiàn)圖)。具體來(lái)說(shuō)，在假設(shè)檢驗(yàn)中，它表示在顯著性水平上F分布 隨機(jī)變量 F 的臨界值。,45,例 試求下列各值：,如果 和 是兩個(gè)獨(dú)立隨 機(jī)樣本的方差，樣本來(lái)源于具有相同 方差2的兩個(gè)正態(tài)總體，樣本容量 分別為n1和n2，那么根據(jù)(822)式， 隨機(jī)變量F 服從于自由度為(n11和 n21)的F分布。,解查F分布表(附表8)得,46,2. F分布性質(zhì),(1)隨機(jī)變量F恒為正值， F分布也是一個(gè)連續(xù)的非對(duì) 稱分布。 (2)分布具有一定程度的 反對(duì)稱性。 (3) F分布的期望值與變異數(shù)(方差),47,五、大數(shù)定理和中心極限定理,5.1 極限定理 簡(jiǎn)單講，凡是采用極限的方法（例如，觀察次數(shù)n趨于無(wú)限）所得出的一系列定理統(tǒng)稱極限定理。 極限定理分為兩類(lèi)： 大數(shù)定理（Law of large numbers） 中心極限定理 (Central limit theorem),48,一旦統(tǒng)計(jì)的學(xué)習(xí)進(jìn)入到推論統(tǒng)計(jì)，我們就必須同時(shí)與三 種不同的分布概念打交道，即總體分布、樣本分布、抽樣分 布。為了不產(chǎn)生混淆，視分布不同，將統(tǒng)計(jì)指標(biāo)的符號(hào)加以區(qū) 別是完全必要的。對(duì)那些反映標(biāo)志值集中趨勢(shì)和離中趨勢(shì)的綜 合指標(biāo)，尤其對(duì)均值和標(biāo)準(zhǔn)差(或方差)。,抽樣分布特指樣本統(tǒng)計(jì)量作為隨機(jī)變量的概率分布。用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)說(shuō)，抽樣分布是運(yùn)用數(shù)理統(tǒng)計(jì)的方法，把具體概率賦予樣本的所有可能結(jié)果的一種理論分布。,在一個(gè)總體中可以產(chǎn)生無(wú)數(shù)個(gè)樣本，所以樣本統(tǒng)計(jì)量（比如均值 ）必定是隨機(jī)變量。 這樣就提出一個(gè)問(wèn)題：如果樣本統(tǒng)計(jì)量作為隨機(jī)變量，它的概率分布是什么樣呢？,49,1中心極限定理 我們知道，概率論中用來(lái)闡明大量隨機(jī)現(xiàn)象平均 結(jié)果的穩(wěn)定性的定理，是著名的大數(shù)定理。其具體內(nèi) 容是：頻率穩(wěn)定于概率，平均值穩(wěn)定于期望值。但 是，大量隨機(jī)現(xiàn)象的穩(wěn)定性不僅表現(xiàn)在平均結(jié)果上， 同時(shí)也表現(xiàn)在分布上，這就是中心極限定理所要闡明 的內(nèi)容。顯然，推論統(tǒng)計(jì)需要有一座能夠架通抽樣調(diào) 查和抽樣分布的橋梁。中心極限定理告訴我們：如果 從任何一個(gè)具有均值和方差2的總體(可以具有任 何分布形式)中重復(fù)抽取容量為n的隨機(jī)樣本，那么當(dāng) n變得很大時(shí)，樣本均值的抽樣分布接近正態(tài)，并具 有均值和方差 。,50,(2)由于抽樣分布的標(biāo)準(zhǔn) 差要比總體標(biāo)準(zhǔn)差小，并且 ，所以如右圖所 示，樣本容量越大，抽樣分 布的峰態(tài)愈陡峭，由樣本結(jié) 果來(lái)推斷總體參數(shù)的可靠性 也隨之提高。,無(wú)疑，中心極限定理大大拓展了正態(tài)分布的適用面，同時(shí)我們得到了以下重要信息： (1)雖然樣本的均值可能和總體均值有差別，但我們可期望這些將聚集在的周?chē)?。因此均值抽樣分布的算術(shù)平均數(shù)能和總體的均值很好地重合，這就是為什么總體均值和抽樣分布的均值用同一個(gè)來(lái)表示的緣故。,51,5.2 大數(shù)定理,【例子】 擲一顆均勻的正六面體的骰子，出現(xiàn)幺點(diǎn)的概率是16，在擲的次數(shù)比較少時(shí)，出現(xiàn)幺點(diǎn)的頻率可能與16相差得很大，但是在擲的次數(shù)很多時(shí)，出現(xiàn)幺點(diǎn)的頻率接近16幾乎是必然的。,52,5.2 大數(shù)定理,【例子】 從撲克牌盒中取出一張牌，出現(xiàn)牌“K”的概率是1/13，在取的次數(shù)比較少時(shí)，出現(xiàn)“K”的頻率可能與1/13相差得很大，但是在取的次數(shù)很多時(shí)，出現(xiàn)“K”的頻率接近1/13幾乎是必然的。,53,5.2 大數(shù)定理,這些例子說(shuō)明，在大量隨機(jī)現(xiàn)象中，不僅看到了隨機(jī)事件頻率的穩(wěn)定性，而且還看到平均結(jié)果的穩(wěn)定性。這就是概率論中大數(shù)定理的概念。闡明大量隨機(jī)現(xiàn)象平均結(jié)果的穩(wěn)定性的一系列定理。 著名的大數(shù)定理：貝努里大數(shù)定理和切貝謝夫大數(shù)定理,54,5.2.1 貝努里大數(shù)定理,多次重復(fù)試驗(yàn)，隨機(jī)事件的頻率日趨穩(wěn)定，具有接近概率的趨勢(shì)。,55,5.2.2 切貝謝夫大數(shù)定