A3(第十二章第1、2、3、4節(jié)(1).ppt

1 對弧長的曲線積分,（又稱第一類曲線積分）,第十二章 曲線積分與曲面積分,一、對弧長的曲線積分的概念與性質(zhì),1. 引例：求曲線形構(gòu)件的質(zhì)量。,設(shè)一曲線形構(gòu)件位于xoy平面上的一段 曲線弧 L 上, 線密度 (x, y)為 L 上的連續(xù)函 數(shù)，求該曲線形構(gòu)件的質(zhì)量 M。,光滑曲線,- 具有連續(xù)轉(zhuǎn)動(dòng)切線的曲線。,A,B,思想方法：,(1) 分割：,插入分點(diǎn)：,設(shè),每一小弧段長,(2) 取近似：,則小弧段質(zhì)量：,(3) 求和：,(4) 取極限:,2、定義,設(shè)L為xoy平面內(nèi)的一條光滑曲線弧段，,M1, M2, , Mn-1 把 L 分成,若和式的極限,則稱此極限值為,f (x, y)在曲線弧L上對弧長的曲線積分。,函數(shù) f (x, y) 在L上有界，,用L上的任意點(diǎn),也稱為第一類曲線積分。記作,L 積分弧段（積分路徑）,ds 弧元素,說明:,(1) f (x, y) 在 L 上連續(xù), 則曲線積分必存在。,(2) f(x, y)雖為二元函數(shù),但點(diǎn)(x, y)被限制在L上,變量 x, y 不獨(dú)立, 須滿足曲線 L 的方程。,(3)若L是光滑閉曲線, 常記成,(4)推廣到空間曲線, 有,3. 性質(zhì),(與定積分性質(zhì)相仿),(3) 若L是分段光滑的曲線段，即,(4) 設(shè)在 L 上，,則,(5) (積分中值定理),設(shè) f (x, y) 在 L 上連續(xù)，,則必存在,使得,其中 l 為 L 的長度。,第一類曲線積分的對稱性,(1) 如曲線 L 關(guān)于 y 軸對稱，L1 是 L 的 部分，,(2) 若交換 x, y 兩變量時(shí)，L的方程不變，則,- 輪換對稱性,二、對弧長的曲線積分的計(jì)算法,定理:,且,L 的參數(shù)方程為：,則曲線積分,存在，,且,說明:,ds 弧元素 (弧微分),(1),(2),(3),(4),(5),上述所有計(jì)算公式中，等式右邊的定積分,的積分下限都必須小于上限。,一段弧(如圖).,例1:,A,B,A (0, a),解：,法一：,選 x 為積分變量，,L：,a,一段弧(如圖).,法二：,選 y 為積分變量，,L：,A,B,a,一段弧 (如圖).,法三：,L 用參數(shù)方程表示:,A,B,a,1,2,2,例2：,A,B,解：,o,例3：,解：,L,利用極坐標(biāo)。,a,例4：,解：,因?yàn)?L 關(guān)于 x 軸對稱，,2xy 關(guān)于 y 是奇函數(shù)，,三、幾何與物理意義,密度在 L 上連續(xù)，,設(shè)平面曲線形的物件所占的平面曲線 弧段為L，,且它的線密度為,則：,它的質(zhì)量,它的質(zhì)心坐標(biāo),(3),若線,例5.,的質(zhì)心坐標(biāo)。,a,2a,解：,由對稱性，,.,課 外 作 業(yè),習(xí)題12 1 (A),1(3), 2,習(xí)題12 1 (B),1(1, 4),2. 對坐標(biāo)的曲線積分 (第二類曲線積分),一、對坐標(biāo)的曲線積分的概念與性質(zhì),1. 引例: 求變力沿曲線所作的功。,常力作功:,變力作功,力 f (x) 的方向與運(yùn)動(dòng)方向一致,思想方法: (元素法),A,B,(1)插入分點(diǎn) M1(x1, y1) , ,Mn-1(xn-1, yn-1),n個(gè)有向小弧段,M1,Mn-1,Mi-1,Mi,將L任意分成,設(shè)一質(zhì)點(diǎn)在xoy面內(nèi)沿光滑曲線弧L從A移動(dòng)到,的作用，其中P, Q在,B。移動(dòng)過程中，這質(zhì)點(diǎn)受到變力,L上連續(xù)?，F(xiàn)計(jì)算在上述移動(dòng)過程中變力所作的功。,A,B,Mi-1,Mi,(2),則由常力:,近似代替,則,(3),(4),取極限,2、定義,設(shè) L 為 xoy 平面上從點(diǎn)A到B的一條有向,光滑曲線, 函數(shù) P(x, y) 、Q(x, y) 在 L 上有界。,分成 n個(gè)有向小弧段,則稱此極限值,把 L,為函數(shù) P(x, y) 在有向曲線弧 L 上對坐標(biāo) x,的曲線積分, 記作,同理,則稱此極限值為函數(shù) Q(x, y) 在有向曲線弧,常用其組合形式：,統(tǒng)稱為第二類曲線積分。,L上對坐標(biāo) y 的曲線積分, 記作,說明：,1),P(x, y), Q(x, y) 中的 x, y 受 L 的限制而相互有關(guān)。,2),對坐標(biāo)的曲線積分與積分路徑的方向有關(guān)。,3),前述變力作功,(有向弧元素),變號(hào),4),對空間曲線 L, 有,5),在 L 上連續(xù),則此曲線積分必存在。,3、性質(zhì),(1),設(shè)有向曲線 L , L 與 L 方向相反,則有:,(2),其余性質(zhì)類似于對弧長的曲線積分。,注：第一類曲線積分沒有這一性質(zhì)。,第二類曲線積分的對稱性,如曲線 L 關(guān)于 y 軸對稱，L1 是 L 的 部分，,方向不變，,二、對坐標(biāo)的曲線積分的計(jì)算法,設(shè)曲線L由參數(shù)方程,一階連續(xù)導(dǎo)數(shù), 且,又函數(shù) P(x, y), Q(x, y) 在L上連續(xù),L 的起點(diǎn) A,終點(diǎn) B,描出有向曲線 LAB ,起點(diǎn) A (x = a), 終點(diǎn) B (x = b),f (x) 在 a, b 或 b, a 上有連續(xù)導(dǎo)數(shù), 則,特例：,起點(diǎn) A (y = c), 終點(diǎn) B (y = d),g(y) 在 c, d 或 d, c 上有連續(xù)導(dǎo)數(shù), 則,空間曲線:,起點(diǎn) A,終點(diǎn) B,例1.,(1) L: 圓心為原點(diǎn),半徑為1, 按逆時(shí)針方向繞行,的上半圓周。,A,B,1,-1,解：,(2) L: 直線 AB.,A,B,1,-1,解：,= 0 .,(3) L: 折線 ACB.,A,B,C,1,-1,解：,1,0,0,-1,路徑不同, 值不同。,例2.,(1),(2),A,0,1,0,1,= 1 .,A,B,(3),0,1,0,1,路徑不同, 值卻相同。,例3.,: 由點(diǎn) (1, 1, 1) 到點(diǎn) (2, 3, 4) 的直線段。,解：,求 的方程。, 的方向向量：, 的方程：,其參數(shù)式：,(t +1),d(t +1),+ (2t +1),d(2t +1),+ (t +1),+ (2t +1),- 1d(3t +1),0,1,2,3,dt,= 13 .,例4. 計(jì)算,其中 由平面 y = z 截球面,解:,故,原式 =,從 z 軸正向看沿逆時(shí)針方向.,因在 上有,三、兩類曲線積分之間的聯(lián)系,設(shè)有向線段 L:,一階連續(xù)導(dǎo)數(shù), 且,又函數(shù) P(x, y), Q(x, y) 在 L 上連續(xù),類似，,切線向量的方向余弦。,則可證明:,例：,解：,曲線上點(diǎn) (x, y) 的切線的方向余弦：,二者夾角為 ,例: 設(shè),曲線段 L 的長度為 s, 證明,證:,設(shè),在 L 上連續(xù),課 外 作 業(yè),習(xí)題12 2 (B),1(1, 3), 2, 4, 5,3. 格林公式及其應(yīng)用,一、格林公式,( Green 1793 1841 英 ),在一元函數(shù)積分學(xué)中, 牛頓 萊布尼茨公式：,表示：,f (x) 在區(qū)間a, b上的積分可以用它的原函數(shù),現(xiàn)在要介紹的格林公式，,上的二重積分也可以用沿閉區(qū)域 D的邊界曲線,F(x) 在這個(gè)區(qū)間端點(diǎn)上的函數(shù)值來表達(dá)。,表示在平面閉區(qū)域 D,L上的曲線積分來表達(dá)。,設(shè)D為平面區(qū)域, 如果D內(nèi)任一閉曲線所圍成 的部分都屬于D, 則稱D為平面單連通區(qū)域, 否則稱為復(fù)連通區(qū)域.,復(fù)連通區(qū)域,單連通區(qū)域,平面區(qū)域的連通性：,邊界曲線L的正向: 當(dāng)觀察者沿邊界行走時(shí), 區(qū)域D內(nèi)在他附近的那一部分總在他的左邊, 則他行走的方向就是邊界曲線L的正向。,定理1,格林公式,證明 (1) 先證明D是單連通區(qū)域的情形。,若區(qū)域 D 既是 X型又是Y 型.,L3,L4,C,E,c,d,類似，把 D 看成 X 型，有,兩式相加得,D,F,E,證明 (2),此時(shí)D可看作由分段光滑的曲線,若區(qū)域 D 是一個(gè)復(fù)連通區(qū)域(如圖)，,則添加輔助線 AB，,G,H,圍成的單連通區(qū)域，,則由(1)知，,例1.,D,由格林公式：,解：,A,B,D,解:,作輔助線:,C,用格林公式？,非閉曲線。,A,B,D,C,例3. 質(zhì)點(diǎn)M 沿著以AB為直徑的半圓, 從 A(1,2) 運(yùn)動(dòng)到,點(diǎn)B(3,4),到原點(diǎn)的距離,解:,故所求功為,銳角,其方向垂直于OM, 且與y 軸正向夾角為,由圖知,格林公式的簡單應(yīng)用:,例4：利用曲線積分，求下列曲線所圍的圖形的,星形線,解：,面積 A =,面積：,二、 四個(gè)等價(jià)命題,定理2.,設(shè)函數(shù) P(x, y), Q(x, y) 在單連通域 G 內(nèi),(1),(2),的值與路徑無關(guān)，只與起點(diǎn) A 與終點(diǎn) B 有關(guān)。,(3),(4),具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 則下列四命題等價(jià):,證明：,設(shè)G內(nèi)閉曲線 L由,A,B,L1,L2,G,即曲線積分與路徑無關(guān)，只與 A, B 點(diǎn)有關(guān)。,積分與路徑無關(guān)，僅與起點(diǎn),.,.,P, Q 有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，,對 G 內(nèi)任一條閉曲線 L，其所圍區(qū)域,由格林公式：,說明：,(1),常用 (4),來判定 (1)、(2)、(3) 的成立。,(2),.,.,(3),四個(gè)等價(jià)命題只適用于單連通域，,不適用于多連通域。,例：,在閉區(qū)域 D 上，,多連通域,x,o,y,D,。,在此 D 上四個(gè)命題不再等價(jià).,例 題,例1：,證明：,與路徑無關(guān)，并求,證：,積分與路徑無關(guān)。,.(1, -1),.(1, 1),例2：,計(jì)算,積分與路徑無關(guān)。,解：,例3：,是某個(gè)函數(shù)的全微分，并求出它的一切原函數(shù)。,證：,例4：,其中：(1) C1不包圍也不通過原點(diǎn)的任意,無重點(diǎn)閉曲線。,(2) C2以原點(diǎn)為中心的正向單位圓。,(3) C3包圍原點(diǎn)的任意無重點(diǎn)正向閉曲線。,解：,除原點(diǎn)外，,(1) C1 不包圍也不通過原點(diǎn)的任意無重點(diǎn)閉曲線,即所圍閉區(qū)域 D1為單連通域，,在 D1 上, 都有,(2) C2 以原點(diǎn)為中心的正向單位圓,D1,D2,1,C1,C2,在(0,0)點(diǎn),P, Q 無一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，,不可用等價(jià)命題！,由定義求：,D3,C2,C3,(3) C3 包圍原點(diǎn)的任意無重點(diǎn)正向閉曲線。,D3 中含有 P, Q 的不連續(xù)點(diǎn)(原點(diǎn)),為排除原點(diǎn)，,為邊界曲線的平面區(qū)域,上, 恒有,C2 為圓周(取如圖方向)。,加輔助線 C2，,課 外 作 業(yè),習(xí)題12 3(A),3(2), 4(1, 2), 5(2), 6(2),1(2, 3), 3, 5,習(xí)題12 3(B),4. 對面積的曲面積分,（又稱第一類曲面積分）,一、對面積的曲面積分的概念與性質(zhì),1. 引例,求曲面型構(gòu)件的質(zhì)量。,設(shè)有一張曲面, 其邊界曲線是分段光 滑的閉曲線, 且曲面光滑, 面密度 (x, y, z) 在上連續(xù)，求曲面的質(zhì)量。,x,y,z,0,(1) 任分為 n 塊小曲面,(2) 任取一點(diǎn),則小曲面的質(zhì)量：,(3),(4),.,2. 定義,(1),(2),(3),(4),則稱此極限值為f (x, y, z)在曲面上,對面積的曲面積分。,若,記作, 積分曲面,dS 曲面面積元素,可見，曲面形構(gòu)件的質(zhì)量：,又稱為第一類曲面積分，,說明：,(1),f (x, y, z) 雖為三元函數(shù)，但點(diǎn)(x, y, z)被,限制在曲面上, 變量 x, y, z 不相互獨(dú)立，,而依賴于曲面的方程。,(2),(3),若 f (x, y, z) 在光滑曲面 上連續(xù)，則,上述曲面積分存在。,(4),其性質(zhì)與第一類曲線積分相仿。,特別，,若是閉曲面, 則記作,二、對面積的曲面積分的計(jì)算法,設(shè)曲面 ：z = z (x, y),(1),(2),(3),z = z(x, y) 在Dxy 上具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)；,f (x, y, z) 在光滑曲面上連續(xù)；,同理：,例1：,內(nèi)部的部分。,把1 投影到 xoy 平面