數(shù)學(xué)：2.2《直接證明與間接證明》素材(新人教A版選修2-2).doc

例說綜合法與分析法所謂綜合法，是指“由因?qū)Ч钡乃季S方法，即從已知條件出發(fā)，不斷地展開思考，去探索結(jié)論的方法。綜合法的思維過程的全貌可概括為下面形式：“已知可知可知結(jié)論”。所謂分析法，是指“執(zhí)果索因”的思維方法，即從結(jié)論出發(fā)，不斷地去尋找需知，直至達(dá)到已知事實(shí)為止的方法。分析法的思維過程的全貌可概括為下面形式：“結(jié)論需知需知已知”。 例1設(shè)a、b是兩個正實(shí)數(shù)，且ab，求證： 證明一：(分析法) 要證+成立， 只需證(a+b)( -ab+)ab(a+b)成立， 即需證-ab+ab成立。(a+b0) 只需證-2ab+0成立， 即需證0成立。 而由已知條件可知，ab，有a-b0，所以0顯然成立，由此命題得證。 證明二：(綜合法)ab，a-b0，0，即-2ab+0 亦即-ab+ab 由題設(shè)條件知，a+b0，(a+b)( -ab+)(a+b)ab 即+，由此命題得證。高考資源網(wǎng)在實(shí)際證題過程中，分析法與綜合法是統(tǒng)一運(yùn)用的，把分析法和綜合法孤立起來運(yùn)用是脫離實(shí)際的。沒有分析就沒有綜合；沒有綜合也沒有分析。問題僅在于，在構(gòu)建命題的證明路徑時，有時分析法居主導(dǎo)地位，綜合法伴隨著它；有時卻剛剛相反，是綜合法導(dǎo)主導(dǎo)地位，而分析法伴隨著它。特別是，對于那些較為復(fù)雜的數(shù)學(xué)命題，不論是從“已知”推向“未知”，或者是由“未知”靠攏“已知”都有一個比較長的過程，單靠分析法或綜合法顯得較為困難。為保證探索方向準(zhǔn)確及過程快捷，人們又常常把分析法與綜合法兩者并列起來使用，即常采用同時從已知和結(jié)論出發(fā)，尋找問題的一個中間目標(biāo)。從已知到中間目標(biāo)運(yùn)用綜合法思索，而由結(jié)論到中間目標(biāo)運(yùn)用分析法思索，以中間目標(biāo)為橋梁溝通已知與結(jié)論，構(gòu)建出證明的有效路徑。上面所言的思維模式可概括為如下圖所示：綜合法與分析法都是邏輯推理的思維方法，它對于培養(yǎng)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性極為有用。把分析法與綜合法兩者并列起來進(jìn)行思維，尋求問題的解答途徑方式，就是人們通常所說的分析、綜合法。下面舉一具體例子來加以說明。例2、若a,b,c是不全相等的正數(shù)，求證：lg+ lg+ lglga+lgb+lgc。證明：要證lg+ lg+ lglga+lgb+lgc，只需證lglg（abc），只需證abc。但是，。且上述三式中的等號不全成立，所以，abc。因此lg+ lg+ lglga+lgb+lgc。注：這個證明中的前半部分用的是分析法，后半部分用的是綜合法。高考資源網(wǎng)談綜合法與分析法的應(yīng)用綜合法與分析法是數(shù)學(xué)中的重要方法，它是求解與分析數(shù)學(xué)問題思維基礎(chǔ)，很多看似較難的問題通過合理、準(zhǔn)確的使用綜合法與分析法，都能使結(jié)論快速產(chǎn)生；本文再談此兩法的應(yīng)用，進(jìn)一步揭示兩法的應(yīng)用技巧，望對你的學(xué)習(xí)能有所幫助；1、使用綜合法綜合法是從已知出發(fā)，經(jīng)過逐步推理，最后導(dǎo)出所要達(dá)到的結(jié)論；可以看出，若使用綜合法求解問題，一定要將條件與結(jié)論結(jié)合起來，看看條件、再看看結(jié)論，如何架好從條件通往結(jié)論的橋梁？例1、設(shè)，求證：證明：由于時，得那么，上述第一個不等式中等號成立的條件為：故原不等式成立。點(diǎn)評：本題的證明不重要，產(chǎn)生這個證明方法的思維過程很重要；你知道是怎么產(chǎn)生的嗎？是綜合法的“功勞”，請看：欲從左邊證到右邊，必須消去；如何消？只有經(jīng)過平方，才能將從根號中“解救”出來，“解救”出來后才有消去的可能；于是在基本不等式中開始“搜索”與平方有關(guān)的不等式，慢慢的就“浮出水面”，解法自然也就誕生了；2、使用分析法分析法是從結(jié)論出發(fā)，逐步尋找使結(jié)論成立的充分條件，直到找到一個明顯成立的條件，這個條件可以是已知條件、公理、定理、定義等；可以看出，若使用分析法求解問題，對結(jié)論的簡化與轉(zhuǎn)化很重要，它是向條件靠攏的重要措施；例2、設(shè)為任意三角形邊長，試證：證明：由于欲證，只需，只需證，即；只需證且；先看，只需證，即，顯然，此式成立，再看，只需證；只需證；只需證且且，由于為三角形邊長，顯然，結(jié)論成立；故點(diǎn)評：本題從表面上看不易“征服”，但通過分析法將結(jié)論逐步轉(zhuǎn)化，由看上去很難“接受”的，轉(zhuǎn)化為較為親切的，顯然，這比原題的結(jié)論看上去要“舒服”多了，當(dāng)然，求解也就順暢了很多；3、綜合法與分析同時使用綜合法與分析法是數(shù)學(xué)中的兩個“大法”，在求解具體數(shù)學(xué)問題時，不是孤立的，往往它們會聯(lián)手出擊；例3、試證：如果一個角的兩邊分別平行于另一個角的兩邊，并且方向相同，那么這兩個角相等；已知：如圖，與中，且，且兩角的方向相同；求證：分析：（1）與不可能用平行線的性質(zhì)，只有考慮構(gòu)造兩個全等的三角形，再設(shè)法證明兩三角形全等；為此，分別在上截取，連結(jié)，得到；（2）欲證兩三角形全等，只需證；（3）只需證是平行四邊形，也就是平行且等于；（4）只需證“平行且等于”且“平行且等于”（5）只需證與均為平行四邊形，顯然這是一個成立的結(jié)論；于是：證明：由于是平行四邊形，則平行且等于；同理，得平行且等于；于是平行且等于，那么是平行四邊形，得在與中，由于、且，因此，全等于，從而；點(diǎn)評：分析法找思路較為自然，容易產(chǎn)生解題思路與方法，但由于是“逆行”往往敘述較為復(fù)雜；而綜合法產(chǎn)生的解法往往又顯得很突然，一時不知此法由何而來；于是，二者結(jié)合，互相彌補(bǔ)便成了大家提倡的，即“用分析找思路，用綜合法寫過程”是十分行之有效方法；好了，對于綜合法與分析法，本文就談到此，你看后有收獲嗎？直接證明與間接證明教材精析在前面我們已經(jīng)知道合情推理和演繹推理都是根據(jù)某些已知判斷來確定一個新的判斷的思維過程.其中演繹推理在大前提小前提都正確的情況下所得的結(jié)論一定正確，而合情推理（歸納、類比等）所猜測得到的結(jié)論不一定正確，必須通過邏輯（演繹）推理的方式加以證明.下面就研究兩類基本的證明方法直接證明與間接證明.一、綜合法和分析法是直接證明中最基本的兩種證法，也是證明數(shù)學(xué)問題時最常用的思維方式.1.綜合法：利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、公理、定理等，經(jīng)過一系列的推理論證，最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立的證明方法.又叫順推證法或由因?qū)Ч?其推理方式可用框圖表示為：其中表示已知條件、已有的定義、公理、定理等，表示所要證明的結(jié)論，表示中間結(jié)論綜合法常用的表達(dá)格式為：，；又，；，；又，2分析法：從要證明的結(jié)論出發(fā)，對其進(jìn)行分析和轉(zhuǎn)化，逐步尋求使它成立的充分條件，直到最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個明顯成立的條件（已知條件、定理、定義、公理等）為止的證明方法.又叫逆推證法或執(zhí)果索因法.其推理方式可用框圖表示為：其中表示要證明的結(jié)論，分別表示使成立的充分條件，表示最后尋求到的一個明顯成立的條件分析法常用的表達(dá)格式為：要證，只需證，只需證，只需證，由于顯然成立，所以成立綜合法、分析法都是直接利用已知條件或定義、公理、定理等與所要證明的結(jié)論之間的關(guān)系推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論或?qū)で蟪鍪顾闪⒌某浞謼l件，故均屬于直接證法.二、反證法是間接證明的一種基本方法.對于某些看來明顯成立而又不便知道根據(jù)什么去推導(dǎo)（綜合法），甚至難于尋求到使之成立的充分條件（分析法）的“疑難”證明題，一般地，可在假設(shè)原命題不成立的前提下，經(jīng)過正確的邏輯推理，最后得出矛盾，因此說明假設(shè)錯誤，從而證明了原命題成立.這種證明方法叫做反證法.簡易邏輯部分中四種命題間的關(guān)系領(lǐng)悟得好的同學(xué)不難悟出反證法的原理不外乎“互為逆否命題的兩個命題真假一致”，即：“”“”用反證法證題的格式一般為：假設(shè)不成立，若，則，這與已知（定義、公理、定理等）相矛盾，假設(shè)不成立，成立1綜合法的每一步都是三段論（或其簡略形式），大前提一定要正確，否則證明易出錯.2.使用分析法時一定要注意對所要證明的結(jié)論是以“分析”的語氣對待的，因而證明格式上應(yīng)體現(xiàn)出“分析”探討性（“要證，只需證”），而非直接肯定結(jié)論.例1求證錯證：，顯然原不等式成立錯因：對分析法的原理不理解，以至于將所要證明的結(jié)論當(dāng)成已知條件來用了.正：只需將“”改為“要證”，“” 改為“只需證”.3.綜合法和分析法往往不是單一地使用的，而是結(jié)合兼用的，特別是較為復(fù)雜的證明（教科書例3）.一般是先用綜合法由已知條件P推出一個中間結(jié)論M，再用分析法探求，發(fā)現(xiàn)M正是使所要證結(jié)論Q成立的充分條件.證明過程用框圖1表示；或者先用分析法尋求出使所要證明的結(jié)論Q成立的充分條件M，再用綜合法由已知條件P推出M.證明過程用框圖2表示. 或例2 教科書中對例3的證法是先綜合后分析，證明過程如框圖的形式；我們還可以改用框圖2的形式，先分析后綜合來證.證明：要證，只需證，即證即證，即證另一方面，因?yàn)?，所以將已知中的代入上式，即得與相同，于是問題得證4.綜合法與分析法當(dāng)所用的證據(jù)相同時形式上是互逆的，因此