學(xué)科教育論文-線性代數(shù)教學(xué)方法的實踐與總結(jié).doc

學(xué)科教育論文-線性代數(shù)教學(xué)方法的實踐與總結(jié)【摘要】本文給出了線性代數(shù)教學(xué)體系的設(shè)計,及雙基教學(xué)方法的應(yīng)用?！娟P(guān)鍵詞】線性代數(shù)雙基教學(xué)實踐與總結(jié)一、引言數(shù)學(xué)作為最古老的學(xué)科之一,對于人類社會的發(fā)展、科學(xué)的進步起著舉足輕重的作用,隨著知識的細化,數(shù)學(xué)領(lǐng)域也有了許多分支,線性代數(shù)就是其中的一支。而如今它作為一門基礎(chǔ)課在高等學(xué)府的各個專業(yè)里幾乎都有開設(shè),這也足以顯示它的重要性。線性代數(shù)以其理論上的嚴謹性、方法上的靈活多樣性以及與其它學(xué)科之間的滲透性,使得它在自然科學(xué)、社會科學(xué)及工程技術(shù)等許多領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用。并且線性代數(shù)對學(xué)生邏輯思維能力、抽象思維能力及對事物認知能力的培養(yǎng)也是至關(guān)重要的。另外線性代數(shù)可為解決實際問題提供重要方法,因為在現(xiàn)代研究中我們不僅要研究單個變量之間的關(guān)系,還要研究多個變量之間的關(guān)系,而各種實際問題可以線性化,由于計算機的發(fā)展,線性化了的問題又可以計算出來,線性代數(shù)正是解決這些問題的有力工具。同時線性代數(shù)也是學(xué)習其它許多課程不可缺少的基本工具。因此線性代數(shù)這門課對學(xué)生今后的發(fā)展起著一定的基礎(chǔ)性作用。這就需要教師在教這門課時,要給出教好的教學(xué)體系的設(shè)計,結(jié)合適當?shù)慕虒W(xué)方法,以達到較好的教學(xué)效果。本文就自己對這門課幾年的教學(xué)實踐,總結(jié)了一套切實可行的教學(xué)方法。二、課程基本內(nèi)容及其組織線性代數(shù)反映在大綱的基本內(nèi)容主要是行列式、矩陣、線性方程組、向量空間、二次型這五塊,有關(guān)的理論和算法體系縱橫交錯,形成網(wǎng)絡(luò)狀結(jié)構(gòu),這就需要在內(nèi)容的組織上有一定的設(shè)計,根據(jù)切入點和推進思路,由線性方程組切入,與中學(xué)代數(shù)直接銜接,學(xué)生會比較容易入門。然后漸次提出新問題、引進新工具、克服新困難,這樣來延伸思路,將線性關(guān)系和線性結(jié)構(gòu)的靈魂滲透其中,引導(dǎo)學(xué)生在學(xué)習算法的同時體會背后的關(guān)系和理論,一步一步登上線性空間、集成思維的新境界,使得他們的思維層次得以提升。圍繞這樣一個主導(dǎo)思路來組織內(nèi)容,會更有利于教學(xué)效果的提升。三、教學(xué)體系的設(shè)計行列式、矩陣是線性代數(shù)最為重要的內(nèi)容,在整個教學(xué)中,以行列式、矩陣作為計算工具,向量空間作為思維工具,用它們?nèi)ソ鉀Q多元一次的線性方程組和多元二次的二次型。以下給出對各章的安排。第一章回顧中學(xué)解方程組的方法,由消元法給出二階三階行列式的定義,通過對三階行列式的剖析,結(jié)合n級排列的逆序數(shù)給出n階行列式的定義,然后依據(jù)n階行列式的定義推導(dǎo)出行列式的性質(zhì),最后引出Cramer法則,指出這是對多元問題作整體處理的新思路,是處理手段和思維方式的提升。第二章對于不符合Cramer法則條件的方程組,由整體處理思路引出矩陣,主要介紹矩陣的計算、分塊矩陣、逆矩陣的求法。第三章重點學(xué)習矩陣的初等變換,矩陣的秩,講解這些知識的同時結(jié)合解方程的方式,第四章這些算法蘊含著怎樣的關(guān)系?方程組的不同類型、矩陣的不同等價標準形與向量之間的關(guān)系又如何?引出向量組的相關(guān)性與秩,從向量組上升到向量空間。這樣解線性方程組的必要理論都具備了,接著完整講解線性方程組理論,這時,算法不再重要,重點是理解線性方程組類型的識別及通解和解集的結(jié)構(gòu)。這是學(xué)習線性代數(shù)的第一階段,對矩陣和向量空間的要求以解線性方程組夠,也使學(xué)生比較容易接受和推進。第一階段要達到兩個目的:第一,基本掌握線性代數(shù)中的三大算法(行列式、矩陣、線性方程組),具備整體處理多元一次問題的能力；第二,開始接觸向量的線性相關(guān)性和線性變換,有了基本概念,尤其是有了秩這個深刻概念,為下一階段做好鋪墊。第二階段以向量的線性關(guān)系和空間的線性結(jié)構(gòu)為主線來推進。第五章主要是延伸矩陣理論,包括討論方陣的特征值與特征向量,由初等變換引向相似變換、合同變換、正交變換,討論四個變換的關(guān)系、性質(zhì)、用途的異同,以及方陣的對角化問題,使學(xué)生對線性變換和矩陣的理解再大大前進一步。接著,著手解決多元二次型問題,主要是標準化和正定性兩個問題。學(xué)到這個階段,學(xué)生就能教好地領(lǐng)略到線性代數(shù)的強大作用,學(xué)生的思維能力和邏輯推理、數(shù)學(xué)表述會有很大提升,這就基本上達到了這門課的教學(xué)目的,實現(xiàn)了它的教學(xué)理念。四、雙基教學(xué)方法的應(yīng)用中國數(shù)學(xué)教育主要以雙基教學(xué)為主要特征,數(shù)學(xué)雙基教學(xué)的定義是:數(shù)學(xué)基本知識和基本技能。但“數(shù)學(xué)雙基教學(xué)”作為特定的名詞,其內(nèi)涵不只限于雙基本身,還包括在雙基之上的發(fā)展。1.雙基教學(xué)的理論特征(1)記憶通向理解。理解是記憶的綜合,數(shù)學(xué)雙基強調(diào)必要的記憶。例如,行列式性質(zhì)的記憶,使之成為行列式計算的直覺和條件反射。但理解不能孤立地進行,對一些行列式的計算,能夠理解的當然要操練,一時不能理解的也要操練,在操練中逐步加深理解。(2)速度贏得效率。數(shù)學(xué)教育理論認為,只有把基本的運算和基礎(chǔ)的思考,化為“直覺”,能夠不假思索地進行條件反射,才能贏得時間去做更高級的數(shù)學(xué)思維活動。比如行列式和矩陣的計算是線性代數(shù)的基礎(chǔ)部分,這個基礎(chǔ)打好了我們就能去很快的熟練掌握線性方程組的解法和對稱矩陣的對角化等難度較高的知識點。(3)嚴謹形成理性。中國的數(shù)學(xué)學(xué)習,則注重理性的思維能力。人的生活和工作都需要這種能力,所以才顯出了學(xué)習數(shù)學(xué)的重要性,而要學(xué)好數(shù)學(xué)就必須有嚴謹?shù)闹螌W(xué)態(tài)度。(4)重復(fù)依靠變式。中國的數(shù)學(xué)教育重視“變式練習”,在變化中進行重復(fù),在重復(fù)中獲取變化,概念變式、過程變式、問題變式等多種方式是數(shù)學(xué)雙基教學(xué)的有機組成部分。2.雙基教學(xué)的層次(1)雙基基樁建設(shè)。行列式的性質(zhì)和計算、矩陣的運算、逆矩陣的求法、矩陣的初等變換是整個線性代數(shù)的“基樁”,必須打得堅實,形成條件反射,熟練得成為直覺。(2)雙基模塊教學(xué)。雙基的基本呈現(xiàn)方式是“模塊”。首先是主要知識點經(jīng)過配套知識點的聯(lián)結(jié),成為一條“知識鏈”,然后通過“變式”形成知識網(wǎng)絡(luò),再經(jīng)過數(shù)學(xué)思想方法的提煉,形成立體的知識模塊。以解線性方程組的模塊為例。首先需要具備行列式的性質(zhì)和計算,矩陣的初等變換的“基樁”技能。然后逐步形成以矩陣的秩為主的知識鏈,接著通過系數(shù)矩陣和增廣矩陣的秩來討論線性方程組是否有解以及有解時是否有唯一解的問題。雙基模塊教學(xué)有很多行之有效的經(jīng)驗，例如使用典型例題，通過變式形成問題串，然后提高到數(shù)學(xué)思想方法的高度加以總結(jié)。(3)雙基平臺。在掌握了雙基的模塊之后，必須尋求雙基的發(fā)展，這便是“雙基平臺”。雙基平臺具有以下特征?；A(chǔ)性：直接根植于雙基，是雙基模塊的組合、深化與發(fā)展；綜合性：雙基平臺跨越多個知識點，綜合幾個“雙基模塊”，形成數(shù)學(xué)知識之間的相互聯(lián)結(jié)。發(fā)展性：雙基平臺主要為數(shù)學(xué)解題服務(wù)，能夠居高望遠，看清一些數(shù)學(xué)問題的來龍去脈，獲得解題的策略。例如，求一個正交變換x=py，把二次型