應(yīng)用復(fù)分析教學(xué)課件PPT.ppt

1.2 復(fù)平面上的點集與拓撲,1 區(qū)域,2 jordan曲線、連通性,1.2.1 區(qū)域,1. 鄰域,z0是復(fù)平面內(nèi)的定點, 滿足不等式|z-z0|0. z0的鄰域?qū)嶋H 上是以z0為中心, d為半徑的圓的內(nèi)部所有點組 成的點集, 簡記為b(z0,d).,由滿足不等式0|z-z0|d的一切點所組成的 集合稱為z0的去心鄰域 .,滿足不等式|z|r (r0)的一切點(包括無窮 遠點)的集合稱為無窮遠點的鄰域.,用r|z|+表示無窮遠點的去心鄰域.,2. 內(nèi)點,設(shè)e是復(fù)平面上的點集, z0是一個定點, 若存 在z0的一個鄰域, 使得該鄰域內(nèi)的一切點均屬于 e, 則稱z0是e的內(nèi)點. 即存在r 0, 滿足,3. 外點,4. 邊界點,設(shè)e是復(fù)平面上的點集, z0是一個定點, 若存 在z0的一個鄰域, 使得在此鄰域內(nèi)的一切點均不 屬于e, 則稱z0是e的外點. 即存在r 0, 滿足,設(shè)e是復(fù)平面上的點集, z0是一個定點, 若z0 的任何鄰域內(nèi)都含有屬于e的點和不屬于e的 點, 則稱z0是e的邊界點 .,顯然, e的內(nèi)點屬于e, 而外點不屬于e, 但 邊界點既可能屬于e, 也可能不屬于e.,5. 開集,設(shè)g是復(fù)平面上的點集, 如果g 內(nèi)每一點都 是它的內(nèi)點,則稱g 為開集.,例1.5 設(shè)z0是定點, r 0是常數(shù), 則z0為中心, 以r為半徑的圓的內(nèi)部點, 即滿足不等式 |z-z0|r 的一切點z所組成的點集 (z0的r鄰域) 是開集.,設(shè)d是復(fù)平面上的點集，如果滿足以下兩個 條件:,(1) d是開集；,(2) d內(nèi)的任何兩點z1和z2都可以用一條完全 在d內(nèi)的折線, 把z1和z2連接起來(具有這個性質(zhì) 的點集叫做連通的).,則稱d是復(fù)平面上的區(qū)域.,簡單地說, 連通開集稱為區(qū)域.,基本概念的圖示,區(qū)域,鄰域,邊界點,邊界,為閉區(qū)域, 記做,例如, 滿足不等式 |z-z0| r 和r |z-z0|r的一 切點所組成的點集都是有界的閉區(qū)域, 滿足不等 式 |z|r 的一切點所組成的點集是無界的閉區(qū)域.,如果一個平面點集完全包含在原點的某一 個鄰域內(nèi), 那么稱它是有界的. 不是有界集的點 集叫做無界集.,由區(qū)域d和它的邊界d所組成的點集，稱,(1) 圓環(huán)域:,例1.6 判斷下列區(qū)域是否有界?,(2) 上半平面:,(3) 角形域:,(4) 帶形域:,答案,(1)有界; (2) (3) (4)無界.,1.2.2 jordan曲線、連通性,(1) 連續(xù)曲線、 jordan曲線,參數(shù)方程 x=x(t), y=y(t) (atb) 在xoy平面 上表示一條曲線c. 把xoy平面視為復(fù)平面時, 曲 線c的參數(shù)方程可表示為,如果x=x(t), y=y(t) (atb)為連續(xù)函數(shù)時, 則 稱曲線c為連續(xù)曲線.,曲線c 在復(fù)平面上的參數(shù)方程不僅確定了 曲線的形狀, 實際上還給出了曲線的方向, 也就 是說, 曲線是沿著t 增加的方向變化的.,復(fù)平面上對應(yīng)于z(a)=x(a)+iy(a)的點稱為曲 線c的起點, 對應(yīng)于z(b)=x(b)+iy(b)的點稱為曲線 c 的終點.,若曲線c的起點與終點重合, 即z(a)= z(b), 則稱c是閉曲線.,例如, z=z(t)=r(cost+isint) (0t2p)是一條閉 曲線, 因為z(0)=z(2p)=r.,對曲線c的參數(shù)方程,做變量代換可得,這兩個方程所確定的曲線形狀相同, 起點和終點互 易, 從而方向相反.,用c 表示與c形狀相同、方向相反的曲線.,如果t1t2, 有z(t1)=z(t2), 則稱 z(t1)=z(t2) 是曲線 z=z(t)的重點.,如果曲線c: z=z(t) (atb) 除起點與終點外無 重點,即除 t1=a, t2=b 之外, 如果t1t2, 有z(t1)z(t2), 則稱曲線c是簡單曲線.,連續(xù)的簡單閉曲線稱為jordan曲線.,任何jordan曲線c將 平面分為兩個區(qū)域, 即內(nèi) 部區(qū)域(有界)與外部區(qū)域 (無界), c是它們的公共邊界.,內(nèi)部,外部,邊界,關(guān)于曲線方向的說明:,設(shè)c 為平面上給定的一條連續(xù)曲線,如果選 定 c 的兩個可能方向中的一個作為正向, 則稱 c為有向曲線.,如果從a 到 b 作為曲線 c 的正向, 那么從 b 到 a 為 曲線 c 的負向, 就是c.,除特殊聲明外, 正向總是指從起點到終點的方向.,jordan曲線c有兩個方向, 當點z沿著c 的 一個給定方向變化時, 若c的內(nèi)部出現(xiàn)在點z前 進方向的左側(cè), 就規(guī)定這個方向是正的; 否則 就說是負的.,如果沒有特別 說明, 約定jordan 曲線的正向為這條 曲線的方向.,對于圓周曲線可以簡單地說, 逆時針方向 為曲線的正向, 順時針方向為曲線的負向.,(2) 光滑曲線,如果曲線c參數(shù)方程中的x(t)和y(t)都在a,b 上存在連續(xù)的導(dǎo)函數(shù), 且對任何ta,b, 都有,稱c是一條光滑曲線.,由幾段依次相接的光滑曲線所組成的曲線 稱為分段光滑曲線.,能求出長度的曲線稱為可求長曲線. 分段光 滑曲線是可求長曲線.,光滑曲線,分段光滑曲線,(3) 單連通區(qū)域與多連通區(qū)域,設(shè)d是復(fù)平面上的一個區(qū)域, 如果位于d內(nèi) 的任何jordan曲線的內(nèi)部區(qū)域也都包含于d, 則 稱d為單連通區(qū)域. 若區(qū)域d不是單連通區(qū)域, 則 稱它為多連通區(qū)域.,單連通域,多連通域,練習(xí) 1 指出下列不等式所確定的點集, 是否有 界? 是否區(qū)域? 如果是區(qū)域, 單連通的還是多連通的?,無界的單連通區(qū)域(如圖).,解 (1) 當 時,是角形域, 無界的單連通域(如圖).,周外部, 無界多連通區(qū)域(如圖).,是以原點為中心, 半徑為 的圓,表示到1, 1兩點的距離之,表示該橢圓的內(nèi)部, 這是有界的單連通區(qū)域(如圖).,和為定值 4 的點的軌跡,因為,所以這是橢圓曲線.,練習(xí) 2 滿足下列條件的點集是否區(qū)域? 如果 是區(qū)域, 是單連通區(qū)域還是多連通區(qū)域?,這是一條平行于實軸的直線,不是區(qū)域.,它是單連通區(qū)域.,這是以為 右邊界的半,平面, 不包括直線,它是多連通區(qū)域.,這是以 為圓心, 以2為,半徑的去心圓盤.,1.3 復(fù)變函數(shù)的極限與連續(xù)函數(shù),1 復(fù)變函數(shù)的定義,2 復(fù)變函數(shù)的極限,3 復(fù)變函數(shù)的連續(xù)性,1.3.1 復(fù)變函數(shù)的定義,定義1.1 設(shè)e是復(fù)平面上的點集, 若對任何 ze, 都存在唯一確定的復(fù)數(shù)w和z對應(yīng), 稱在 e 上確定了一個單值復(fù)變函數(shù)，用w=f (z)表示.,e 稱為該函數(shù)的定義域.,在上述對應(yīng)中, 當ze所對應(yīng)的w不止一個 時, 稱在e上確定了一個多值復(fù)變函數(shù).,數(shù), 而,例如, w=|z|是以復(fù)平面c為定義域的單值函,是定義在c 0上的多值函數(shù).,以后不特別申明時，所指的復(fù)變函數(shù)都是單 值函數(shù).,因為z=x+iy和w都是復(fù)數(shù), 若把w記為u+iv時, u與v也是z的函數(shù), 因此也是 x 和 y 的函數(shù). 于是, 可以寫成,其中u(x,y)和v(x,y)都是實變量的二元函數(shù).,例如: w=z2 是一個復(fù)變函數(shù). 令,因為 于是函數(shù)w=z2對,應(yīng)于兩個二元實函數(shù),令 于是,反之, 如果,定義1.2 設(shè)復(fù)變函數(shù)w=f(z)在z0的某個去心 鄰域內(nèi)有定義, a是復(fù)常數(shù). 若對任意給定的e 0, 存在d 0, 使得對一切滿足0|z-z0|d 的z , 都有,成立, 則稱當z趨于z0時, f(z)以a為極限，并記做,或,注意: 定義中zz0的方式是任意的.,1.3.2 復(fù)變函數(shù)的極限,例1.7 當 z0 時, 函數(shù),極限不存在.,事實上, 當z沿直線y=kx趨于零時,該極限值隨k值的變化而變化, 所以極限,不存在.,定義1.3 設(shè) f (z)在z0的鄰域內(nèi)有定義, 且,則稱f(z)在z0處連續(xù).,若f(z)在區(qū)域d內(nèi)的每一點都連續(xù)，則稱f(z) 在區(qū)域d上連續(xù).,關(guān)于函數(shù)f(z)在連續(xù)曲線c上的連續(xù)性和閉 區(qū)域 上的連續(xù)性, 只要把上述定義中的z限制 在c或 上.,1.3.3 函數(shù)的連續(xù)性,結(jié)論：多項式,在復(fù)平面內(nèi)處處連續(xù). 有理分式,在復(fù)平面內(nèi)除分母為零的點之外, 處處連續(xù).,都是復(fù)常數(shù).,定理1.4 設(shè)f (z)在有界閉區(qū)域 ( 或有限,長的連續(xù)曲線c )上連續(xù)，則 f (z)在 ( 或c )上,有界, 即存在m0, 當 或 zc時，有,函數(shù)有界性的定理.,復(fù)數(shù)可以用平面上的點表示，這是復(fù)數(shù)的幾 何表示法的一種，另外還可以用球面上的點表示 復(fù)數(shù).,設(shè)s是與復(fù)平面c切于原點o的球面. 過原點o 做垂直于平面 c的直線, 與s的另一交點為n. 原 點o稱為s的南極(s極), 點n稱為s的北極(如圖).,1.4 擴充復(fù)平面及其相關(guān)問題,球面上的點, 除去北極 n 外, 與復(fù)平面內(nèi) 的點之間存在著一一對應(yīng)的關(guān)系. 我們用球面 上的點來表示復(fù)數(shù).,球面上的北極n不能對應(yīng)復(fù)平面上的定點, 當球面上的點離北極 n 越近,它所表示的復(fù)數(shù) 的模越大.,規(guī)定: 復(fù)數(shù)中有一個唯 一的 “無窮大” 與復(fù)平面上 的無窮遠點相對應(yīng), 記作 .,球面上的北極n就是復(fù) 數(shù)無窮大的幾何表示.,不包括無窮遠點的復(fù)平面稱為有限復(fù)