第一章函數(shù)、極限與連續(xù)答案.doc

1 習(xí)題 1.1 （A） 一 選擇 111 BDCAA BBCCD B 二 填空 1. ；2. ；3. ；4. ，= 2 ，= 0 ；1 2 x 2 1 1 1 xx 0 , 3 , 1 0f1f 5. ；6. ， ；7. ；8. 2 1 , 1 xff 1 (1) x x x xfff(0,1)x x 1lnxy 三 解答 1(1) 偶函數(shù)；(2) 非奇函數(shù)又非偶函數(shù)；(3) 偶函數(shù)；(4) 奇函數(shù)；(5) 非奇函數(shù)又非偶函數(shù)；(6) 偶函數(shù) 2證： t tt tt f 1 552 1 2 1 2 2 tf 3求下列函數(shù)的反函數(shù) (1) 解：反函數(shù)為 2 log 1 x y x (2) 解：反函數(shù)為 2 1 arcsin1 2 1 arcsin1 x x y 4. 解：(1) (2) 0, 1 0, 2 x x y 0, 1 0, 1 xx xx y （B） 一 選擇 14 DDAA 二 填空 1；2 0 或1 ， ；, 0xx , 10,1 x , 10 , 1 3；4；5=；6。 xgf 10 ,0 0,0 6 ,0 xx x x x e, 1z yx xy xf 0, 0, 0 0, xx x xx 三 解答與證明 1解：由于，且由假設(shè)，故。 00 201202012ffff 00 f20121f 2證：，有，由于的單增性，可知Rx xxfx xf ，又，故，同理可得，( )( )fxff x xfx xff x ff xx 2 于是得 xxffx 3解：， 0, 1 0, 0 0, 1 1, 1 1, 0 1, 1 x x x xg xg xg xgf 1, 1, 1 1, 1 xe x xe exfg xf 4解： yzzy yzzy z z y y zy 1 1 lg 1 1 lg 1 1 lg 故結(jié)論成立。 yzzy yzzy yz zy yz zy yz zy 1 1 lg 1 1 1 1 lg 1 習(xí)題 1.21.3 （A） 一 選擇 15 CBBAC 二 證明 1(1) 2 3 12 13 lim n n x 證：，要使，只要，取，則當(dāng)時，恒有0 Ann n n 5 122 5 2 3 12 13 2 5 n 5 NNn ，即。 2 3 12 13 n n 2 3 12 13 lim n n x (2) 01lim nn n 證：，因，要使，只要，取0 1 1 1 nn nn n nn 2 1 1 2 2 1 n ，則當(dāng)時，恒有，即。 2 2 1 NNn nn101lim nn n (3) 19990lim 個n n 證：，因 n n 10 1 199990 ，要使，只要，即只要。取00 9999 1 n 個 n 10 1 1 10 logn ，則當(dāng)時，恒有，即。 1 10 logNNn 個n 9999019990lim 個n n 2(1) 0 1 sinlim 0 x x x 3 證：，因，要使，只要。，則當(dāng)時，恒有0x x x 1 sin x x 1 sinxx ，即。 x x 1 sin0 1 sinlim 0 x x x (2) 3 2 3 21 lim 2 2 x x x 證：，因，要使，要使，取，則當(dāng)0 22 2 3 1 3 2 3 21 xx x 3 2 3 21 2 2 x x 3 1 x 1 3 X 時，恒有，即。Xx 3 2 3 21 2 2 x x 3 2 3 21 lim 2 2 x x x (3)02lim 2 x x 證：，要使，只要，取，則當(dāng)時，恒有0 2x 2 20 x 2 20x ，即。 2x02lim 2 x x （B） 一 選擇 12 DC 二 證：不妨設(shè)，對，使，A x x 2 sinlim 0 2 1 00k 2 2 2 0 k ，但， ，而 2 3 2 2 0 k 1 2 2sin 2 2 2 2 sin k k 2 3 2 2 sin k 1 2 3 2sin k 1，-1 不能同時落在內(nèi)，故，當(dāng)時，極限不存在，同理可證： 2 1 , 2 1 AA x xf 2 sin 0x ，當(dāng)時的極限不存在。 x xf 2 sin 0x 習(xí)題 1.41.6 （A） 一 選擇 14 CACB 二 填空 1；2 0 ；3 ；4；5；6；7 2 ， -8 ；8 1b 2 3 3 4 50 3020 5 32 xab 4 1 ， 1 ；9 0 ， 6 ；10 2 。abab 三 計算題 1求下列極限 (1) 解：原式(2) 解：原式 2 1 m n xxx xxx mm nn x 021 021 1 lim (3) 解：原式(4) 解：原式1 1 1 1 1 lim x x x 1 7 1 cos 1 lim x x x x (5) 解：原式6) 解：原式 1931 100100 1001981 54 2 54 lim x x x 1 11 21 lim 2 1 xxx xx x (7) 解：原式(8) 解：原式2 sin sin2 lim 2 0 xx x x 1 2 2 sin lim 2 x x x (9) 解：令，原式txsin1 sin lim 0 t t x (10) 解：原式 2cossin (sinsin )(sinsin ) 22 lim2sinlimsin2 xaxa xaxa xaxa aa xaxa (11) 解：原式(12) 解：原式 2 e 1 2 0 11 0 lim 1 lim 1 x x x x x e e e x (13) 解：原式(14) 解：原式 sin 1 0 tan 0 lim1tan1 x x x xe k k x x e x 1 1lim 2 解： 故。 1 sin limlim 00 x x xf xx 11limlim 2 00 xxf xx 1lim 0 xf x 3解： 3 6 121 lim 3 21 lim 22 222 n n nnn n n n nn 2 1 6 1 12 lim 6 212 1 1 lim n nn n nn 5 4解： x xxx x 22 0 11 lim 222 2 2 0 2 lim x xxxxx xxxx 32 2 0 22 lim xxxx xx x 5證： 22 22222 111 2 nn n nnnnnnn 且，由夾逼定理知1lim 2 2 nn n n 1lim 2 2 n n n 1 1 2 11 lim 222 nnnn n n 6證：設(shè)， nn xxx 2,2, 1 , 2 , 1n 以下證明有上界；單增 n x n x （用歸納法證） 當(dāng)時，假定時，則1n22 1 xkn 2 k x 當(dāng)時，所以()1 kn22 1 nk xx2 n x, 2 , 1n 單調(diào)增加 n x 事實上由于，所以 nn nn nn nn nnnn xx xx xx xx xxxx 2 12 2 2 2 2 1 2 n x ，由，據(jù)極限存在準(zhǔn)則知存在。0 1 nn xx n n x lim （B） 一 選擇 110 CDDDA CDCDD 二 計算 1解：原式 2解：原式 2 (1) 1 2 lim 2 n n n n 4 1 4 1 lim 4 2 2 n nn n 3解： 03limlim 00 xxf xx ，故 33limlim 2 0101 xxf xx 33limlim 0101 xxf xx 3lim 1 xf x 4解：原式1 1 1 lim 2 2 x x x e e 5解：原式 1 4 2 sin lim 2 sinsin4 lim cos1sin2 lim 2 2 0 3 2 0 3 0 x x x x x x xx xxx 6求下列極限 6 (1) x x x cos2 2sin lim 4 解：原式 2 2 cos cossin lim cos2 cossin2 lim 44 x xx x xx xx (2) 解：原式 1 45 lim 1 x xx x 2 451 14 lim 1 xxx x x (3) xxxx x 22 lim 解：原式 1 1 1 1 1 2 lim 2 lim 22 xx xxxx x x x (4) cos 2 0 lim 1 3tan x x x 解：原式 2 2 3tancos 1 20 3tan 0 lim1 3tan1 xx x x xe (5) x e x x 1 lim 0 解：令，則，則 原式1 x et ln(1)xt 00 1 limlim1 1 ln(1) ln(1) tt t t t t (6) 解：原式 1 12 32 lim x x x x e x x x x x 12 12 2 12 12 2 1lim 7解：原式 2 2 22 2 111 41 411 limlim sinsin 1 tt ttt ttt xt ttt t 1 三 證明題 證： 222 111 limlim 111 23 n nxnx x n 222 222 32 11312 lim n n xn 2 ! 1131211312 lim n nn n 2 1 2 1 lim !2 !1!1 lim 2 n n n nn nn 2證： 先用數(shù)學(xué)歸納法證明有上界： n x 首先，由得 1 03,x 21111 13 0(3)(3). 22 xxxxx 7 又設(shè)則有 3 0(2), 2 n xn 1 13 0(3)(3). 22 nnnnn xxxxx 再證單調(diào)增：由 n x 1 (3)30 (2). nnnnnnnn xxxxxxxxn 有由單調(diào)有界準(zhǔn)則，存在. 1 (2). nn xxn lim n n xa 在遞推公式兩邊取極限，得解得(3),aaa 3 , (0). 2 aa 舍去 習(xí)題 1.7 （A） 一 選擇 13 BAB 二 填空 1 2 ；2；3。 2 1 3 x 三 解答 1(1) 3 階；(2) 階；(3) 1 階；(4) 3 階. 3 7 （B） 一 選擇 13 BBD 二 填空 1. ；2. 4 3 . 4 三 解：當(dāng)時，則由題意可知，則當(dāng)時，0x 10 x a ( ) ln(1)0 sin f x x 0x ，從而 ( ) 0 sin f x x ，則. 2 000 ( )( ) ln(1) ( ) sinsin limlimlim 1lnln x xxx f xf x f x xx A axaxa 2 0 ( ) limln x f x Aa x 習(xí)題 1.81.10 （A） 一 選擇 12 CD 二 填空 1 1 ；2、；3 0 ；4，。1,1 , 1 , 11,kk2, 1 , 0k 三 解答 1求下列函數(shù)的間斷點，并判別間斷點的類型 8 (1)，(2)，(3)，(4) 2 1x x y 2 1 1 x y x x x y xy 解：(1)當(dāng)為第二類無窮間斷點；(2)為第二類無窮間斷點，為第一類可去間1x1x 1x 斷點；(3)，為第一類跳躍斷點；(4)，均為第一類跳躍間斷點。0x, 2, 1, 0x 2設(shè)，問： 21, 1 1, 2 1 10, x x xx xf (1) 存在嗎？ xf x1 lim 解：存在，事實上，故。 xf x1 lim 1lim 1 xf x 1lim 1 1 xf x 1lim 1 xf x (2) 在處連續(xù)嗎？若不連續(xù)，說明是哪類間斷？若可去，則補充定義，使其在 xf1x 該點連續(xù)。 解：不連續(xù)，為可去間斷點，定義：，則在處連續(xù)。1x 21, 1 1, 1 10, * x x xx xf xf * 1x 3設(shè)， 1, 3 10, 1 2 xx xx xf (1)求出的定義域并作出圖形。 xf 解：定義域為, 0 (2)當(dāng)，1，2 時，連續(xù)嗎？ 2 1 x xf 解：，時，連續(xù)，而時，不連續(xù)。 2 1 x2x xf1x xf (3)寫出的連續(xù)區(qū)間。 xf 解：的連續(xù)區(qū)間、。 xf 1 , 0, 1 4設(shè)，求出的間斷點，并指出是哪一類間斷點，若可去， 2 , 4 20 ,4 2, 0 , 2 2 x xx xx xf xf 則補充定義，使其在該點連續(xù)。 解：(1)由，故為可去間斷點，改變在的定義為， 4lim 0 xf x 20 f0x xf0x 40 f 即可使在連續(xù)。 xf0x y x 0 1 9 (2)由，故為第一類跳躍間斷點。 4lim 2 xf x 0lim 2 xf x 2x (3)類似地易得為第一類跳躍間斷點。2x 5根據(jù)連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，驗證方程至少有一個根介于 1 和 2 之間。13 5 xx 驗證：設(shè)，易知在上連續(xù)，且， 13 5 xxxf xf 2 , 1031f ，故，使。 0251622 5 f 2 , 1 0f 6驗證方程至少有一個小于 1 的正根。12 x x 驗證：設(shè)，易知在上連續(xù)，且，故 12 x xxf xf 1 , 0 010f011f ，使。0,1 0f （B） 一 選擇 18 CDCBB CCD 二 填空題 1， 二 ；2， 二 ；3；4 2 ；5 0 ， 0 ；0x0x e 1 6 0 。 三 證明題 1證：令，則， bxaxxfsin 00bf sin0f ababaabb 若，取即可；若，則，且，由零sin1ababsin1ab0f ab baaCxf, 點定理可知至少存在，使得，即證。(0,)ab( )0f 2證：令，于是在上連續(xù)，由于條件 axfxfx xa, 0 aff00 (若，則顯然結(jié)果成立，若)，顯然 afaf2 00 00 02fafafafa ，故使，綜上，使。 00aba, axfxfa, 0 axfxf 3證：令，于是在上連續(xù)，且， xxfx xba, 0aafa ，故，使，即。 0bbfbba, 0 f 4證：由假設(shè)不妨設(shè)，為一正數(shù)，由，故自然數(shù)，當(dāng)MxnM00lim n n y 10 時，恒有，故恒有，即。Nx M yn M Myx nn 0lim nn n yx 自測題自測題 一 選擇 13 ADC 二 填空 1 0 ；2 4 ， 10 ；3。aL a2 1 三 計算與證明 1證：，由于在處連續(xù)，所以，當(dāng)時，恒有0 xg0x0x ，由假設(shè)，易知，故當(dāng)時，恒有 xggxg0 xgxf 00 g 0xfx ，即在處連續(xù)。 0fxf xf0x 2證：由于滿足：(、 為常數(shù)) xf x c x bfxaf 1 abc 故滿足：xf x c x bfxaf 1 得：，