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1對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分 2對(duì)坐標(biāo)的曲線積分 3對(duì)面積的曲面積分 4對(duì)坐標(biāo)的曲面積分 5基本公式:格林公式、高斯公式和斯托克斯公式 一、本章要點(diǎn) 1對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分 積分形式 積分方法 (1)平面曲線積分 (1)平面曲線積分 (2)空間曲線積分 直角坐標(biāo)系:設(shè)曲線 ,其中 具有連續(xù)導(dǎo)數(shù),則 參數(shù)方程:設(shè)曲線 ,其中 具有連續(xù)導(dǎo)數(shù),則 極坐標(biāo):設(shè)曲線 ,其中 具有連續(xù)導(dǎo)數(shù),則 (2)空間曲線積分 具有連續(xù)導(dǎo)數(shù),則 設(shè)曲線 ,其中 2對(duì)坐標(biāo)的曲線積分 積分形式 (1)平面曲線 設(shè)有向曲線 ,則曲線積分為 (2)空間曲線 設(shè)有向曲線 ,則曲線積分為 積分方法 (1)平面曲線 具有連續(xù)導(dǎo)數(shù),則 設(shè)曲線為 ,其中 (2)空間曲線 設(shè)曲線 , 其中 具有連續(xù)導(dǎo)數(shù),則 3對(duì)面積的曲面積分 積分形式 積分方法 設(shè)曲面 的方程為 在 面上 投影區(qū)域?yàn)?,則 4對(duì)坐標(biāo)的曲面積分 其中:上側(cè)取正,下側(cè)取負(fù) 積分形式 積分方法 設(shè)曲面 的方程為 在 面上 投影區(qū)域?yàn)?,則 5基本公式 1)格林公式 曲線積分與路徑無(wú)關(guān)條件:曲線積分 設(shè) 是平面上的有界閉區(qū)域,函數(shù) 在 上有連續(xù)偏導(dǎo),則 與路徑無(wú)關(guān) 此時(shí) 全微分求積 滿足 為全微分 此時(shí) 2)高斯公式 設(shè) 是空間的有界閉區(qū)域,函數(shù) 在 上有連 續(xù)偏導(dǎo),則 向量場(chǎng) 的散度 3)斯托克斯公式 設(shè) 為分片光滑曲面,函數(shù) 在 上有連續(xù)偏 導(dǎo),則 向量場(chǎng) 的旋度 課內(nèi)練習(xí): 計(jì)算 其中L為圓周 提示: 利用極坐標(biāo) , 原式 = 說(shuō)明: 若用參數(shù)方程計(jì)算, 則 P246 題3(1) 計(jì)算其中L為擺線 上對(duì)應(yīng) t 從 0 到 2 的一段弧. 提示: P246 題3(3) 計(jì)算 其中由平面 y = z 截球面 提示: 因在 上有故 原式 = 從 z 軸正向看沿逆時(shí)針?lè)较? P246 題3(6) 計(jì)算 其中L為上半圓周 提示: 沿逆時(shí)針?lè)较? (也可直接用Green公式. ) P246 題3(5) 求力沿有向閉曲線 所作的 功, 其中 為平面 x + y + z = 1 被三個(gè)坐標(biāo)面所截成三 提示: 方法1 從 z 軸正向看去沿順時(shí)針?lè)较? 利用對(duì)稱性 角形的整個(gè)邊界, P247 題11 設(shè)三角形區(qū)域?yàn)?, 方向向上, 則 方法2 利用斯托克斯公式 (三) 對(duì)面積的曲面積分的計(jì)算: 1. 化成二重積分: 一投、二代、三變換 (1) 確定曲面的單值函數(shù)的表達(dá)式; (2) 將曲面向作為自變量的兩變量所確定的坐標(biāo)平 面投影,得投影區(qū)域; (3) 將曲面方程代入被積函數(shù)和曲面 面積元素dS 中, 得二重積分的被積表達(dá)式,曲面在坐標(biāo)面上的投 影區(qū)域?yàn)槎胤e分的積分區(qū)域 ; (4) 計(jì)算二重積分. 例1 解 例2 2. 特殊計(jì)算法: 解 由對(duì)稱性, 解 依對(duì)稱性知: 例3 例4 解 練習(xí) 計(jì)算曲面積分 中 是球面 解 利用對(duì)稱性 用重心公式 利用輪換對(duì)稱性簡(jiǎn)化第一類曲面積分 輪換不變性 若曲面有輪換對(duì)稱性, 則上的第一類曲 面積分有輪換不變性. 例5 解 由積分的輪換不變性知 (四).對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的計(jì)算: 1. 化為二重積分: 一投、二代、三定號(hào) (1) 選準(zhǔn)曲面的投影方向; (2) 將曲面的方程表示成相應(yīng)變量的單值函數(shù),代入 被積函數(shù)中去; (3) 根據(jù)曲面的側(cè)的方向確定二重積分的符號(hào). 例6 解 利用兩類曲面積分之間的關(guān)系 2. 利用兩類曲面積分之間的聯(lián)系: 3. 利用Gauss公式: 例7 解 由Gauss公式, 例8 解由Gauss公式, 練習(xí): 其中 為半球面 的上側(cè). 且取下側(cè) , 提示: 以半球底面 原式 = P246 題4(2) 同樣可利用高斯公式計(jì)算. 記半球域?yàn)?, 高斯公式有 計(jì)算 為輔助面, 利用 P246 題4(3) 例9設(shè) 為曲
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