《課后習(xí)題答案及解析》第五章 曲線運(yùn)動

第五章 曲線運(yùn)動 第一節(jié) 曲線運(yùn)動 質(zhì)點(diǎn)從平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)開始運(yùn)動并開始計(jì)時。它在 .5 m 的位置；在 刻到達(dá) .8 m 的位置。作草圖表示質(zhì)點(diǎn)在 0 后計(jì)算它們的大小及它們與 x 軸的夾角 1 和 2 答：質(zhì)點(diǎn)兩次位移的草圖如圖所示，根據(jù)勾股定理和三角函數(shù)的定義可得： 1=) 2=) 多情況下，跳傘員跳傘后最初一段時間降落傘并不張開，跳傘員做加速運(yùn)動。隨后，降落傘張開，跳傘員做減速運(yùn)動如圖所示。速度降至一定值后便不再降低，跳傘員以這一速度做勻速運(yùn)動，直至落地。無風(fēng)時某跳傘員豎直下落，著地時速度是 5m/s?，F(xiàn)在有風(fēng)，風(fēng)使他以 4m/s 的速度沿水平方向向東運(yùn)動。他將以多大速度著地 ?計(jì)算并畫圖說明。 答：根據(jù)題意，無風(fēng)時跳傘員著地的速度為 的作用使他獲得向東的速度 地速度 v 為 合速度，如圖所示。 v= 2 2 2 212 4 5 / 6 . 4 /v v m s m s 與豎直方向的夾角為 ， = 運(yùn)動是一項(xiàng)難度很大又極具觀賞性的運(yùn)動，我國運(yùn)動員多次在國際跳水賽上摘金奪銀，被譽(yù)為跳水 “夢之隊(duì) ”。如圖是一位跳水隊(duì)員從高臺做 “反身翻騰二周半 ”動作時頭部的運(yùn)動軌跡，最后運(yùn)動員沿豎直方向以速度 v 入水。整個運(yùn)動過程中，在哪幾個位置頭部的速度方向與入水時 v 的方向相同 ?在哪幾個位置與 v 的方向相反 ?在圖中標(biāo)出這些位置。 .8 l2 x/m O y/m 答：如圖所示，在 A、 C 位置頭部的速度與入水時速度 v 方向相同；在 B、 D 位置頭部的速度與入水時速度 v 方向相反。 定的速率繞圓形廣場一周用時 2 行駛半周，速度方向改變多少度 ?汽車每行駛 10 s，速度方向改變多少度 ?先作一個圓表示汽車運(yùn)動的軌跡，然后作出汽車在相隔 10 s 的兩個位置速度矢量的示意圖。 答：汽車行駛半周速度方向改變 180。汽車每行駛 10s，速度方向改變 30，速度矢量示意圖如圖 6 13 所示。 圖 6 13 體的速度方向如圖中 v 所示。從位置 A 開始，它受到向前但偏右 (觀察者沿著物體前進(jìn)的方向看，下同 )的合力。到達(dá) B 時，這個合力突然改成與前進(jìn)方向相同。到達(dá) C 時，又突然改成向前但偏左的力。物體最終到達(dá) D。請你大致畫出物體由 A 至 D 的運(yùn)動軌跡，并標(biāo)出 B 點(diǎn)、 C 點(diǎn)和 D 點(diǎn)。 答：如圖 6 14 所示， 是曲線運(yùn)動、 是直線運(yùn)動、 是曲線運(yùn)動。 1 6 14 第二節(jié) 平拋運(yùn)動 水平放置的水管，橫截面積 S=地面高 h=1.8 m。水從管口以不變的速度源源不斷地沿水平方向射出，水落地的位置到管口的水平距離是 0.9 m。問：每秒內(nèi)從管口流出的水有多大體積 ?計(jì)算時設(shè)管口橫截面上各處水的速度都相同，自由落體加速度取g=10m/計(jì)空氣阻力。 解：水流的運(yùn)動可看做是平拋運(yùn)動，由豎直方向做自由落體： 212h 有 2 2 1 . 8 s = 0 . 6 水平方向：由 x=知水從水管口出來時的水平初速度為： 0 . 9 m / s = 1 . 5 m / 6xv t， 則每秒內(nèi)從管口流出的水的體積為： V=01000 毫升 車在限速 60km/h 的公路上與路旁障礙物相撞。處理事故的警察在泥地中發(fā)現(xiàn)了一個小的金屬物體，可以判斷，它是事故發(fā)生時車頂上一個松脫的零件被拋出而陷在泥里的。警察測得這個零件在事故發(fā)生時的原位置與陷落點(diǎn)的水平距離為 13.3 m，車頂距泥地的豎直高度為 m。請你根據(jù)這些數(shù)據(jù)為該車是否超速提供證據(jù)。 解：該車已經(jīng)超速。零件做平拋運(yùn)動，在豎直方向位移為 y 212 . 9 0 . 7 19 . 8yt s ，在水平方向位移 x 件做平拋運(yùn)動的初速度為：v x t s s h 60km/h 所以該車已經(jīng)超速。 ，在水平桌面上用練習(xí)本做成一個斜面，使小鋼球從斜面上某一位置滾下，鋼球沿桌面飛出后做平拋運(yùn)動。怎樣用一把刻度尺測量鋼珠在水平桌面上運(yùn)動的速度 ?說出測量步驟，寫出用所測的物理量表達(dá)速度的計(jì)算式。 答：讓小球從斜面上某一位置 A 無初速釋放；測量小球在地面上的落點(diǎn) x；測量小球在地面上的落點(diǎn) P 與小球靜止在水平桌面上時球心的豎直距離 y。小球離開桌面的初速度為2 質(zhì)量為 了重力之外還受到水平方向的大小、 的作用。 (1)求它在時刻 t 的水平分速度和豎直分速度。 (2)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，寫出這個坐標(biāo)系中代表物體運(yùn)動軌跡的 x、 y 之間的關(guān)系式。這個物體在沿什么樣的軌跡運(yùn)動 ? 答： （ 1） 物體在力 F 的作用下，在水平方向的加速度 因此在時刻 t 的水平分速度為x Fv at 在豎直方向上 受重力 用，在時刻 t 的 豎直 豎直分速度為 ： vy= （ 2）以水平運(yùn)動方向?yàn)?x 軸，豎直向下為 y 軸建立直角坐標(biāo)系，那么 221122Fx a t 212y ; 由 解得 所以 物體運(yùn)動軌跡 為一條直線。 第三節(jié) 研究平拋運(yùn)動 學(xué)設(shè)計(jì)了一個探究平拋運(yùn)動特點(diǎn)的家庭實(shí)驗(yàn)裝置，如圖所示。在水平桌面上放置一個斜面，每次都讓鋼球從斜面上的同一位置滾下，滾過桌邊后鋼球便做平拋運(yùn)動。在鋼球拋出后經(jīng)過的地方水平放置一塊木板 (還有一個用來調(diào)節(jié)木板高度的支架，圖中未畫 )，木板上放一張白紙，白紙上有復(fù)寫紙，這樣便能記錄鋼球在白紙上的落點(diǎn)。桌子邊緣鋼球經(jīng)過的地方掛一條鉛垂線。已知平拋運(yùn)動在豎直方向上的運(yùn)動規(guī)律與自由落體運(yùn)動相同 ，在此前提下，怎樣探究鋼球水平分速度的特點(diǎn) ?請指出需要的器材，說明實(shí)驗(yàn)步驟。 答：還需要的器材是刻度尺。 實(shí)驗(yàn)步驟： （ 1）調(diào)節(jié)木 板高度，使木板上表面與小球離開水平桌面時的球心的距離為某一確定值 y； （ 2）讓小球從斜面上某一位置 A 無初速釋放； （ 3）測量小球在木板上的落點(diǎn) （ 4）調(diào)節(jié)木板高度，使木板上表面與小球離開水平桌面時的球心的距離為某一確定值 4y； （ 5）讓小球從斜面上同一位置 A 無初速釋放； （ 6）測量小球在木板上的落點(diǎn) （ 7）比較 2說明小球在水平方向做勻速直線運(yùn)動。 學(xué)為了省去上圖中的水平木板，把第 1 題中的實(shí)驗(yàn)方案做了改變。他把桌子搬到墻的1從水平桌面上滾下的鋼球能打在墻上，把白紙和復(fù)寫紙附在墻上，記錄鋼球的落點(diǎn)。改變桌子和墻的距離，就可以得到多組數(shù)據(jù)。如果采用這種方案，應(yīng)該怎樣處理數(shù)據(jù) ? 答： 改變墻與鉛垂線之間的距離 x，測量落點(diǎn)與拋出點(diǎn)之間的豎直距離 y，若 2x1= 4y1=說明小球在水平方向做勻速直線運(yùn)動。（或：分別求出每組數(shù)據(jù)的 果比值恒定，則說明鋼球平拋運(yùn)動的過程中，水平方向上做勻速直線運(yùn)動。） 學(xué)使小球沿課桌面水平飛出，用數(shù)碼照相機(jī)拍攝小球做平拋運(yùn)動的錄像 (每秒 15 幀照片 )，并將小球運(yùn)動的照片打印出來。請問：他大約可以得到幾幀小球正在空中運(yùn)動的照片 ? 答： 課桌面距地高度大約為 0.8 m， 由 h= 得 t=0.4 s， 因此，在 0.4 s 內(nèi)可拍得照片 15 張 . 第四節(jié) 圓周運(yùn)動 可以看做一個半徑為 6 4103 球體，北京的緯度約為 400。位于赤道和位于北京的兩個物體，隨地球自轉(zhuǎn)做勻速圓周運(yùn)動的角速度各是多大 ?線速度各是多大 ? 解：位于赤道和位于北京的兩個物體隨地球自轉(zhuǎn)做勻速圓周運(yùn)動的角速度相等，都是52 2 3 . 1 4 / 7 . 2 7 1 0 /2 4 3 6 0 0 r a d s r a d 。 位于赤道的物體隨地球自轉(zhuǎn)做勻速圓周運(yùn)動的線速度 R s 位于北京的物體隨地球自轉(zhuǎn)做勻速圓周運(yùn)動的角速度 s 時準(zhǔn)確的時鐘，分針與時針的長度比是 1。 (1)分針與時針的角速度之比等于多少 ? (2)分針針尖與時針針尖的線速度之比等于多少 ? 解：分針的周期為 1h，時針的周期為 12h （ 1）分針與時針的角速度之比為 1 2 12 1 （ 2）分針針尖與時針針尖的線速度之比為 121 所示， A、 B 兩點(diǎn)分別位于大、小輪的邊緣上， C 點(diǎn)位于大輪半徑的中點(diǎn)，大輪的半徑是小輪的 2 倍，它們之間靠摩擦傳動，接觸面不打滑。請?jiān)谠撗b置的 A、 B、 C 三個點(diǎn)中選擇有關(guān)的兩個點(diǎn)，具體說明公式 v= (1)v 相等， 跟 r 成反比； (2)相等， v 跟 r 成正比； (3)r 相等， v 跟 成正比。 答：（ 1） A、 B 兩點(diǎn)線速度相等，角速度與半徑成反比 （ 2） A、 C 兩點(diǎn)角速度相等，線速度與半徑成正比 （ 3） B、 C 兩點(diǎn)半徑相等，線速度與角速度成正比 說明：該題的目的是讓學(xué)生理解線速度、角速度、半徑之間的關(guān)系： v r；同時理解傳動裝置不打滑的物理意義是接觸點(diǎn)之間線速度相等。 4如圖所示是自行車傳動機(jī)構(gòu)的示意圖。假設(shè)腳踏板每 2 s 轉(zhuǎn) 1 圈，要知道在這種情況下自行車前進(jìn)的速度有多大，還需要測量哪些量 ?請?jiān)趫D中用字母標(biāo)注出來，并用這些量推導(dǎo)出自行車前進(jìn)速度的表達(dá)式。 利用你家的自行車實(shí)際測量這些數(shù)據(jù)，計(jì)算前進(jìn)速度的大小，然后實(shí)測自行車的速度。對比一下，差別 有多大 ? 答案： 需要測量大、小齒輪及后輪的半徑 行車前進(jìn)的速度大小1 322 說明：本題的用意是讓學(xué)生結(jié)合實(shí)際情況來理解勻速圓周運(yùn)動以及傳動裝置之間線速度、角速度、半徑之間的關(guān)系。但是，車輪上任意一點(diǎn)的運(yùn)動都不是圓周運(yùn)動，其軌跡都是滾輪線。所以在處理這個問題時，應(yīng)該以輪軸為參照物，地面與輪接觸而不打滑，所以地面向右運(yùn)動的速度等于后輪上一點(diǎn)的線速度。 盤的磁道和扇區(qū)如圖所示。 某臺計(jì)算機(jī)上的硬 磁盤上共有 9216個磁道 (即 9216 個不同半徑的同心圃 )，每個磁道分成 8192 個扇區(qū) (每扇區(qū)為 18192圓周 )，每個扇區(qū)可以記錄 512 個字節(jié)。電動機(jī)使磁盤以 7200 r 轉(zhuǎn)速勻速轉(zhuǎn)動。磁頭在讀、寫數(shù)據(jù)時是不動的。磁盤每轉(zhuǎn)一圈，磁頭沿半徑方向跳動一個磁道。 (1)一個扇區(qū)通過磁頭所用的時間是多少 ? (2)不計(jì)磁頭轉(zhuǎn)移磁道的時間，計(jì)算機(jī) 1 秒內(nèi) 最多可以 從 硬 盤 面 上讀取多少個字節(jié) ? 解：磁盤轉(zhuǎn)動的周期為 T 1120s （ 1）掃描每個扇區(qū)的時間 t 18192T 10 （ 2）每個扇區(qū)的字節(jié)數(shù)為 512 個 ,1s 內(nèi)讀取的字節(jié)數(shù)為86512 5 . 1 2 1 01 . 0 1 0 說明：本題的用意是讓學(xué)生結(jié)合實(shí)際情況來理解勻速圓周運(yùn)動。 第五節(jié) 向心加速度 乙兩物體都在做勻速圓周運(yùn)動，以下各種情況下哪個物體的向心加速度比較大 ? A它們的線速度相等，乙的半徑小 B它們的周期相等，甲的半徑大。 C它們的角速度相等，乙的線速度小。 D它們的線速度相等，在相同時間內(nèi)甲與圓心的連線掃過的角度比乙的大 答： A甲、乙線速度相等時，利用 2n va r，半徑小的向心加速度大。所以乙的向心加速度大； B甲、乙周期相等時，利用 224，半徑大的向心加速度大。所以甲的向心加速度大； C甲、乙角速度相等時，利用 速度大的向心加速度大。所以乙的向心加速度小； D甲、乙線速度相等時，利用 速度大的向心加速度大。由于在相等時間內(nèi)甲與圓心的連線掃過 的角度比乙大，所以甲的角速度大，甲的向心加速度大。 說明：本題的目的是讓同學(xué)們理解做勻速圓周運(yùn)動物體的向心加速度的不同表達(dá)式的物理意義。 繞地球公轉(zhuǎn)的軌道接近圓，半徑為 3 84105 轉(zhuǎn)周期是 。月球繞地球公轉(zhuǎn)的向心加速度是多大 ? 解：月球公轉(zhuǎn)周期為 T 43600s 06s。月球公轉(zhuǎn)的向心加速度為 2 2 5 2264 2 3 . 1 4( ) 3 . 8 4 1 0 k m / 3 6 1 0 =0機(jī)器由電動機(jī)帶動，機(jī)器上的皮帶輪的半徑是電動機(jī)皮帶輪半徑的 3 倍 (如圖示 )，皮帶與兩輪之間不發(fā)生滑動。已知機(jī)器皮帶輪邊緣上一點(diǎn)的向心加速度為 (1)電動機(jī)皮帶輪與機(jī)器皮帶輪的轉(zhuǎn)速比 (2)機(jī)器皮帶輪 M 點(diǎn)到轉(zhuǎn)軸的距離為輪半徑的一半， A 點(diǎn)的向心加速度是多少 ? (3)電動機(jī)皮帶輪邊緣上某點(diǎn)的向心加速度是多少 ? 解： (1)由于皮帶與兩輪之間不發(fā)生滑動，所以兩輪邊緣上各點(diǎn)的線速度大小相等，設(shè)電動機(jī)皮帶輪與機(jī)器皮帶輪邊緣上質(zhì)點(diǎn)的線速度大小分別為 速度大小分別為 1、 2，邊緣上質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動的半徑分別為 v2 1r1 2 2n 所以 1 2 3 1 (2)A 點(diǎn)的向心加速度為 2 2 222 10 . 0 1 / 0 . 0 5 /22nA ra m s m s （ 3）電動機(jī)皮帶輪邊緣上質(zhì)點(diǎn)的向心加速度為 22 221 2 21 2 10 . 1 0 3 m / s 0 . 3 0 m / sn v v ra r r r B 兩個快艇在湖面上做勻速圓周運(yùn)動，在相同的時間內(nèi)，它們通過的路程之比是 4： 3，運(yùn)動方向改變的角度之比是 3： 2，它們的向心加速度之比是多少 ? 解： A、 B 兩個快艇做勻速圓周運(yùn)動，由于在相等時間內(nèi)，它們通過的路程之比是 4 3，所以它們的線速度之比為 4 3；由于在相等時間內(nèi)，它們運(yùn)動方向改變的角度之比是 3 2，所以它們的角速度之比為 3 2。由于向心加速度 以它們的向心加速度之比為 21。 說明：本題的用意是讓學(xué)生理解向心加速度與線速度和角速度的關(guān)系 第六節(jié) 向心力 質(zhì)量為 1024球與太陽的距離為 011 m。地球繞太陽的運(yùn)動可以看做勻速圓周運(yùn)動。太陽對地球的引力是多少 ? 解：地球在太陽的引力作用下做勻速圓周運(yùn)動，設(shè)引力為 F；地球運(yùn)動周期為 T365243600s 07s。 根據(jù)牛頓第二運(yùn)動定律得： 22 2 4 1 12 7 24 ( 3 . 1 4 )4 6 . 0 1 0 1 . 5 1 0 N( 3 . 1 5 1 0 )F m =022N 說明：本題的目的是讓學(xué)生理解向心力的產(chǎn)生，同時為下一章知識做準(zhǔn)備。 個小球放在玻璃漏斗中，晃動漏斗，可以使小球沿光滑的漏斗壁在某一水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動 (如 圖 )。小球的向心力是由什么力提供的 ? 答：小球在漏斗壁上的受力如圖所示。 小球所受重力 G、漏斗壁對小球的支持力 合力提供了小球做圓周運(yùn)動的向心力。 盤在水平面內(nèi)勻速轉(zhuǎn)動，角速度是 4 s。盤面上距圓盤中心 m 的位置有一個質(zhì)量為 小物體能夠隨圓盤一起運(yùn)動，如圖示。 (1)求小物體做勻速圓周運(yùn)動時所受向心力的大小。 (2)關(guān)于小物體的向心力，甲、乙兩人有不同意見：甲認(rèn)為該向心力等于圓盤對小物體的靜摩擦力，指向圓心；乙認(rèn)為小物體有向前運(yùn)動的趨勢，靜摩擦力方向和相對運(yùn)動趨勢方向相反，即向后，而不是和運(yùn)動方向垂直，因此向心力不可能是靜摩擦力。你的意見是什么 ?說明理由。 答：（ 1）根據(jù)牛頓第二運(yùn)動定律得： F 2 2）甲的意見是正確的。 靜摩擦力的方向是與物體相對接觸面運(yùn)動的趨勢方向相反。設(shè)想一下，如果在運(yùn)動過程中，轉(zhuǎn)盤突然變得光滑了，物體將沿軌跡切線方向滑動。這就如同在光滑的水平面上，一根細(xì)繩一端固定在豎直立柱上，一端系一小球，讓小球做勻速圓周運(yùn)動，突然剪斷細(xì)繩一樣，小球?qū)⒀剀壽E切線方向飛出。這說明物體在隨轉(zhuǎn)盤勻速轉(zhuǎn)動的過程中，相對轉(zhuǎn)盤有沿半徑向外的運(yùn)動趨勢。 說明：本題的目的是讓學(xué)生綜合運(yùn)用做勻速圓周運(yùn)動的物體的受力和運(yùn)動之間的關(guān)系。 示，細(xì)繩的一端固定于 D 點(diǎn)，另一端系一個小球，在 D 點(diǎn)的正下方釘一個釘子 A，小球從一定高度擺下。經(jīng)驗(yàn)告訴我們，當(dāng)細(xì)繩與釘子相碰時，如果釘子的位置越靠近小球，繩就越容易斷。請你利用向心力的知識解釋這一現(xiàn)象。 解：設(shè)小球的質(zhì)量為 m，釘子 A 與小球的距離為 r。根據(jù)機(jī)械能守恒定律可知，小球從一定高度下落時，通過最低點(diǎn)的速度為定值，設(shè)為 v。小球通過最低點(diǎn)時做半徑為 r 的圓周運(yùn)動，繩子的拉力 的合力提供了向心力，即： 2T 得 2T m r在 G， m， v 一定的情況下， r 越小， 繩子承受的拉力 越大，繩子越容易斷。 汽車在水平公路上轉(zhuǎn)彎，沿曲線由 M 向 N 行駛，速度逐漸減小。圖甲、乙、丙、丁分別畫出了汽車轉(zhuǎn)彎時所受合力 F 的四種方向，你認(rèn)為正確的是哪個 ? 答：汽車在行駛中速度越來越小，所以汽車在軌跡的切線方向做減速運(yùn)動，切線方向所受合外力方向如圖 示；同時汽車做曲線運(yùn)動，必有向心加速度，向心力如圖 車所受合外力 F 為 圖所示。丙圖正確。 說明：本題的意圖是讓學(xué)生理解做一般曲線運(yùn)動的物體的受力情況。 第八節(jié) 生活中的圓周運(yùn)動 高速轉(zhuǎn)動飛輪的重心不在轉(zhuǎn)軸上，運(yùn)行將不穩(wěn)定，而且軸承會受到很大的作用力，加速磨損。如圖中飛輪半徑 r=20 常工作時轉(zhuǎn)動軸受到的水平作用力可以認(rèn)為是 0。假想在飛輪的邊緣固定一個質(zhì)量 m=小螺絲釘 P，當(dāng)飛輪轉(zhuǎn)速 n=1 000 r s 時，轉(zhuǎn)動軸 00受到多大的力 ? 解：小螺絲釘做勻速圓周運(yùn)動所需要的向心力 F 由轉(zhuǎn)盤提供，根據(jù)牛頓第三運(yùn)動定律，小螺絲釘將給轉(zhuǎn)盤向外的作用力，轉(zhuǎn)盤在這個力的作用下，將對轉(zhuǎn)軸產(chǎn)生作用力，大小也是 F。 2 2 2( 2 ) 0 . 0 1 ( 2 3 . 1 4 1 0 0 0 ) 0 . 2 7 8 8 7 6 . 8F m r m n r N N 2 2 2( 2 ) 0 . 0 1 ( 2 3 . 1 4 1 0 0 0 ) 0 . 2 7 8 8 7 6 . 8 NF m r m n r N 說明：本題的意圖在于讓學(xué)生聯(lián)系生活實(shí)際，理解勻速圓周運(yùn)動。 為 03汽車在水平公路上行駛，輪胎與路面間的最大靜摩擦力為 1 4104N。汽車經(jīng)過半徑為 50m 的彎路時，如果車速達(dá)到 72h，這輛車會不會發(fā)生側(cè)滑 ? 解：這個題有兩種思考方式。 第一種，假設(shè)汽車不發(fā)生側(cè)滑，由于靜摩擦力提供的向心力，所以向心力有最大值，根據(jù)牛頓第二運(yùn)動定律得 2vF ma ，所以一定對應(yīng)有最大拐彎速度，設(shè)為 則 31 . 4 1 0 5 0 m / s 1 8 . 7 1 m / s 6 7 . 3 5 k m / h 7 2 k m / 0 1 0rv m 所以，如果汽車以 72km/h 的速度拐彎時，將會發(fā)生側(cè)滑。 第二種，假設(shè)汽車以 72km/h 的速度拐彎時，不發(fā)生側(cè)滑，所需向心力為 F， 223 4 0 N 0 N 0 23 4 42