電磁場(chǎng)與微波技術(shù)第一二三章課后習(xí)題及部分答案

1第 1 章 習(xí) 題1、 求函數(shù) 的等值面方程。DCzByAxu1解：根據(jù)等值面的定義：標(biāo)量場(chǎng)中場(chǎng)值相同的空間點(diǎn)組成的曲面稱(chēng)為標(biāo)量場(chǎng)的等值面，其方程為。)( ),(為 常 數(shù)czyx設(shè)常數(shù) E，則， ，Ezyx即： 1zBA針對(duì)不同的常數(shù) E（不為 0） ，對(duì)應(yīng)不同的等值面。2、 已知標(biāo)量場(chǎng) ，求場(chǎng)中與直線(xiàn) 相切的等值線(xiàn)方程。xyu042yx解：根據(jù)等值線(xiàn)的定義可知：要求解標(biāo)量場(chǎng)與直線(xiàn)相切的等值線(xiàn)方程，即是求解兩個(gè)方程存在單解的條件，由直線(xiàn)方程可得：，4yx代入標(biāo)量場(chǎng) ，得到：C，02滿(mǎn)足唯一解的條件： ，02416C得到： ，因此，滿(mǎn)足條件的等值線(xiàn)方程為： 2xy3、 求矢量場(chǎng) 的矢量線(xiàn)方程。zyxyA2解：由矢量線(xiàn)的微分方程： zyxAd本題中， ， ， ，2yx22則矢量線(xiàn)為：，22zydxd由此得到三個(gè)聯(lián)立方程：， ， ，解之，得到：xdyzzyx2， ， ，整理，2c1， ，yc3它們代表一簇經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線(xiàn)。4、 求標(biāo)量場(chǎng) 在點(diǎn) M(2,0,-1)處沿 方向的方向?qū)?shù)。zyxu23 zyxt324解：由標(biāo)量場(chǎng)方向?qū)?shù)的定義式：直角坐標(biāo)系下，標(biāo)量場(chǎng) u 在可微點(diǎn) M 處沿 l 方向的方向?qū)?shù)為 cosscoszuyxl 、 、 分別是 l 方向的方向角，即 l 方向與 的夾角。 、 、 分別是 l 方向的 yx、 coscos2方向余弦。， ，42Mxzu0Mzyu 1232Myzxu令： 842249)3()(zyx則： ， ， ，5cosM0cos2Mxy53cosM4651Mzuyuxtu5、 求標(biāo)量場(chǎng) 在點(diǎn) M(0,0,0) 、點(diǎn) M(1,1,1)處的梯度，并找出場(chǎng)中梯度yxz6232為 0 的點(diǎn)。解：由梯度定義： zuyxu則： zyxyxzu )6()24()32( z6)0,(yxu)1,(若要梯度為零，則需使得梯度中各項(xiàng)分量為零，即： 0324xy6z解之，得到： 1,2zyx即，在點(diǎn)（-2，1，1）處，標(biāo)量場(chǎng)的梯度為零。6、 設(shè) ， ，n 為正整數(shù)。求 、 、 。xrrrnrf解：根據(jù)題意及梯度定義：3rzyxrzyxzyxr)(122)()( 2122rnn21rf)(7、 求矢量場(chǎng) 在點(diǎn) M(1,0,-1)處的散度。zyxA33解：由題意及散度定義：，將 M(1,0,-1)代入：22得到： 630M8、 設(shè) 為常矢量， ， ，求 、 、 ，證明 azyxrrar2arnar)(解：由散度運(yùn)算公式：1） rarr02） ar2023）4arnrraann2104）證明：因?yàn)椋?zyxazyxra )()(且： ， ， 均為常數(shù)，所以有：zyxraz)(得證。9、 設(shè)無(wú)限長(zhǎng)細(xì)直導(dǎo)線(xiàn)與 z 軸重合，其上有沿正 z 軸方向流動(dòng)的電流 I，導(dǎo)線(xiàn)周?chē)拇艌?chǎng)yxyxIH22計(jì)算 。解：由題意及散度的定義： yxyxI2222)(/yxIHx2)(/yxIy0yHx10、已知 ，求 。xu2u2解：由題意及散度運(yùn)算性質(zhì)： )(25yxyxzuu)2()2(0)所以： 2u11、計(jì)算下列矢量場(chǎng)的旋度：（1） ； （2） ；zxyzyxzA3232 zxyzyA22解：由矢量場(chǎng)旋度定義式，可得：1） zxyzxz zyAyAAyzyx xzxyz 3214 rot 222） zxyzxy yAAAzyx xzxyz 222 rot 12、已知 ， ，計(jì)算 。xeuzA Au解：由題意及矢量的旋度運(yùn)算公式： )2()2(zxyzxyexx 13、已知 ， ， 為常矢量，求 、 、 。rrarrfrfa解：61） 0 z)-(y)-(x)-(rxzzy2） 0)()()(rfrffrfr3） arfrfaffrfa)(1)()(14、已知 ， ，求 。zxyyA23 zxB42BA解：由題意及運(yùn)算規(guī)則，先求出 ，再求旋度：AxyzB2 304yzx ()()()yzyzxzxyxABABABz232 =81x()232()zxyxz232()1(8()(1)(8) xzxyzz y22(46)3xzyx715、已知位于坐標(biāo)原點(diǎn)處電量為 q 的點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電位移矢量 為 ，其中 ，D34rqzyxr，計(jì)算 和 。rD解：由題意：1） 34qr()3r 31()r4 q4r 02） 34qrD() 33()()rr4 q43 3r3 q0(0)r在 r=0 處， 無(wú)意義， 不存在。D16、證明 ， 。uA證明：1）由標(biāo)量場(chǎng)梯度的定義式： zuyxu8)(zuyxu由 zyAxyAzxAy xzxyz 令： zuyxuA則： 0 )( 222 zyxuyzxuxyzuu由此得證。2）由旋度定義： zyAxyzAxyAxzxyz 則： 0 222 zyAxyzAxy zyxAyzxyxzxyz xzxz xzxyz由此得證。17、已知 ，求 ，并計(jì)算 。sinco,22zzuuAA解：由題意及柱坐標(biāo)下梯度的計(jì)算公式： zu1zzu sin2cosincos222 zii1229zzuA sin2sico1cos222 由 zA11可得： zA sin2sicocos222siin122 zsicos42Ain32z18、已知 ，計(jì)算 、 。sico,A A解：由題意及柱坐標(biāo)下散度、旋度的計(jì)算公式： zA11可得： )sin(cos2A12zAAzzAz 11 z)cos(1sin)cos()sin( 22 zA)sin(1si2zcoin19、已知 ，求 。cos2sin1,32raru u10解：由題意及球坐標(biāo)下梯度的計(jì)算公式： sin1ururu可得：20、已知sin21sin2cos12coi)32( 444 rarara，計(jì)算 、 。sn,33rrA A解：由題意及球坐標(biāo)下散度、旋度的計(jì)算公式： rrAr sin1siin112 332ico 322 1sini1s1rrrAcosi)(co422cs4r0A第 2 章 習(xí) 題1、 三個(gè)點(diǎn)電荷 q1=4C、 q2=2C、q 3=2C，分別放