量子力學(xué)第三章算符.doc

1、第三章 算符和力學(xué)量算符3.1 算符概述設(shè)某種運算把函數(shù)u變?yōu)楹瘮?shù)v，用算符表示為： （3.1-1）稱為算符。u與v中的變量可能相同，也可能不同。例如，則，x，都是算符。 1算符的一般運算 （1）算符的相等：對于任意函數(shù)u，若，則。 （2）算符的相加：對于任意函數(shù)u，若，則。算符的相加滿足交換律。 （3）算符的相乘：對于任意函數(shù)u，若，則。算符的相乘一般不滿足交換律。如果，則稱與對易。 2幾種特殊算符 （1）單位算符 對于任意涵數(shù)u，若u=u，則稱為單位算符。與1是等價的。 （2）線性算符 對于任意函數(shù)u與v，若，則稱為反線性算符。 （3）逆算符 對于任意函數(shù)u，若則稱與互為逆算符。即，。 并

2、非所有的算符都有逆算符，例如把零作為算符時，稱之為零算符，零算符就沒有逆算符。 對于非齊次線性微分方程：，其中為與函數(shù)構(gòu)成的線性算符，a為常數(shù)。其解u可表示為對應(yīng)齊次方程的通解u。與非齊次方程的特解之和，即。因，所以不存在使。一般說來，在特解中應(yīng)允許含有對應(yīng)齊次方程的通解成分，但如果當(dāng)a=0時，=0，則中將不含對應(yīng)齊次方程的通解成分，這時存在使，從而由得：。從上述分析可知，是否存在逆算符還與算符所作用的函數(shù)有關(guān)。 （4）轉(zhuǎn)置算符 令，則稱與的轉(zhuǎn)置算符，是一個向左作用的算符。若算符表示一般函數(shù)（或常數(shù)），由于函數(shù)的左乘等于右乘，所以函數(shù)的轉(zhuǎn)置就等于它本身。 定義波函數(shù)與的標(biāo)積為： （3.1-2）

3、 與的標(biāo)積以及與的標(biāo)積為： 若上兩式中的與都是任意波函數(shù)，則稱上兩式中的與為任意標(biāo)積中的算符。下面考慮在任意標(biāo)積中的性質(zhì)。波函數(shù)與在無限遠點也應(yīng)滿足連續(xù)性條件： 可都等于零，所以得： 可見在任意標(biāo)積中，。 （5）轉(zhuǎn)置共軛算符（也稱為厄密共軛算符）與厄密算符 轉(zhuǎn)置共軛算符通常也是向左作用的算符，同時算符本身要取共軛。以標(biāo)記的轉(zhuǎn)置共軛算符，則 若在任意標(biāo)積中，則稱為厄密算符。即厄密算符的定義為： 或?qū)憺?（3.1-3）可以證明，位置算符與動量算符都是厄密算符。因x是實數(shù)，而，所以。在任意標(biāo)積中，因，所以。也可以直接從定義式（3.1-3）出發(fā)，來證明是厄密算符。，所以是厄密算符。 （6）幺正算符 若

4、在任意標(biāo)積中，則稱為幺正算符。設(shè)，若為厄密算符，則必為幺正算符。 （7）算符的函數(shù) 設(shè)函數(shù)F（A）的各階導(dǎo)數(shù)都存在，則定義算符的函數(shù)F（）為： （3.1-4） 其中表示n個的乘冪，即。例如3.2 算符的對易關(guān)系 定義算符的泊松（Poisson）括號為： （3.2-1）一般說來，例如，這樣的關(guān)系或稱為對易關(guān)系式。是對易關(guān)系式中的特例，這時，稱與是對易的。 1量子力學(xué)中基本對易關(guān)系 在位置表象中，即，此式對任意的都成立，所以得： 在動量表象中 ，即，此式對任意的都成立，所以得： 可見在位置表象中與動量表象中都得： （3.2-2） 如果兩個算符所含的獨立變量不同，則這兩個算符是對易的。例如，在位置表

5、象中，所含的變量是y，而所含的變量是x，所以=0。又如，在有心力場中，U(x)所含的變量是r，而所含的變量是，所以。此外，相同的算符一定對易。 以表示x，y，z，以表示，則應(yīng)有： （3.2-3） (3.2-4) （3.2-4）式就是量子力學(xué)中的基本對易關(guān)系式。 2線性算符泊松括號的性質(zhì) 根據(jù)量子泊松括號的定義式以及線性算符的定義式不難證明下 關(guān)系式：（其證明供練習(xí)） （3.2-5） C為常數(shù) （3.2-6） C為常數(shù) （3.2-7） (3.2-8) (3.2-9) (3.2-10) 3其他對易關(guān)系 （1）角動量算符與位置算符之間的對易關(guān)系 同理可得：，各對易關(guān)系可合寫為： 采用愛因斯坦記號，則

6、上式可寫為： （3.2-11） 其中稱為勒維奇維塔（Levi-Civita）符號。=1，對所有角標(biāo)都是反對稱的，即交換任意兩個角標(biāo)，其值反號，例如，。若中有兩個角標(biāo)相同，則其值為零。具有以下數(shù)學(xué)性質(zhì)： （3.2-12） (3.2-13)上式中將改寫為稱為將反對稱化，之所以能將反對稱化是由于對角標(biāo)i，j反對稱之故。 （2）角動量算符與動量算符之間的對易關(guān)系 （3.2-14） （3）角動量算符的對易關(guān)系 （3.2-15）上式中三個不為零的對易關(guān)系式還可以寫成下面的關(guān)系式： （3.2-16） 若令，則可得： （3.2-17） （3.2-18） （4）算符的函數(shù)之間的對易關(guān)系 （3.2-19） (3.

7、2-20) 必須注意，若，則。3.3 線性厄密算符和力學(xué)量算符 1厄密算符的性質(zhì) （1）對易的厄密算符的乘積也是厄密算符。 設(shè)與是對易的厄密算符，利用（3.1-3）式可得： 所以也是厄密算符。 （2）厄密算符的本征值必為實數(shù)。 設(shè)為厄密算符，其本征方程為： ，則 根據(jù)（3.1-3）式得： 則 因，則得F=F*，所以F為實數(shù)。 （3）厄密算符屬于不同本征值的本征函數(shù)是正交的。 設(shè)，為厄密算符分別對應(yīng)本征值，的本征函數(shù)，則 即 當(dāng)時得： 上式稱為正交關(guān)系式。若本征值無簡并，且本征函數(shù)已歸一化，則得： 當(dāng)F為分立譜時， （3.3-1） 當(dāng)F為連續(xù)譜時， （3.3-2） 如果中含有參變量，則只有當(dāng)參變

8、量的值保持不變時，屬于不同本征值的本征函數(shù)才是正交的。例如，當(dāng)粒子在有心力場中運動時，經(jīng)向方程是厄密算符的本征方程，其本征值為能量E（對束縛態(tài)，E由徑向量子數(shù)確定）。角量子數(shù)l是徑向方程中的參變量。徑向波函數(shù)的正交關(guān)系式為： ， 因不同的l值對應(yīng)不同的徑向方程，所以 ， 2、正交化手續(xù) 對于線性厄密算符，如果的本征值Fn是f度簡并的，對應(yīng)的本征函數(shù)為，則這f個本征函數(shù)的任意線性組合也是本征方程的解。一般說來，這f個本征函數(shù)不一定是正交的，但通過它們的線性組合一定可以構(gòu)成f個正交的本征函數(shù)。通常的正交化手續(xù)如下：取 從與的正交性可以確定b1 = 則得： 若先將歸一化，則得： 從的正交性得： 則得

9、： 若先將歸一化，則得： 從的正交性得： 則得： 則得： 依此類推，可求出各系數(shù)，使彼此正交。 3、力學(xué)量算符 在量子力學(xué)中，力學(xué)量都有算符表示。力學(xué)量算符通常都是線性厄密算符。假設(shè)力學(xué)量算符的本征函數(shù)構(gòu)成完備系（之所以是假設(shè)是因為尚未得到普遍性的證明），即認為任意波函數(shù)都可以對力學(xué)量算符的本征函數(shù)組展開。一個力學(xué)量算符的本征函數(shù)也可以對另一個力學(xué)量算符的本征函數(shù)組展開。在展開式中的本征函數(shù)組也稱為本征基組應(yīng)注意，這里所說的力學(xué)量總是指某物理體系中的力學(xué)量，這里所說的波函數(shù)是指描寫同一物理體系的波函數(shù)，事實上，只有對于同一物理體系，力學(xué)量的本征函數(shù)與被展開的波函數(shù)才能具有相同的時間與空間。 當(dāng)

10、力學(xué)量算符的本征值Fn為分立譜時，在位置表象中，設(shè)本征基組滿足正交歸一條件： 滿足上式的也稱為幺正基組。通常只是的函數(shù)而與t無關(guān)。含時波函數(shù)對的展開式不含時的波函數(shù)也可對展開為： （3.3-3）實際上是的簡寫。以乘上式并對整個空間積分得： ，則得： （3.3-4）若已歸一化，即，則得： = （3.5-5）若已知，則由（3.3-4）式可求得Cn(t)；若已知Cn(t)，則由（3.3-3）式可求得，所以與Cn(t)是等價的。Cn(t)中的變量是Fn與t，所以Cn(t)是F表象中的波函數(shù)，Cn(t)的歸一化條件是。當(dāng)Cn(t)已歸一化時，在t時刻測到Fn的幾率為。注意，對分立譜，為幾率而非幾率密度。

11、 將（3.3-4）式代入（3.3-3）式得： =由上式可看出，應(yīng)有： （3.3-6）上式所顯示的性質(zhì)稱為本征基組的封閉性。 對于的本征函數(shù)，在箱歸一化下對應(yīng)的本征值為分立譜：。其本征函數(shù)的封閉性條件為：其中dn=1。當(dāng)L時，Px由分立譜變?yōu)檫B續(xù)譜。這時，由可知，dn應(yīng)以代替，的下標(biāo)n應(yīng)改為Px，則本征函數(shù)的封閉性條件為： 如果將并入的歸一化系數(shù)，則歸一化系數(shù)由變?yōu)?，這與2.2中的討論是一致的。 當(dāng)力學(xué)量算符的本征值F為連續(xù)譜時，在位置表象中，設(shè)本征函數(shù)滿足正交為一條件： 滿足上式的也稱為為幺正基組。對的展開式為： （3.3-7） 以乘上式并對全空間積分得： ，則得： （3.3-8） 為F表象中

12、的波函數(shù)。若，則可得的歸一化條件為： （3.3-9）當(dāng)已歸一化時，在t時刻在F表象中測得F的幾率密度為。本征基組的封閉性條件為： （3.3-10） 如果的本征值既有分立譜Fn又有連續(xù)譜F，則展開式為： （3.3-11） (3.3-12)F表象的波函數(shù)由Cn(t)與CF(t)組成。歸一化條件為： （3.3-13）本征基組的封閉性條件為： （3.3-14） 上面的討論可歸納為量子力學(xué)中關(guān)于力學(xué)量算符的一個基本假設(shè)：量子力學(xué)中表示力學(xué)量的算符一般都是線性厄密算符，力學(xué)量算符的本征函數(shù)組成完備系。當(dāng)體系處于歸一化波函數(shù)所描寫的狀態(tài)時，測量力學(xué)量F所得的數(shù)值，在單次測量中必定是算符的本征值之一，測得分立譜中Fn的幾率是，測得連續(xù)譜中FF+dF的幾率是，Cn與CF是對的幺正本征基組的展開系數(shù)。 4、角度坐標(biāo)變量 考慮球坐標(biāo)系下或柱坐標(biāo)系下的角度坐標(biāo)變量，在位置表象中，應(yīng)有，但量子力學(xué)中通常并不將視為能作用于波函數(shù)的算符，而只將作為以及 ，cos等中的變量。這是因為：（1）不是周期函數(shù)，。但當(dāng)增加時，波函數(shù)應(yīng)保持不變，可見是周期函數(shù)，而不是周期函數(shù)。如果的變化范圍為（，），則不是空間位置的單值函數(shù)；如果02，則不是