壓縮感知原理

1、壓縮感知原理(附程序)1壓縮感知引論傳統(tǒng)方式下的信號處理，是按照奈奎斯特采樣定理對信號進(jìn)行采樣，得到大量的采樣數(shù)據(jù)，需要先獲取整個信號再進(jìn)行壓縮，其壓縮過程如圖2.1。可壓縮信號高速采樣壓縮重構(gòu)信號變換圖2.1 傳統(tǒng)的信號壓縮過程在此過程中，大部分采樣數(shù)據(jù)將會被拋棄，即高速采樣后再壓縮的過程浪費了大量的采樣資源，這就極大地增加了存儲和傳輸?shù)拇鷥r。由于帶寬的限制，許多信號只包含少量的重要頻率的信息。所以大部分信號是稀疏的或是可壓縮的，對于這種類型的信號，既然傳統(tǒng)方法采樣的多數(shù)數(shù)據(jù)會被拋棄，那么，為什么還要獲取全部數(shù)據(jù)而不直接獲取需要保留的數(shù)據(jù)呢？Candes和Donoho等人于2004年提出了壓

2、縮感知理論。該理論可以理解為將模擬數(shù)據(jù)節(jié)約地轉(zhuǎn)換成壓縮數(shù)字形式，避免了資源的浪費。即，在采樣信號的同時就對數(shù)據(jù)進(jìn)行適當(dāng)?shù)膲嚎s，相當(dāng)于在采樣過程中尋找最少的系數(shù)來表示信號，并能用適當(dāng)?shù)闹貥?gòu)算法從壓縮數(shù)據(jù)中恢復(fù)出原始信號。壓縮感知的主要目標(biāo)是從少量的非適應(yīng)線性測量中精確有效地重構(gòu)信號。核心概念在于試圖從原理上降低對一個信號進(jìn)行測量的成本。壓縮感知包含了許多重要的數(shù)學(xué)理論，具有廣泛的應(yīng)用前景，最近幾年引起廣泛的關(guān)注，得到了蓬勃的發(fā)展。2壓縮感知原理壓縮感知，也被稱為壓縮傳感或壓縮采樣，是一種利用稀疏的或可壓縮的信號進(jìn)行信號重構(gòu)的技術(shù)。或者可以說是信號在采樣的同時被壓縮，從而在很大程度上降低了采樣率。

3、壓縮感知跳過了采集個樣本這一步驟，直接獲得壓縮的信號的表示。CS理論利用到了許多自然信號在特定的基上具有緊湊的表示。即這些信號是“稀疏”的或“可壓縮”的。由于這一特性，壓縮感知理論的信號編解碼框架和傳統(tǒng)的壓縮過程大不一樣，主要包括信號的稀疏表示、編碼測量和重構(gòu)算法等三個方面。對于一個實值的有限長一維離散時間信號，可以看作為一個空間1的維的列向量，元素為，,=1，2，。空間的任何信號都可以用1維的基向量的線性組合表示。為簡化問題，假定這些基是規(guī)范正交的。把向量作為列向量形成的基矩陣：= ,，于是任意信號都可以表示為： (2.1)其中是投影系數(shù)=構(gòu)成的1的列向量。顯然，和是同一個信號的等價表示，是

4、信號在時域的表示，則是信號在域的表示。如果的非零個數(shù)比小很多，則表明該信號是可壓縮的。一般而言，可壓縮信號是指可以用個大系數(shù)很好地逼近的信號，即它在某個正交基下的展開的系數(shù)按一定量級呈現(xiàn)指數(shù)衰減，具有非常少的大系數(shù)和許多小系數(shù)。這種通過變換實現(xiàn)壓縮的方法稱為變換編碼。在數(shù)據(jù)采樣系統(tǒng)中，采樣速率高但信號是可壓縮的，采樣得到點采樣信號；通過變換后計算出完整的變換系數(shù)集合；確定個大系數(shù)的位置，然后扔掉個小系數(shù)；對個大系數(shù)的值和位置進(jìn)行編碼，從而達(dá)到壓縮的目的。由Candes、Romberg、Tao和Donoho等人在2004年提出的壓縮感知理論表明，可以在不丟失逼近原信號所需信息的情況下，用最少的觀

5、測次數(shù)來采樣信號，實現(xiàn)信號的降維處理，即直接對信號進(jìn)行較少采樣得到信號的壓縮表示，且不經(jīng)過進(jìn)行次采樣的中間階段，從而在節(jié)約采樣和傳輸成本的情況下，達(dá)到了在采樣的同時進(jìn)行壓縮的目的。Candes證明了只要信號在某一個正交空間具有稀疏性，就能以較低的頻率采樣信號，而且可以以高概率重構(gòu)該信號。即，設(shè)定設(shè)長度為的信號在某正交基或框架上的變換系數(shù)是稀疏的，如果我們可以用一個與變換基不相關(guān)的觀測基 ：對系數(shù)向量進(jìn)行線性變換，并得到觀測集合。那么就可以利用優(yōu)化求解方法從觀測集合中精確或高概率地重構(gòu)原始信號。圖2.2是基于壓縮感知理論的信號重構(gòu)過程框圖。可壓縮信號稀疏變換觀測得到的維向量重構(gòu)信號滿足圖2.2

6、基于壓縮感知理論的信號重構(gòu)過程基于壓縮感知的信號重構(gòu)主要包含了信號的稀疏表示、編碼測量和重構(gòu)算法三個步驟。第一步，如果信號在某個正交基或緊框架上是可壓縮的，求出變換系數(shù)，是的等價或逼近的稀疏表示；第二步，設(shè)計一個平穩(wěn)的、與變換基不相關(guān)的維的觀測矩陣，對進(jìn)行觀測得到觀測集合，該過程也可以表示為信號通過矩陣進(jìn)行非自適應(yīng)觀測： (其中)，稱為CS信息算子；第三步，利用0-范數(shù)意義下的優(yōu)化問題求解的精確或近似逼近： s.t. (2.2)求得的向量在基上的表示最稀疏。針對上述的三個步驟，下面將一一解決其中的三個問題。2.1 信號的稀疏表示壓縮感知的第一步即，對于信號，如何找到某個正交基或緊框架，使其在上

7、的表示是稀疏的，即信號的稀疏表示問題。所謂的稀疏，就是指信號在正交基下的變換系數(shù)向量為，假如對于和，這些系數(shù)滿足： (2.3)則說明系數(shù)向量在某種意義下是稀疏的。如何找到信號最佳的稀疏域？這是壓縮感知理論應(yīng)用的基礎(chǔ)和前提，只有選擇合適的基表示信號才能保證信號的稀疏度，從而保證信號的恢復(fù)精度。在研究信號的稀疏表示時，可以通過變換系數(shù)衰減速度來衡量變換基的稀疏表示能力。Candes和Tao研究表明，滿足具有冪次速度衰減的信號，可利用壓縮感知理論得到恢復(fù)，并且重構(gòu)誤差滿足： (2.4)其中r=1/p 1/2，0p=K*log(N/K),至少40,但有出錯的概率)f1=50; % 信號頻率1f2=10

8、0; % 信號頻率2f3=200; % 信號頻率3f4=400; % 信號頻率4fs=800; % 采樣頻率ts=1/fs; % 采樣間隔Ts=1:N; % 采樣序列x=0.3*cos(2*pi*f1*Ts*ts)+0.6*cos(2*pi*f2*Ts*ts)+0.1*cos(2*pi*f3*Ts*ts)+0.9*cos(2*pi*f4*Ts*ts); % 完整信號% 2. 時域信號壓縮傳感Phi=randn(M,N); % 測量矩陣（觀測矩陣）s=Phi*x; % 獲得線性測量 % 3. 正交匹配追蹤法重構(gòu)信號(本質(zhì)上是L_1范數(shù)最優(yōu)化問題)m=2*K; % 算法迭代次數(shù)(m=K) Psi=

9、fft(eye(N,N)/sqrt(N); % 傅里葉正變換矩陣（正交基）% Psi=dct2(256); %dct變換T=Phi*Psi; % 恢復(fù)矩陣(測量矩陣*正交反變換矩陣)hat_y=zeros(1,N); % 待重構(gòu)的譜域(變換域)向量 Aug_t=; % 增量矩陣(初始值為空矩陣)r_n=s; % 殘差值for times=1:m; % 迭代次數(shù)(有噪聲的情況下,該迭代次數(shù)為K) for col=1:N; % 恢復(fù)矩陣的所有列向量 product(col)=abs(T(:,col)*r_n); % 恢復(fù)矩陣的列向量和殘差的投影系數(shù)(內(nèi)積值) end val,pos=max(product); % 最大投影系數(shù)對應(yīng)的位置 Aug_t=Aug_t,T(:,pos); % 矩陣擴(kuò)充 T(:,pos)=zeros(M,1); % 選中的列置零（實質(zhì)上應(yīng)該去掉，為了簡單我把它置零） aug_y=(Aug_t*Aug_t)(-1)*Aug_t*s; % 最小二乘,使殘差最小 r_n=s-Aug_t*aug_y; % 殘差 pos_array(times)=pos; % 紀(jì)錄最大投影系數(shù)的位置endhat_y(pos_array)=aug_y; % 重構(gòu)的譜域向量hat_x=real(Psi*hat_y.); % 做逆傅里葉變換重構(gòu)得到時域信號% 4. 恢復(fù)信號和原始信號對