用因式分解法解一元二次方程

1、用因式分解法解一元二次方程【學(xué)習(xí)目標】1會用因式分解法解某些一元二次方程2能夠根據(jù)方程的特征，靈活運用一元二次方程的各種解法求方程的根【主體知識歸納】1因式分解法 若一元二次方程的一邊是0，而另一邊易于分解成兩個一次因式時，例如，x290，這個方程可變形為(x3)(x3)0，要(x3)(x3)等于0，必須并且只需(x3)等于0或(x3)等于0，因此，解方程(x3)(x3)0就相當于解方程x30或x30了，通過解這兩個一次方程就可得到原方程的解這種解一元二次方程的方法叫做因式分解法2因式分解法其解法的關(guān)鍵是將一元二次方程分解降次為一元一次方程其理論根據(jù)是：若AB0A0或B0【基礎(chǔ)知識講解】1只有

2、當方程的一邊能夠分解成兩個一次因式，而另一邊是0的時候，才能應(yīng)用因式分解法解一元二次方程分解因式時，要根據(jù)情況靈活運用學(xué)過的因式分解的幾種方法2在一元二次方程的四種解法中，公式法是主要的，公式法可以說是通法，即能解任何一個一元二次方程但對某些特殊形式的一元二次方程，有的用直接開平方法簡便，有的用因式分解法簡便因此，在遇到一道題時，應(yīng)選擇適當?shù)姆椒ㄈソ馀浞椒ń庖辉畏匠淌潜容^麻煩的，在實際解一元二次方程時，一般不用配方法而在以后的學(xué)習(xí)中，會常常用到因式分解法，所以要掌握這個重要的數(shù)學(xué)方法【例題精講】例1：用因式分解法解下列方程：(1)y27y60； (2)t(2t1)3(2t1)； (3)(2

3、x1)(x1)1解：(1)方程可變形為(y1)(y6)0，y10或y60，y11，y26(2)方程可變形為t(2t1)3(2t1)0，(2t1)(t3)0，2t10或t30，t1，t23(3)方程可變形為2x23x0x(2x3)0，x0或2x30x10，x2說明：(1)在用因式分解法解一元二次方程時，一般地要把方程整理為一般式，如果左邊的代數(shù)式能夠分解為兩個一次因式的乘積，而右邊為零時，則可令每一個一次因式為零，得到兩個一元一次方程，解出這兩個一元一次方程的解就是原方程的兩個解了(2)應(yīng)用因式分解法解形如(xa)(xb)c的方程，其左邊是兩個一次因式之積，但右邊不是零，所以應(yīng)轉(zhuǎn)化為形如(xe)

4、(xf)0的形式，這時才有x1e，x2f，否則會產(chǎn)生錯誤，如(3)可能產(chǎn)生如下的錯解：原方程變形為：2x11或x11x11，x22(3)在方程(2)中，為什么方程兩邊不能同除以(2t1)，請同學(xué)們思考？例2：用適當方法解下列方程：(1)(1x)2；(2)x26x190；(3)3x24x1；(4)y2152y；(5)5x(x3)(x3)(x1)0；(6)4(3x1)225(x2)2剖析：方程(1)用直接開平方法，方程(2)用配方法，方程(3)用公式法，方程(4)化成一般式后用因式分解法，而方程(5)、(6)不用化成一般式，而直接用因式分解法就可以了解：(1)(1x)2，(x1)23，x1，x11

5、，x21(2)移項，得x26x19，配方，得x26x(3)219(3)2，(x3)228，x32，x132，x232(3)移項，得3x24x10，a3，b4，c1，x，x1，x2(4)移項，得y22y150，把方程左邊因式分解，得(y5)(y3)0；y50或y30，y15，y23(5)將方程左邊因式分解，得(x3)5x(x1)0，(x3)(4x1)0，x30或4x10，x13，x2(6)移項，得4(3x1)225(x2)20，2(3x1)25(x2)20，2(3x1)5(x2)2(3x1)5(x2)0，(11x8)(x12)0，11x80或x120，x1，x212說明：(1)對于無理系數(shù)的一元

6、二次方程解法同有理數(shù)一樣，只不過要注意二次根式的化簡(2)直接因式分解就能轉(zhuǎn)化成兩個一次因式乘積等于零的形式，對于這種形式的方程就不必要整理成一般式了例3:解關(guān)于x的方程：(a2b2)x24abxa2b2解：(1)當a2b20，即ab時，方程為4abx0當ab0時，x為任意實數(shù)當ab0時，x0(2)當a2b20，即ab0且ab0時，方程為一元二次方程分解因式，得(ab)x(ab)(ab)x(ab)0，ab0且ab0，x1，x2說明：解字母系數(shù)的方程，要注意二次項系數(shù)等于零和不等于零的不同情況分別求解本題實際上是分三種情況，即ab0；ab0；ab例4:已知x2xy2y20，且x0，y0，求代數(shù)式

7、的值剖析：要求代數(shù)式的值，只要求出x、y的值即可，但從已知條件中顯然不能求出，要求代數(shù)式的分子、分母是關(guān)于x、y的二次齊次式，所以知道x與y的比值也可由已知x2xy2y20因式分解即可得x與y的比值解：由x2xy2y20，得(x2y)(xy)0，x2y0或xy0，x2y或xy當x2y時，當xy時，說明：因式分解法體現(xiàn)了“降次”“化歸”的數(shù)學(xué)思想方法，它不僅可用來解一元二次方程，而且在解一元高次方程、二元二次方程組及有關(guān)代數(shù)式的計算、證明中也有著廣泛的 應(yīng)用【同步達綱練習(xí)】1選擇題(1)方程(x16)(x8)0的根是( )Ax116，x28Bx116，x28Cx116，x28Dx116，x28(

8、2)下列方程4x23x10，5x27x20，13x215x20中，有一個公共解是( )AxBx2Cx1Dx1(3)方程5x(x3)3(x3)解為( )Ax1，x23BxCx1，x23Dx1，x23(4)方程(y5)(y2)1的根為( )Ay15，y22By5Cy2D以上答案都不對(5)方程(x1)24(x2)20的根為( )Ax11，x25Bx11，x25Cx11，x25Dx11，x25(6)一元二次方程x25x0的較大的一個根設(shè)為m，x23x20較小的根設(shè)為n，則mn的值為( )A1B2C4D4(7)已知三角形兩邊長為4和7，第三邊的長是方程x216x550的一個根，則第三邊長是( )A5B

9、5或11C6D11(8)方程x23|x1|1的不同解的個數(shù)是( )A0B1C2D32填空題(1)方程t(t3)28的解為_(2)方程(2x1)23(2x1)0的解為_(3)方程(2y1)23(2y1)20的解為_(4)關(guān)于x的方程x2(mn)xmn0的解為_(5)方程x(x) x的解為_3用因式分解法解下列方程：(1)x212x0； (2)4x210； (3)x27x；(4)x24x210；(5)(x1)(x3)12；(6)3x22x10；(7)10x2x30；(8)(x1)24(x1)2104用適當方法解下列方程：(1)x24x30；(2)(x2)2256；(3)x23x10；(4)x22x

10、30；(5)(2t3)23(2t3)；(6)(3y)2y29；(7)(1)x2(1)x0；(8)x2(51)x0；(9)2x28x7(精確到001)；(10)(x5)22(x5)805解關(guān)于x的方程：(1)x24ax3a212a；(2)x25xk22kx5k6；(3)x22mx8m20； (4)x2(2m1)xm2m06已知x23xy4y20(y0)，試求的值7已知(x2y2)(x21y2)120求x2y2的值8請你用三種方法解方程：x(x12)8649已知x23x5的值為9，試求3x29x2的值10一跳水運動員從10米高臺上跳水，他跳下的高度h(單位：米)與所用的時間t(單位：秒)的關(guān)系式h

11、5(t2)(t1)求運動員起跳到入水所用的時間11為解方程(x21)25(x21)40，我們可以將x21視為一個整體，然后設(shè)x21y，則y2(x21)2，原方程化為y25y40，解此方程，得y11，y24當y1時，x211，x22，x當y4時，x214，x25，x原方程的解為x1，x2，x3，x4以上方法就叫換元法，達到了降次的目的，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想(1)運用上述方法解方程：x43x240(2)既然可以將x21看作一個整體，你能直接運用因式分解法解這個方程嗎參考答案【同步達綱練習(xí)】1(1)B (2)C (3)D (4)D (5)B (6)A (7)A (8)D2(1)t17，t24(2)x1，

12、x22(3)y11，y2(4)x1m，x2n(5)x1，x213(1)x10，x212；(2)x1，x2；(3)x10，x27；(4)x17，x23；(5)x15，x23；(6)x11，x2；(7)x1，x2；(8)x18，x224(1)x11，x23；(2)x118，x214；(3)x1，x2；(4)x13，x21；(5)t10，t2；(6)y10，y23；(7)x10，x223；(8)x1，x2；(9)x17.24，x23.24；(10)x11，x275(1)x24ax4a2a22a1，(x2a)2(a1)2，x2a(a1)，x13a1，x2a1(2)x2(52k)xk25k60，x2(52k)x(k1)(k6)0，x(k1)x(k6)0，x1k1，x2(k6)(3)x22mxm29m2，(xm)2(3m)2x14m，x22m(4)x2(2m1)xm(m1)0，(xm)x(m1)0，x1m，x2m16(x4y)(