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文檔簡介

1、.高中奧林匹克物理競賽解題方法微元法方法簡介微元法是分析、解決物理問題中的常用方法,也是從部分到整體的思維方法。用該方法可以使一些復(fù)雜的物理過程用我們熟悉的物理規(guī)律迅速地加以解決,使所求的問題簡單化。在使用微元法處理問題時,需將其分解為眾多微小的“元過程”,而且每個“元過程”所遵循的規(guī)律是相同的,這樣,我們只需分析這些“元過程”,然后再將“元過程”進行必要的數(shù)學方法或物理思想處理,進而使問題求解。使用此方法會加強我們對已知規(guī)律的再思考,從而引起鞏固知識、加深認識和提高能力的作用。賽題精講例1:如圖31所示,一個身高為h的人在燈以悟空速度v沿水平直線行走。設(shè)燈距地面高為h,求證人影的頂端c點是做

2、勻速直線運動。解析:該題不能用速度分解求解,考慮采用“微元法”。設(shè)某一時間人經(jīng)過ab處,再經(jīng)過一微小過程t(t0),則人由ab到達ab,人影頂端c點到達c點,由于saa=vt則人影頂端的移動速度可見vc與所取時間t的長短無關(guān),所以人影的頂端c點做勻速直線運動.例2:如圖32所示,一個半徑為r的四分之一光滑球面放在水平桌面上,球面上放置一光滑均勻鐵鏈,其a端固定在球面的頂點,b端恰與桌面不接觸,鐵鏈單位長度的質(zhì)量為.試求鐵鏈a端受的拉力t.解析:以鐵鏈為研究對象,由由于整條鐵鏈的長度不能忽略不計,所以整條鐵鏈不能看成質(zhì)點,要分析鐵鏈的受力情況,須考慮將鐵鏈分割,使每一小段鐵鏈可以看成質(zhì)點,分析每

3、一小段鐵邊的受力,根據(jù)物體的平衡條件得出整條鐵鏈的受力情況.在鐵鏈上任取長為l的一小段(微元)為研究對象,其受力分析如圖32甲所示.由于該元處于靜止狀態(tài),所以受力平衡,在切線方向上應(yīng)滿足:精品. 由于每段鐵鏈沿切線向上的拉力比沿切線向下的拉力大t,所以整個鐵鏈對a端的拉力是各段上t的和,即 觀察 的意義,見圖32乙,由于很小,所以cdoc,oce=lcos表示l在豎直方向上的投影r,所以 可得鐵鏈a端受的拉力 例3:某行星圍繞太陽c沿圓弧軌道運行,它的近日點a離太陽的距離為a,行星經(jīng)過近日點a時的速度為,行星的遠日點b離開太陽的距離為b,如圖33所示,求它經(jīng)過遠日點b時的速度的大小.解析:此題

4、可根據(jù)萬有引力提供行星的向心力求解.也可根據(jù)開普勒第二定律,用微元法求解.設(shè)行星在近日點a時又向前運動了極短的時間t,由于時間極短可以認為行星在t時間內(nèi)做勻速圓周運動,線速度為,半徑為a,可以得到行星在t時間內(nèi)掃過的面積 同理,設(shè)行星在經(jīng)過遠日點b時也運動了相同的極短時間t,則也有 由開普勒第二定律可知:sa=sb 即得 此題也可用對稱法求解.例4:如圖34所示,長為l的船靜止在平靜的水面上,立于船頭的人質(zhì)量為m,船的質(zhì)量為m,不計水的阻力,人從船頭走到船尾的過程中,問:船的位移為多大?解析:取人和船整體作為研究系統(tǒng),人在走動過程中,系統(tǒng)所受合外力為零,可知系統(tǒng)動量守恒.設(shè)人在走動過程中的t時

5、間內(nèi)為勻速運動,則可計算出船的位移.設(shè)v1、v2分別是人和船在任何一時刻的速率,則有 兩邊同時乘以一個極短的時間t, 有 由于時間極短,可以認為在這極短的時間內(nèi)人和船的速率是不變的,精品.所以人和船位移大小分別為, 由此將式化為 把所有的元位移分別相加有 即 ms1=ms2 此式即為質(zhì)心不變原理. 其中s1、s2分別為全過程中人和船對地位移的大小, 又因為 l=s1+s2 由、兩式得船的位移 例5:半徑為r的光滑球固定在水平桌面上,有一質(zhì)量為m的圓環(huán)狀均勻彈性繩圈,原長為r,且彈性繩圈的勁度系數(shù)為k,將彈性繩圈從球的正上方輕放到球上,使彈性繩圈水平停留在平衡位置上,如圖35所示,若平衡時彈性繩

6、圈長為,求彈性繩圈的勁度系數(shù)k.解析:由于整個彈性繩圈的大小不能忽略不計,彈性繩圈不能看成質(zhì)點,所以應(yīng)將彈性繩圈分割成許多小段,其中每一小段m兩端受的拉力就是彈性繩圈內(nèi)部的彈力f.在彈性繩圈上任取一小段質(zhì)量為m作為研究對象,進行受力分析.但是m受的力不在同一平面內(nèi),可以從一個合適的角度觀察.選取一個合適的平面進行受力分析,這樣可以看清楚各個力之間的關(guān)系.從正面和上面觀察,分別畫出正視圖的俯視圖,如圖35甲和235乙.先看俯視圖35甲,設(shè)在彈性繩圈的平面上,m所對的圓心角是,則每一小段的質(zhì)量 m在該平面上受拉力f的作用,合力為因為當很小時, 所以再看正視圖35乙,m受重力mg,支持力n,二力的合

7、力與t平衡.即 現(xiàn)在彈性繩圈的半徑為 精品.所以 因此t= 、聯(lián)立,解得彈性繩圈的張力為: 設(shè)彈性繩圈的伸長量為x 則 所以繩圈的勁度系數(shù)為:例6:一質(zhì)量為m、均勻分布的圓環(huán),其半徑為r,幾何軸與水平面垂直,若它能經(jīng)受的最大張力為t,求此圓環(huán)可以繞幾何軸旋轉(zhuǎn)的最大角速度.解析:因為向心力f=mr2,當一定時,r越大,向心力越大,所以要想求最大張力t所對應(yīng)的角速度,r應(yīng)取最大值.如圖36所示,在圓環(huán)上取一小段l,對應(yīng)的圓心角為,其質(zhì)量可表示為,受圓環(huán)對它的張力為t,則同上例分析可得 因為很小,所以,即 解得最大角速度 例7:一根質(zhì)量為m,長度為l的鐵鏈條,被豎直地懸掛起來,其最低端剛好與水平接觸

8、,今將鏈條由靜止釋放,讓它落到地面上,如圖37所示,求鏈條下落了長度x時,鏈條對地面的壓力為多大?解析:在下落過程中鏈條作用于地面的壓力實質(zhì)就是鏈條對地面的“沖力”加上落在地面上那部分鏈條的重力.根據(jù)牛頓第三定律,這個沖力也就等于同一時刻地面對鏈條的反作用力,這個力的沖量,使得鏈條落至地面時的動量發(fā)生變化.由于各質(zhì)元原來的高度不同,落到地面的速度不同,動量改變也不相同.我們?nèi)∧骋粫r刻一小段鏈條(微元)作為研究對象,就可以將變速沖擊變?yōu)楹闼贈_擊.設(shè)開始下落的時刻t=0,在t時刻落在地面上的鏈條長為x,未到達地面部分鏈條的速度為v,并設(shè)鏈條的線密度為.由題意可知,鏈條落至地面后,速度立即變?yōu)榱?從

9、t時刻起取很小一段時間t,在t內(nèi)又有m=x落到地面上靜止.地面對m作用的沖量為精品. 因為 所以 解得沖力:,其中就是t時刻鏈條的速度v,故 鏈條在t時刻的速度v即為鏈條下落長為x時的即時速度,即v2=2gx,代入f的表達式中,得 此即t時刻鏈對地面的作用力,也就是t時刻鏈條對地面的沖力.所以在t時刻鏈條對地面的總壓力為 例8:一根均勻柔軟的繩長為l,質(zhì)量為m,對折后兩端固定在一個釘子上,其中一端突然從釘子上滑落,試求滑落的繩端點離釘子的距離為x時,釘子對繩子另一端的作用力是多大?解析:釘子對繩子另一端的作用力隨滑落繩的長短而變化,由此可用微元法求解.如圖38所示,當左邊繩端離釘子的距離為x時

10、,左邊繩長為,速度 ,右邊繩長為 又經(jīng)過一段很短的時間t以后,左邊繩子又有長度的一小段轉(zhuǎn)移到右邊去了,我們就分析這一小段繩子,這一小段繩子受到兩力:上面繩子對它的拉力t和它本身的重力為繩子的線密度),根據(jù)動量定理,設(shè)向上方向為正 由于t取得很小,因此這一小段繩子的重力相對于t來說是很小的,可以忽略,所以有 因此釘子對右邊繩端的作用力為例9:圖39中,半徑為r的圓盤固定不可轉(zhuǎn)動,細繩不可伸長但質(zhì)量可忽略,繩下懸掛的兩物體質(zhì)量分別為m、m.設(shè)圓盤與繩間光滑接觸,試求盤對繩的法向支持力線密度.解析:求盤對繩的法向支持力線密度也就是求盤對繩的法向單位精品.長度所受的支持力.因為盤與繩間光滑接觸,則任取

11、一小段繩,其兩端受的張力大小相等,又因為繩上各點受的支持力方向不同,故不能以整條繩為研究對象,只能以一小段繩為研究對象分析求解.在與圓盤接觸的半圓形中取一小段繩元l,l所對應(yīng)的圓心角為,如圖39甲所示,繩元l兩端的張力均為t,繩元所受圓盤法向支持力為n,因細繩質(zhì)量可忽略,法向合力為零,則由平衡條件得:當很小時, n=t又因為 l=r則繩所受法向支持力線密度為 以m、m分別為研究對象,根據(jù)牛頓定律有 mgt=ma tmg=ma 由、解得: 將式代入式得:例10:粗細均勻質(zhì)量分布也均勻的半徑為分別為r和r的兩圓環(huán)相切.若在切點放一質(zhì)點m,恰使兩邊圓環(huán)對m的萬有引力的合力為零,則大小圓環(huán)的線密度必須

12、滿足什么條件?解析:若要直接求整個圓對質(zhì)點m的萬有引力比較難,當若要用到圓的對稱性及要求所受合力為零的條件,考慮大、小圓環(huán)上關(guān)于切點對稱的微元與質(zhì)量m的相互作用,然后推及整個圓環(huán)即可求解.如圖310所示,過切點作直線交大小圓分別于p、q兩點,并設(shè)與水平線夾角為,當有微小增量時,則大小圓環(huán)上對應(yīng)微小線元其對應(yīng)的質(zhì)量分別為 由于很小,故m1、m2與m的距離可以認為分別是 所以m1、m2與m的萬有引力分別為精品.由于具有任意性,若f1與f2的合力為零,則兩圓環(huán)對m的引力的合力也為零, 即 解得大小圓環(huán)的線密度之比為:例11:一枚質(zhì)量為m的火箭,依靠向正下方噴氣在空中保持靜止,如果噴出氣體的速度為v,

13、那么火箭發(fā)動機的功率是多少?解析:火箭噴氣時,要對氣體做功,取一個很短的時間,求出此時間內(nèi),火箭對氣體做的功,再代入功率的定義式即可求出火箭發(fā)動機的功率.選取在t時間內(nèi)噴出的氣體為研究對象,設(shè)火箭推氣體的力為f,根據(jù)動量定理,有ft=mv 因為火箭靜止在空中,所以根據(jù)牛頓第三定律和平衡條件有f=mg即 mgt=mv t=mv/mg 對同樣這一部分氣體用動能定理,火箭對它做的功為: 所以發(fā)動機的功率 例12:如圖311所示,小環(huán)o和o分別套在不動的豎直桿ab和ab上,一根不可伸長的繩子穿過環(huán)o,繩的兩端分別系在a點和o環(huán)上,設(shè)環(huán)o以恒定速度v向下運動,求當aoo=時,環(huán)o的速度.解析:o、o之間

14、的速度關(guān)系與o、o的位置有關(guān),即與角有關(guān),因此要用微元法找它們之間的速度關(guān)系.設(shè)經(jīng)歷一段極短時間t,o環(huán)移到c,o環(huán)移到c,自c與c分別作為oo的垂線cd和cd,從圖中看出. 因此oc+oc= 因極小,所以eced,eced,從而od+odoocc 由于繩子總長度不變,故 oocc=oc 由以上三式可得:oc+oc= 即 精品.等式兩邊同除以t得環(huán)o的速度為 例13: 在水平位置的潔凈的平玻璃板上倒一些水銀,由于重力和表面張力的影響,水銀近似呈現(xiàn)圓餅形狀(側(cè)面向外凸出),過圓餅軸線的豎直截面如圖312所示,為了計算方便,水銀和玻璃的接觸角可按180計算.已知水銀密度,水銀的表面張力系數(shù)當圓餅的

15、半徑很大時,試估算其厚度h的數(shù)值大約為多少?(取1位有效數(shù)字即可)解析:若以整個圓餅狀水銀為研究對象,只受重力和玻璃板的支持力,在平衡方程中,液體的體積不是h的簡單函數(shù),而且支持力n和重力mg都是未知量,方程中又不可能出現(xiàn)表面張力系數(shù),因此不可能用整體分析列方程求解h.現(xiàn)用微元法求解.在圓餅的側(cè)面取一個寬度為x,高為h的體積元,如圖312甲所示,該體積元受重力g、液體內(nèi)部作用在面積xh上的壓力f,還有上表面分界線上的張力f1=x和下表面分界線上的張力f2=x.作用在前、后兩個側(cè)面上的液體壓力互相平衡,作用在體積元表面兩個彎曲分界上的表面張力的合力,當體積元的寬度較小時,這兩個力也是平衡的,圖中

16、都未畫出.由力的平衡條件有: 即 解得:由于 故2.7103mhm,碰撞彈力ng,球與車之間的動摩擦因數(shù)為,則小球彈起后的水平速度可能是( )ab0cdv06半徑為r的剛性球固定在水平桌面上.有一質(zhì)量為m的圓環(huán)狀均勻彈性細繩圈,原長精品. 2a,a=r/2,繩圈的彈性系數(shù)為k(繩伸長s時,繩中彈性張力為ks).將繩圈從球的正 上方輕放到球上,并用手扶著繩圈使其保持水平,并最后停留在某個靜力平衡位置.考 慮重力,忽略摩擦.(1)設(shè)平衡時彈性繩圈長2b,b=,求彈性系數(shù)k;(用m、r、g表示,g為重力加速度)(2)設(shè)k=mg/22r,求繩圈的最后平衡位置及長度.7一截面呈圓形的細管被彎成大圓環(huán),并

17、固定在豎直平面內(nèi), 在環(huán)內(nèi)的環(huán)底a處有一質(zhì)量為m、直徑比管徑略小的小球, 小球上連有一根穿過環(huán)頂b處管口的輕繩,在外力f作用 下小球以恒定速度v沿管壁做半徑為r的勻速圓周運動, 如圖323所示.已知小球與管內(nèi)壁中位于大環(huán)外側(cè) 部分的動摩擦因數(shù)為,而大環(huán)內(nèi)側(cè)部分的管內(nèi)壁是光滑 的.忽略大環(huán)內(nèi)、外側(cè)半徑的差別,認為均為r.試求小 球從a點運動到b點過程中f做的功wf.8如圖324,來自質(zhì)子源的質(zhì)子(初速度為零),經(jīng)一 加速電壓為800kv的直線加速器加速,形成電流為1.0ma 的細柱形質(zhì)子流.已知質(zhì)子電荷e=1.601019c.這束質(zhì)子 流每秒打到靶上的質(zhì)子數(shù)為 .假設(shè)分布在質(zhì)子源 到靶之間的加速

18、電場是均勻的,在質(zhì)子束中與質(zhì)子源相距l(xiāng) 和4l的兩處,各取一段極短的相等長度的質(zhì)子流,其中質(zhì) 子數(shù)分別為n1和n2,則n1: n2 .9如圖325所示,電量q均勻分布在一個半徑為r的 細圓環(huán)上,求圓環(huán)軸上與環(huán)心相距為x的點電荷q所受的 力的大小.10如圖326所示,一根均勻帶電細線,總電量為q,彎成半徑為r的缺口圓環(huán),在細線的兩端處留有很小的長為l的空隙,求圓環(huán)中心處的場強.精品.11如圖327所示,兩根均勻帶電的半無窮長平行直導(dǎo)線(它們的電荷線密度為),端點聯(lián)線ln垂直于這兩直導(dǎo)線,如圖所示.ln的長度為2r.試求在ln的中點o處的電場強度.12如圖328所示,有一均勻帶電的無窮長直導(dǎo)線,其電荷線密度為.試求空間任意一點的電場強度.該點與直導(dǎo)線間垂直距離為r.13如圖329所示,半徑為r的均勻帶電半球面,電 荷面密度為,求球心o處的電場強度.14如圖330所示,在光滑的水平面上,有一垂直向下的勻強磁場分布在寬度為l的區(qū)域內(nèi),現(xiàn)有一個邊長為a(al),質(zhì)量為m的正方形閉合線框以初速v0垂直磁場邊界滑過磁場后,速度變?yōu)関(vv0),求:(1)線框在這過程中產(chǎn)生的熱量q;(2)線框完全進入磁場后的速度v.15如圖331所示,在離水平地面h高的平臺上有一相距l(xiāng)

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