四軸飛行器動(dòng)力學(xué)分析與建模

1、四翼飛行器動(dòng)力學(xué)分析與建模1. 引言四軸飛行器，又稱四旋翼飛行器、四旋翼直升機(jī)，簡(jiǎn)稱四軸、四旋翼。這四軸飛行器(Quadrotor)是一種多旋翼飛行器。四軸飛行器的四個(gè)螺旋槳都是電機(jī)直連的簡(jiǎn)單機(jī)構(gòu)，十字形的布局允許飛行器通過(guò)改變電機(jī)轉(zhuǎn)速獲得旋轉(zhuǎn)機(jī)身的力，從而調(diào)整自身姿態(tài)。因?yàn)樗逃械膹?fù)雜性，歷史上從未有大型的商用四軸飛行器。近年來(lái)得益于微機(jī)電控制技術(shù)的發(fā)展，穩(wěn)定的四軸飛行器得到了廣泛的關(guān)注，應(yīng)用前景十分可觀。本章通過(guò)分析四旋翼直升機(jī)的動(dòng)力學(xué)機(jī)制，運(yùn)用已知的物理定律和方程來(lái)建立表征系統(tǒng)動(dòng)態(tài)過(guò)程的數(shù)學(xué)模型。2. 四旋翼飛行器簡(jiǎn)介2.1四旋翼飛行器結(jié)構(gòu)四旋翼直升機(jī)主體構(gòu)成有：產(chǎn)生升力的四個(gè)旋翼、飛行

2、控制設(shè)備及其支撐旋翼的機(jī)身。有時(shí)為了保護(hù)飛行器，避免旋翼的損壞，特別裝設(shè)了保護(hù)架。其中，每個(gè)旋翼包括直流電機(jī)、翼翅及連接件等部分。如下圖所示：2.2四旋翼飛行器飛行原理四旋翼直升機(jī)與傳統(tǒng)的直升機(jī)相比，有著自己獨(dú)特的地方。它的四個(gè)呈十字平均分布的旋翼取代了傳統(tǒng)的單獨(dú)的旋翼，對(duì)機(jī)身產(chǎn)生單獨(dú)的力和力矩。四旋翼直升機(jī)通過(guò)改變旋翼轉(zhuǎn)速來(lái)控制飛行器的姿態(tài)，且四個(gè)旋翼的動(dòng)態(tài)特性高度耦合。3. 四旋翼飛行器動(dòng)力學(xué)方程3.1坐標(biāo)描述及其轉(zhuǎn)換關(guān)系飛機(jī)的姿態(tài)角、飛行速度的大小和方向等參數(shù)總是和坐標(biāo)系聯(lián)系在一起的，要確切地描述飛機(jī)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，就要先建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系。下面定義幾種坐標(biāo)系，并分析各坐標(biāo)之間的相互轉(zhuǎn)換關(guān)系：

3、(1)地面坐標(biāo)系E（OXYZ）地面坐標(biāo)系用語(yǔ)研究飛機(jī)相對(duì)于地面的運(yùn)動(dòng)，確定飛機(jī)在空間的位置坐標(biāo)X、Y、Z，從而方便研究飛機(jī)的姿態(tài)、航向以及飛機(jī)相對(duì)起飛點(diǎn)的空間位置。該坐標(biāo)系原點(diǎn)固定于地面上飛機(jī)的起飛點(diǎn)，OX軸指向飛機(jī)制定的飛行方向，OZ軸垂直水平面向上，OY軸垂直O(jiān)XZ平面。(2)機(jī)體坐標(biāo)系B（Oxyz）機(jī)體坐標(biāo)系固定在機(jī)體上，原點(diǎn)設(shè)在飛機(jī)重心，縱軸Ox平行于前后旋翼的連線，指向前方為正方向，豎軸Oz平行于左右旋翼的連線，指向右方為正方向；軸Oy與軸Ox、Oz所在平面垂直，并與軸Ox、軸Oz組成右手坐標(biāo)系。(3)地面坐標(biāo)系和機(jī)體坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換在飛機(jī)飛行動(dòng)力學(xué)中，對(duì)于描述地面坐標(biāo)系和機(jī)體坐標(biāo)系之間

4、的關(guān)系的角度可用如下定義的三個(gè)歐拉角加以確定。偏航角機(jī)體軸Ox在地面坐標(biāo)系水平面OXY上的投影線X與X軸之間的夾角俯仰角機(jī)體軸Ox與地面坐標(biāo)系水平面OXY的夾角滾轉(zhuǎn)角機(jī)體軸Oz和包含機(jī)體軸Ox間的夾角由此可得到物體坐標(biāo)系到地面坐標(biāo)系各個(gè)軸的轉(zhuǎn)換矩陣，分別表示為(2-1)式、(2-2)式和(2-3)式Rx=1000cossin0sincos(2-1)Ry=cos0sin010-sin0cos(2-2)Rz=cos-sin0sincos0001(2-3)綜合可得機(jī)體坐標(biāo)系B到地面坐標(biāo)系E的轉(zhuǎn)換矩陣為：R= Rz Ry Rx=coscoscossinsincossincos+sinsinsincos

5、sinsinsinsinsincos-cossin-sincossincoscos(2-4)得到如下圖所示坐標(biāo)系：3.2動(dòng)力學(xué)方程的建立3.2.1模型假設(shè)1)飛機(jī)是剛體，在其運(yùn)動(dòng)過(guò)程中質(zhì)量保持不變2)地面坐標(biāo)系為慣性坐標(biāo)，由于本文針對(duì)微型飛機(jī)，飛行距離不是很遙遠(yuǎn)，飛行高度不是很高，所以視地球表面為平面，視重力加速度不隨飛行高度的變化而變化3)不計(jì)地球自轉(zhuǎn)和公轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的影響4)機(jī)體坐標(biāo)系的xoz平面為飛機(jī)幾何形狀和質(zhì)量的對(duì)稱平面，慣性積Ixy=Iyz=03.2.2模型建立在忽略彈性振動(dòng)及形變的情況下，微小型四旋翼飛行器的運(yùn)動(dòng)可以看成是六個(gè)自由度的剛體運(yùn)動(dòng)，即包含繞三個(gè)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)（偏航、俯仰和滾動(dòng)）和

6、重心沿三個(gè)軸的線運(yùn)動(dòng)（進(jìn)退、左右側(cè)飛和升降）。根據(jù)牛頓第二定律，飛機(jī)動(dòng)力學(xué)方程的向量形式為：F=mdVdt(2-5)M=Hdt(2-6)式中，F(xiàn)作用在四旋翼飛行器上的所有外力的和；M飛機(jī)的質(zhì)量；V飛機(jī)的質(zhì)心速度；M作用在飛機(jī)上的所有外力矩的和；H飛機(jī)相對(duì)于地面坐標(biāo)系的絕對(duì)動(dòng)量矩。假設(shè)FX、FY、FZ；u、v、w；p、q、r分別為F、V、在機(jī)體坐標(biāo)系三個(gè)坐標(biāo)軸ox、oy、oz上的分量。1） 線運(yùn)動(dòng)方程：作用在四旋翼直升機(jī)機(jī)體上的外力有重力，四個(gè)旋翼的升力和外界的阻力。重力可以表示為：G=mg(2-7)阻力可以表示為：Di=12Cdi2=kdi2(2-8)每個(gè)旋翼產(chǎn)生的升力為：Ti=12Cti2=

7、kti2(2-9)其中g(shù)為重力加速度，為空氣密度，Cd為旋翼的阻力系數(shù)，Ct為旋翼的升力系數(shù)，通常他們的值取決于飛機(jī)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)和構(gòu)型，大氣參數(shù)等諸多產(chǎn)量，i(i=1,2,3,4)是第i個(gè)旋翼的角速度。由于上述各式是在地面坐標(biāo)系下建立的，通過(guò)轉(zhuǎn)換矩陣R轉(zhuǎn)換到機(jī)體坐標(biāo)系下，并帶入(2-5)式，可得到：x=uy=vz=wu=Fx-K1xm=kti=14i2(sinsin+cossincos)-K1xmv=Fy-K2ym=kti=14i2(-cossin+sinsincos)-K2ymw=Fz-mg-K3zm=kti=14i2(coscos)-K3zm-g(2-10)其中Ki為綜合的阻力系數(shù)。2） 角

8、動(dòng)量方程：歐拉角的角速度和機(jī)體的角速度之間有如下的關(guān)系：pqr=-sincos+sincossin+coscos(2-11)由此可以解出：=pcos+qsinsin+rcossincosqsin+rsinqsin+rcoscos(2-12)四旋翼無(wú)人機(jī)外形結(jié)構(gòu)和質(zhì)量分布都具有較好的對(duì)稱性，重心近似位于機(jī)體中心，因此可以假定無(wú)人機(jī)的慣性矩陣I為對(duì)角陣：I=Ix000Iy000Iz(2-13)根據(jù)剛體轉(zhuǎn)動(dòng)定律可以得到角速度運(yùn)動(dòng)方程為：M=Ipqr(2-14)根據(jù)動(dòng)量矩的計(jì)算方法，仿照線運(yùn)動(dòng)方程的推導(dǎo)，可以得到角速度方程式：MxMyMz=pIx-rIxz+qrIz-Iy-pqIxzqIy+prIx-

9、Iz+(p2-r2)IxzrIz-pIxz+pqIy-Ix+qrIxz(2-15)其中Mx、My、Mz是四旋翼直升機(jī)的合力矩在機(jī)體坐標(biāo)系三個(gè)坐標(biāo)軸ox、oy、oz上的分量。整理可得：pqr=Mx+Ix-IzqrIxMy+Iz-IxrpIyMz+Ix-IypqIz(2-16)綜合以上分析，得到四旋翼直升機(jī)的非線性運(yùn)動(dòng)方程：x=uy=vz=wu=Fx-K1xmv=Fy-K2ymw=Fz-mg-K3zmp=Mx+Ix-IzqrIxq=My+Iz-IxrpIyr=Mz+Ix-IypqIz=pcos+qsinsin+rcossincos=qsin+rsin=qsin+rcoscos(2-17)3.2.3

10、模型的簡(jiǎn)化為了把四旋翼直升機(jī)非線性耦合模型分解成四個(gè)獨(dú)立的控制通道，定義系統(tǒng)的控制輸入量為：U1=F1+F2+F3+F4=kti=14i2U2=F4-F2=kt(42-22)U3=F3-F1=kt(32-12)U4=F2+F4-F3-F1=kd(12+22+32+42)(2-18)其中，U1垂直速度控制量，U2滾動(dòng)輸入控制量，U3俯仰控制輸入量，U4偏航控制量。為各旋翼轉(zhuǎn)速，F(xiàn)為各旋翼所受到的拉力?？紤]外界條件時(shí)控制設(shè)計(jì)比較復(fù)雜，所以先研究室內(nèi)或室外無(wú)風(fēng)情況下直升機(jī)懸停和慢速飛行控制，這樣就可以忽略阻力系數(shù)Ki，整理得到數(shù)學(xué)模型如下：x=(sinsin+coscoscos)U1my=(-cos

11、sin+sinsincos)U1mz=(coscos)U1m-g=lU2+(Iy-Iz)Ix=lU3+Iz-IxIy=lU4+Ix-IzIz(2-19)到目前為止，我們計(jì)算了飛行器的作用力，接下來(lái)計(jì)算扭矩。每個(gè)轉(zhuǎn)子貢獻(xiàn)一點(diǎn)關(guān)于機(jī)體 z 軸的扭矩。這扭矩是用來(lái)保持螺旋槳旋轉(zhuǎn)和提供推力；它產(chǎn)生瞬時(shí)角加速度和克服了摩擦阻力。由流體動(dòng)力學(xué)可以得到摩擦力為：4. 其中是周圍流體密度，A是參考面積（是螺旋槳的截面，而不是螺旋槳掃過(guò)的面積），CD是一個(gè)無(wú)量綱的常量。這樣的近似盡管有些地方不太好，就我們而已，結(jié)果精度是足夠好的。于是推出由摩擦力產(chǎn)生的扭矩：其中是螺旋槳的角速度，R是螺旋槳的半徑，b是摩擦常數(shù)。

12、注意到，我們已經(jīng)假定所有的力作用于螺旋槳的末梢，這是當(dāng)然不準(zhǔn)確；然而，對(duì)我們而言唯一重要的結(jié)果是摩擦扭矩與角速度的平方成正比。我們有以z為軸的完整第i個(gè)電機(jī)的扭矩：其中IM是電機(jī)關(guān)于z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，是螺旋槳的角加速度，b是阻力系數(shù)。注意到，在穩(wěn)態(tài)飛行(即不起飛或著陸)時(shí)因?yàn)榇蟛糠謺r(shí)間的螺旋槳會(huì)維持恒定的（或幾乎不變的）的推力而不會(huì)加速。因此，我們忽略了這一時(shí)期，對(duì)整個(gè)表達(dá)式簡(jiǎn)化：其中(1)i+1項(xiàng)是正的如果第i個(gè)螺旋槳式順時(shí)針轉(zhuǎn)，否則為負(fù)。關(guān)于z的總扭矩是每個(gè)螺旋槳軸扭矩的和：在此基礎(chǔ)上便可以對(duì)我們小組研究的課題進(jìn)行討論。4. 四旋翼飛行器旋轉(zhuǎn)過(guò)程中的受力分析四旋翼飛行器的旋轉(zhuǎn)指的是飛行器繞自

13、身中心軸進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，而不改變其高度、位置等其他參數(shù)，在專業(yè)術(shù)語(yǔ)中稱為偏航運(yùn)動(dòng)。四旋翼飛行器偏航運(yùn)動(dòng)可以借助旋翼產(chǎn)生的反扭矩來(lái)實(shí)現(xiàn)。旋翼轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中由于空氣阻力作用會(huì)形成與轉(zhuǎn)動(dòng)方向相反的反扭矩，為了克服反扭矩影響，可使四個(gè)旋翼中的兩個(gè)正轉(zhuǎn)，兩個(gè)反轉(zhuǎn)，且對(duì)角線上的來(lái)年各個(gè)旋翼轉(zhuǎn)動(dòng)方向相同。反扭矩的大小與旋翼轉(zhuǎn)速有關(guān)，當(dāng)四個(gè)電機(jī)轉(zhuǎn)速相同時(shí)，四個(gè)旋翼產(chǎn)生的反扭矩相互平衡，四旋翼飛行器不發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng)；當(dāng)四個(gè)電機(jī)轉(zhuǎn)速不完全相同時(shí)，不平衡的反扭矩會(huì)引起四旋翼飛行器轉(zhuǎn)動(dòng)。在圖d中，當(dāng)電機(jī)1和電機(jī)3的轉(zhuǎn)速上升，電機(jī)2和電機(jī)4的轉(zhuǎn)速下降時(shí)，旋翼1和旋翼3對(duì)機(jī)身的反扭矩大于旋翼2和旋翼4對(duì)機(jī)身的反扭矩，機(jī)身便在富余反扭矩的

14、作用下繞z軸轉(zhuǎn)動(dòng)，實(shí)現(xiàn)飛行器的偏航運(yùn)動(dòng)，轉(zhuǎn)向與電機(jī)1、電機(jī)3的轉(zhuǎn)向相反。借助力矩之間的平衡，已經(jīng)在3中提出的懸停原理，可以在保證飛行器高度保持不變的情況下進(jìn)行偏航運(yùn)動(dòng)，進(jìn)而達(dá)到旋轉(zhuǎn)鏡頭的目的。5. 四旋翼飛行器側(cè)飛過(guò)程的受力分析做到懸停之后，四旋翼飛行器又如何前進(jìn)呢?這需要力的方向發(fā)生變化，一定要有使其向前的力，如下圖所示，在懸停的基礎(chǔ)上增加后面翅膀的轉(zhuǎn)速使得升力增大，減小前面翅膀的轉(zhuǎn)速使得升力減小，如此四旋翼飛行器的身體便會(huì)產(chǎn)生傾斜，翅膀的升力差便會(huì)產(chǎn)生向前的分量，四旋翼飛行器便可以向前飛行了。同時(shí)，要想實(shí)現(xiàn)飛行器在水平面內(nèi)前后、左右的運(yùn)動(dòng)，必須在水平面內(nèi)對(duì)飛行器施加一定的力。在下圖中，增加電機(jī)3轉(zhuǎn)速，使拉力增大，相應(yīng)減小電機(jī)1轉(zhuǎn)速，使拉力減小，同時(shí)保持其它兩個(gè)電機(jī)轉(zhuǎn)速不變，反扭矩仍然要保持平衡。按圖b的理論，飛行器首先發(fā)生一定程度的傾斜，從而使旋翼拉力產(chǎn)生水平分量，因此可以實(shí)現(xiàn)飛行器的前飛運(yùn)動(dòng)。向后飛行與向前飛行正好相反。6. 本文總結(jié)本章通過(guò)分析四旋翼直升機(jī)的動(dòng)力學(xué)機(jī)制，運(yùn)用已知的物理定律和方程來(lái)建立表征系統(tǒng)動(dòng)態(tài)過(guò)程的數(shù)學(xué)模型。微小型四旋翼直升機(jī)以其新穎的外形，低廉的成本，簡(jiǎn)單的結(jié)構(gòu)，卓越的性能，獨(dú)特的飛行方式以