初一數(shù)學(xué)-幾何題輔助線技巧詳解

1、巧添輔助線 解證幾何題在幾何證明或計算問題中，經(jīng)常需要添加必要的輔助線，它的目的可以歸納為以下三點：一是通過添加輔助線，使圖形的性質(zhì)由隱蔽得以顯現(xiàn)，從而利用有關(guān)性質(zhì)去解題；二是通過添加輔助線，使分散的條件得以集中，從而利用它們的相互關(guān)系解題；三是把新問題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)解決過的舊問題加以解決。值得注意的是輔助線的添加目的與已知條件和所求結(jié)論有關(guān)。下面我們分別舉例加以說明。例題解析一、 倍角問題 CABD例1：如圖1，在ABC中，AB=AC,BDAC于D。求證：DBC=BAC. 分析：DBC、BAC所在的兩個三角形有公共角C，可利用三角形內(nèi)角和來溝通DBC、BAC和C的關(guān)系。證法一：在ABC中，AB=

2、AC， ABC=C=（180-BAC）=90-BAC。 BDAC于D BDC=90 DBC=90-C=90-(90-BAC)= BAC 即DBC= BAC分析二：DBC、BAC分別在直角三角形和等腰三角形中，由所證的結(jié)論“DBC= BAC”中含有角的倍、半關(guān)系，因此，可以做A的平分線，利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)，把A放在直角三角形中求解；也可以把DBC沿BD翻折構(gòu)造2DBC求解。 ECABD證法二：如圖2，作AEBC于E，則EAC+C=90 AB=AC EAG=BAC BDAC于D DBC+C=90EAC=DBC（同角的余角相等）即DBC=BAC。 證法三：如圖3，在AD上取一點E，使DE=

3、CD ECABD 連接BE BDAC BD是線段CE的垂直平分線 BC=BE BEC=C EBC=2DBC=180-2C AB=AC ABC=C BAC=180-2C EBC=BAC DBC= BAC 說明：例1也可以取BC中點為E，連接DE，利用直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半和等腰三角形的性質(zhì)求解。同學(xué)們不妨試一試。 例2、如圖4，在ABC中，A=2B 求證：BC2=AC2+ACAB 分析：由BC2=AC2+ACAB= AC（AC+AB），啟發(fā)我們構(gòu)建兩個相似的三角形，且含有邊BC、AC、AC+AB.又由已知A=2B知，構(gòu)建以AB為腰的等腰三角形。ABACBA 證明：延長CA到D,使AD

4、=AB,則D=DBA BAC是ABD的一個外角 BAC=DBA+D=2D BAC=2ABC D=ABC 又C=C ABCBDC BC2=ACCD AD=AB BC2= AC（AC+AB）=AC2+ACAB 二、 中點問題EGDFCAB 例3已知：如圖，ABC中，AB=AC,在AB上取一點D，在AC的延長線上取一點E,連接DE交BC于點F,若F是DE的中點。求證：BD=CE 分析：由于BD、CE的形成與D、E兩點有關(guān)，但它們所在的三角形之間因為不是同類三角形，所以關(guān)系不明顯，由于條件F是DE的中點，如何利用這個中點條件，把不同類三角形轉(zhuǎn)化為同類三角形式問題的關(guān)鍵。由已知AB=AC,聯(lián)系到當(dāng)過D點

5、或E點作平行線，就可以形成新的圖形關(guān)系構(gòu)成等腰三角形，也就是相當(dāng)于先把BD或CE移動一下位置，從而使問題得解。 證明：證法一：過點D作DGAC,交BC于點G（如上圖） DGB=ACB, DGF=FCE AB=AC B=ACB B=DGB BD=DG F是DE的中點 DF=EF在DFG 和DEFC中，DFGEFCDG=CE BD=CE ABCDHEF 證法二：如圖，在AC上取一點H,使CH=CE,連接DH F是DE的中點 CF是EDH的中位線 DHBC ADH=B, AHD=BCA AB=AC B=BCA ADH=AHD AD=AH AB-AD=AC-AH BD=HC BD=CE 說明：本題信息

6、特征是“線段中點”。也可以過E作EMBC,交AB延長線于點G，仿照證法二求解。例4如圖，已知ABCD，AE平分BAD，且E是BC的中點ABCEF 求證：AD=AB+CD 證法一：延長AE交DC延長線于F ABCD BAE=F, B=ECF E是BC的中點 BE=CE 在ABE和CEF中 ABECEF AB=CF AE平分ABD BAE=DAE DAE=F AD=DF DF=DC+CFDABCEF CF=AB AD=AB+DC證法二：取AD中點F，連接EF ABCD，E是BC的中點 EF是梯形ABCD的中位線 EFAB , EF=（AB+CD） BAE=AEF AE平分BAD BAE=FAE A

7、EF=FAE AF=EF AF=DF EF=AF=FD=AD (AB+CD)= AD AD=AB+CD三角平分線問題例5如圖（1），OP是MON的平分線，請你利用圖形畫一對以O(shè)P所在直線為對稱軸的全等三角形。請你參考這個全等三角形的方法，解答下列問題。（1） 如圖（2），在ABC中，ACB是直角，B=60,AD、CE分別是BAC、BCA的平分線，AD、CE相交于點F,請你判斷并寫出EF與FD之間的數(shù)量關(guān)系。（2） 如圖（3），在ABC中，如果ACB不是直角，而（1）中的其他條件不變，請問，你在（1）中所得的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由。NOFOPOAOMOEOO( 1

8、 )DCBAEBAFBABACBAA( 2 )FEDCBAEDCBADCBABACBAA( 3 )分析：本題屬于學(xué)習(xí)性題型。這類題型的特點是描述一種方法，要求學(xué)生按照指定的方法解題。指定方法是角平分問題的“翻折法”得全等形。解：（1）EF=FD（2）答：（1）結(jié)論EF=FD仍然成立 理由：如圖（3），在AC上截取AG=AE,連接FG 在AEF和AGF中， AEFAGF EF=GF, EFA=GFA 由B=60，AD、CE分別是BACBCA的平分線 可得FAG+FCA=60 EFA=GFA=DFC=60 GFC=60 在CFG和CFD中 CFGCFD FG=FD 又因為EF=GF EF=FD說明

9、：學(xué)習(xí)性問題是新課程下的新型題，意在考查學(xué)生現(xiàn)場學(xué)習(xí)能力和自學(xué)能力。 拋開本題要求從角平分線的角度想，本題也可以利用角平分線的性質(zhì)“角平分線上的點到角的兩邊的距離相等”達(dá)到求解的目的。HDCBAGDCBAMCBAFEDCBAEDCBADCBABACBAA( 3 ) 解法二：（2）答（1）中的結(jié)論EF=FD仍然成立。理由：作FGAB于G,FHAC于H,FMBC于M EAD=DAC FG=FHACE=BCE FH=FG B=60 DAC+ACE=60 EFD=AFC=180- 60=120 在四邊形BEFD中 BEF+BDF=180 BDF+FDC=180 FDC =BEF 在EFG和DFM中 E

10、FGDFMEF=DF四、 線段的和差問題例6 如圖，在ABC中，AB=AC,點P是邊BC上一點，PDAB于D,PEAC于E,CMAB于M,試探究線段PD、PE、CM的數(shù)量關(guān)系，并說明理由。分析：判斷三條線斷的關(guān)系，一般是指兩較短線段的和與較長線段的大小關(guān)系，通過測量猜想PD+PE=CM.QAMAEADAPACABAA分析：在CM上截取MQ=PD，得PQMD,再證明CQ=PE答：PD+PE=CM證法一：在CM上截取MQ=PD，連接PQ. CMAB于M, PDAB于D CMB=PDB=90 CMDP四邊形PQMD為平行四邊形 PQAB CQP=CMB=90QPC=B AB=AC B=ECP QPC

11、=ECP PEAC于E PEC=90NQAMAEADAPACABAA 在PQC和PEC中 PQCPEC QC=PE MQ=PD MQ+QC=PD+PE PD+PE=CM分析2：延長DF到N使DN=CM,連接CN,得平行四邊形DNCM,再證明PN=PE證法2：延長DF到N，使DN=CM，連接CN 同證法一得平行四邊形DNCM，及PNCPEC PN=PE PD+PE=CM分析3：本題中含有AB=AC及三條垂線段PD、DE、CM，MAEADAPACABAA 且，所以可以用面積法求解。證法三：連接AP,PDAB于D,PEAC于E,CMAB于MPQC=PEC QPC=ECP PC=PC AB=AC 且

12、說明：當(dāng)題目中含有兩條以上垂線段時，可以考慮面積法求解。五、 垂線段問題 例7 在平行四邊形ABCD中，P是對角線BD上一點，且垂足分別是E、F FECBAECBADCBACBABAAPECBA求證： 分析：將比例式轉(zhuǎn)化為等積式，聯(lián)想到，即PAB與PBC的面積相等，從而用面積法達(dá)到證明的目的。 證明：連接AC與BD交于點O,連接PA、PC 在平行四邊形ABCD中，AO=CO 同理， 例8求證：三角形三條邊上的中線相交于一點。分析：這是一個文字?jǐn)⑹龅拿}。要證明文字命題，需要根據(jù)題意畫出圖形，再根據(jù)題意、結(jié)合圖形寫出已知、求證。已知：ABC中，AF、BD、CE是其中線。求證：AF、BD、CG相交

13、于一點。分析：要證三線交于一點，只要證明第三條線經(jīng)過另兩條線的交點即可。證明：設(shè)BD、CE相交于點G，連接AG，并延長交BC于點F,. 作BMAF,于M,CNAF,于N 則 在BMF,和CNF,中 BMFCNF AF,是BC邊上的中線 又AF時BC邊上的中線 AF與AF,重合 即AF經(jīng)過點D AF、BD、CE三線相交于點G 因此三角形三邊上的中線相交于一點。六、 梯形問題 例9以線段a=16,b=13為梯形的兩底，以c=10為一腰，則另一腰長d的取值范圍是DBACBAEBABAA 分析：如圖，梯形ABCD中，上底b=13，下底a=16，腰AD= c=10，過B作BEAD,得到平行四邊形ABED

14、，從而得AD=BE=10,AB=DE=13 所以EC=DC-DE=16-13=3. 所以另一腰d的取值范圍是 10-3d10+3 答案：7d13例10如圖，已知梯形ABCD中，ABDC,高AE=12,BD=15,AC=20,求梯形ABCD的面積。 分析：已知條件中給出兩條對角線的長，但對角線位置交錯，條件一時用不上。另外，求梯形面積只要求出上、下底的和即可，不一定求出上、下底的長，所以考慮平移腰。 解：解法一：如圖，過A作AFBD,交CD延長線于FFEBADBACBAEBABAA 在直角三角形AEF中，AE=12,AF=15 在直角三角形AEC中，AE=12,AF=15 FEBADBACBAE

15、BABAA 解法二：如圖，過B作BFDC于F BFC=90AEDC于E 在直角三角形ABC中， 在直角三角形BDF中，例11.如圖，在梯形ABCD中，ADBC,B+C=90,M、N分別是AD、BC的中點，ABCDMNG試說明： 分析1：B+C=90，考慮延長兩腰，使它們相交于一點，構(gòu)成直角三角形。 解法1：延長BA、CD交于點G,連接GM、GN B、A、G共線 G、M、N共線 分析2：考慮M、N分別為AD、BC中點，可以過M分別作AB、DC的平行線，梯形ABCD內(nèi)部構(gòu)成直角三角形，把梯形轉(zhuǎn)化為平行四邊形和三角形。 解法2：作MEAB交BC于E,作MFDC交BC于F ADBC 四邊形ABEM、D

16、CFM都是平行四邊形ABCDMNEF BE=AM,FC=DM EMF=90,又EN=FN模式歸納 通過上面各例的分析、解證，發(fā)現(xiàn)添加適當(dāng)?shù)妮o助線能使解題思路暢通，解答過程簡捷。但輔助線的添加靈活多變，好像比較難以把握。其實添什么樣的輔助線？怎么添輔助線？與已知條件的特征和所求問題的形成關(guān)系密切。下面分類歸納幾種常用的輔助線的添加方法。一、 倍角問題研究2或=問題通稱為倍角問題。倍角問題分兩種情形：1. 與在兩個三角形中，常作的平分線，得1=，然后證明1=；或把翻折，得2=2，然后證明2=（如圖一）2. 與在同一個三角形中，這樣的三角形常稱為倍角三角形。倍角三角形問題常用構(gòu)造等腰三角形的方法添加

17、輔助線（如圖二）圖二21圖一二 中點問題 已知條件中含有線段的中點信息稱為中點問題。這類問題常用三種方法添加輔助線（1） 延長中線至倍（或者倍長中線），如圖一。若圖形中沒有明顯的三角形的中線，也可以構(gòu)造中線后，再倍長中線，如圖二。（2） 構(gòu)造中位線，如圖三（3） 構(gòu)造直角三角形斜邊上的中線，如圖四。 圖一 圖二 圖三 圖四三、 角平分線問題已知條件中含有角平分線信息稱為角平分線問題。常用的輔助線有兩種：1. 以角平分線所在直線為對稱軸，構(gòu)造全等三角形，如圖一、二所示。2. 由角平分線上的點向角的兩邊做垂線，構(gòu)造全等三角形，如圖二所示。圖一 圖二 圖三 四、 線段的和差問題已知條件或所求問題中含

18、有a+b=c或a=c-b，稱為線段的和差問題，常用的輔助線有兩種：1. 短延長：若AB=a,則延長AB到M,使BM=b,然后證明AM=c；2. 長截短：若AB=c,則在線段AB上截取AM=a,然后證明MB=b。 五、 垂線段問題已知條件或所求問題中含有兩條或者兩條以上的垂線段時，而所研究的問題關(guān)系又不明顯時，可以借助于可求圖形的面積轉(zhuǎn)化。常用的面積關(guān)系有：1. 同（等）底的兩個三角形的面積與其高的關(guān)系；2. 同（等）高的兩個三角形的面積與其底的關(guān)系。六、 梯形問題梯形可以看作是一個組合圖形，組成它的基本圖形是三角形、平行四邊形、矩形等。因此，可以通過添加適當(dāng)?shù)妮o助線，把梯形問題轉(zhuǎn)化為三角形、平

19、行四邊形、矩形等問題求解，其基本思想為：轉(zhuǎn)化分割、拼接梯形問題 三角形或者平行四邊形問題在轉(zhuǎn)化、分割、拼接時常用的輔助線：1. 平移一腰。即從梯形一個頂點作另一個腰的平行線，把梯形分成一個平行四邊形和一個三角形（如圖一）。研究有關(guān)腰的問題時常用平移一腰。2. 過頂點作高。即從同一底的兩端作另一底所在直線的垂線，把梯形轉(zhuǎn)化成一個矩形和兩個直角三角形（如圖二）。研究有關(guān)底或高的問題時常過頂點作高。3. 平移一條對角線。即從梯形的一個頂點作一條對角線的平行線，把梯形轉(zhuǎn)化成平行四邊形和三角形（如圖三）。研究有關(guān)對角線問題時常用平移對角線。這種添加輔助線的方法，可以將梯形兩條對角線及兩底的和集中在一個三角形內(nèi)，使梯形的問題轉(zhuǎn)化為三角形的問題。此三角形的面積等于梯形的面積。4. 延長兩腰交于一點。把梯形問題轉(zhuǎn)化為兩個相似的