潮汐中的三角函數(shù)問題

1、潮汐問題中三角函數(shù)模型 農(nóng)七師高級中學(xué) 高一數(shù)學(xué)組 席雪梅摘要 圣米切爾山的漲潮、落潮-圣米切爾山是繼巴黎鐵塔同凡爾賽宮之后，法國第三大景點。它的最大特點是在水中央，潮漲時整座山幾乎四面環(huán)海，潮退時則一片荒漠。 海水受日月的引力，在一定的時候發(fā)生漲落的現(xiàn)象叫潮。一般地，早潮叫潮。晚潮叫汐。在通常情況下，船在漲潮時駛進(jìn)航道，靠近碼頭；卸貨后，在落潮時返回海洋。潮汐現(xiàn)象是一種自然現(xiàn)象，天文學(xué)家將潮汐形象的比喻為地球的脈搏、地球的呼吸 潮汐與海港碼頭的建設(shè)有著密切的關(guān)系 ，在港口建設(shè)中要按沿海潮汐的規(guī)律來確定港口高度和港口水深，使船只達(dá)到港口不至于被高潮淹沒，也不至在最低潮時使船擱淺。 在客觀現(xiàn)實世

2、界中象潮汐的周期性變化現(xiàn)象，我們通常需要借助于三角函數(shù)這一重要數(shù)學(xué)模型刻畫，以便更好的為國民經(jīng)濟(jì)服務(wù)。一 問題研究現(xiàn)在給出這樣一個與潮汐有關(guān)的實際問題問題探究1 若你作為船長，當(dāng)你的船只要到某個港口去 ，你希望知道關(guān)于那個港口的一些什么情況？如圖所示，下面是在某個港口某年某個季節(jié)每天的時間與水深的關(guān)系表：時間0.001.003.006.008.009.0012.0015.0018.0021.0024.00水深5.06.257.55.02.842.55.07.55.02.55.0仔細(xì)觀察表格中的數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)水深的最大值是7.5米，最小值是2.5米，水的深度變化有什么特點嗎？水的深度開始由5.0米增

3、加到7.5米，后逐漸減少一直減少到2.5，又開始逐漸變深，增加到7.5米后，又開始減少。水深變化并不是雜亂無章，而是呈現(xiàn)一種周期性變化規(guī)律，為了更加直觀明了地觀察出這種周期性變化規(guī)律，我們需要做什么工作呢？假設(shè)和檢驗將表中的數(shù)據(jù)輸入計算器或計算機(jī)，畫出它們的散點圖，進(jìn)行觀察散點圖的基礎(chǔ)上應(yīng)用Excel的功能繪制不同類型的圖表，如平滑線散點圖，折線散點圖，三維柱形圖，圓錐圖，餅圖。從不同角度感受這些數(shù)據(jù)的特點，并整理、提升出較好的函數(shù)模型三角函數(shù)模型 下面這個函數(shù)模型給求出由圖得得到了一個近似刻畫水深與時間關(guān)系的三角函數(shù)模型，為了保證所選函數(shù)的精確性，通常還需要一個檢驗過程，帶值進(jìn)行簡單的驗證。

4、有了這個模型，我們要制定一張一天24小時內(nèi)整時刻的水深表，就是件非常容易的事情了，下面算一下在4時的時候水深是多少？（呈現(xiàn)水深關(guān)于時間的數(shù)值表）時刻1.002.003.004.005.006.007.008.009.0010.0011.0012.00水深5.0006.2507.1657.5006.2505.0003.7542.8352.5002.8353.7545.000時刻13.0014.0015.0016.0017.0018.0019.0020.0021.0022.0023.0024.00水深6.2507.1657.5007.1656.2505.0003.7542.8352.5002.83

5、53.7545.000水深關(guān)于時間的函數(shù)模型，作為船長考慮的問題還沒有結(jié)束，因為船只在進(jìn)出港時，每艘船只的吃水深度是不一樣，下面我們就看一看把這兩方面的情況都考慮進(jìn)去的一個問題：問題探究2：一艘貨船的吃水深度（船底與水面的距離）為4米，安全條例規(guī)定至少要有1.5米的安全間隙（船底與洋底的距離），試問：該船何時能夠進(jìn)入港口？在港口能呆多久？貨船能夠進(jìn)入港口所需要滿足的條件是什么只有當(dāng)“實際水深吃水深度+安全間隙”時，船只才可以進(jìn)去或離開港口。 解三角不等式，通常我們是算去邊界值，然后再確定解的范圍。令 ，我們知道三角方程在實數(shù)范圍內(nèi)有解就有無數(shù)個，那么在0，24范圍內(nèi)，其他一些解該怎么求呢？我們

6、來看圖象情況。發(fā)現(xiàn)：在0，24范圍內(nèi)，方程的解一共有4個，從小到大依次記為4個交點的橫坐標(biāo)值。結(jié)合圖象貨船應(yīng)該選擇什么時間進(jìn)港？什么時間出港呢？方案1 貨船可以在0時30分鐘左右進(jìn)港，早晨5時30分鐘左右出港；或者是中午12時30分鐘左右進(jìn)港，在傍晚17時30分鐘左右出港。方案2貨船可以在0時30分鐘左右進(jìn)港，可以選擇早晨5時30分，中午12時30分，或者傍晚17時30分左右出港。給出了兩種不同的進(jìn)出港時間方案，哪一種情況更符合實際或者說更安全。問題的分析研究方案1 為安全方案，因為當(dāng)實際水深小于安全深度時，貨船盡管沒有行駛，但是擱淺后船身完全可以餡入淤泥，即使后來水位上漲，也很可能船身不再上

7、浮整個過程，貨船在進(jìn)港，在港口停留，到后來離開港口，貨船的吃深深度一直沒有改變，也就是說貨船的安全深度一直沒有改變，但是實際情況往往是貨船載滿貨物進(jìn)港，在港口卸貨，在卸貨的過程中，由物理學(xué)的知識我們知道，隨著船身自身重量的減小，船身會上浮，換句話說，隨著貨物的卸載，貨船的安全深度不再向開始那樣一直是一個常數(shù)，現(xiàn)在它也是一個關(guān)于時間的變量，而實際水深也一直在變化，這樣一來當(dāng)兩者都在改變的時候，我們又改如何選擇進(jìn)出港時間呢？請看下面問題：問題探究3：一艘貨船的吃水深度（船底與水面的距離）為4米，安全條例規(guī)定至少要有1.5米的安全間隙（船底與洋底的距離），該船在2：00開始卸貨，吃水深度以每小時0.

8、3米的速度減少，那么該船在什么時間必須停止卸貨，將船駛向較深的水域？問題中“必須停止卸貨”，是在貨船即將面臨什么危險的時候呢？ 當(dāng)實際水深快要小于或等于安全水深的時候，就必修停止卸貨。 那么我們先把貨船安全需要滿足的條件給寫出來： 安全即需要：實際水深安全水深 即：（x=2）用代數(shù)的方法不好解的時候，我們不妨從幾何的角度來考慮這個問題。作圖并呈現(xiàn)通過圖象可以看出，當(dāng)快要到P時刻的時候，貨船就要停止卸貨，駛向深水區(qū)。那么P點的坐標(biāo)如何求得呢？P點橫坐標(biāo)即為方程解，很顯然，精確常見解我們是無法求得，我們二分法只能是求得其近似解，由圖得點P在6，7，故我們只需要算出6，6.5，7三個時刻的安全水深與

9、實際水深的數(shù)值表就可以回答上面的問題。時間 實際水深安全水深是否安全605米43米安全6542米41米較安全7038米40米危險貨船應(yīng)該在6時30分駛離港口。問題的分析與研究P點是兩圖像的交點 在貨船的安全水深正好和港口的水深相等時，停止卸貨駛向較深的水域是不行的 因為這樣不能保證貨船有 足夠的時間發(fā)動螺旋漿從這這個問題可以看出，如果有時候時間控制不當(dāng)，貨船在卸貨的過程中，就會出現(xiàn)貨還沒有卸完，不得已要暫時駛離港口，進(jìn)入深水區(qū)，等水位上后在駛回來。這樣對船長來說就會造成才力、物力上的巨大浪費(fèi)？這顯然不是船長愿意看到的。那該怎么來做呢？加快卸貨速度，也就是加快安全深度下降速度，合理調(diào)配人力物力資

10、源，時間分配不違背自然規(guī)律，懂科學(xué)，用科學(xué)，生活中無處不存在數(shù)學(xué)的知識二 數(shù)學(xué) 模型建立的步驟回顧我們整個探究過程，經(jīng)歷了這么幾個階段 第一階段：收集數(shù)據(jù)-畫散點圖（為了更加直觀形象揭示變化規(guī)律）第二階段：根據(jù)圖象特征-選擇適當(dāng)函數(shù)類型，并求得函數(shù)類型第三階段：函數(shù)模型在實際問題中的應(yīng)用三 模型中的數(shù)學(xué)思想在整個探究過程，我們用到數(shù)的一些思想方法：（1）對實際問題處理過程是，首先是挖掘其中的數(shù)學(xué)本質(zhì)，將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題；體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化思想；（2）在對一些數(shù)據(jù)處理的過程用到了估算的思想；（3）在用代數(shù)方法處理困難的一些題目的解決中，用到了數(shù)形結(jié)合的思想；（4）在方程的求解過程中，用到了算法中“二分法”思想。我們利用數(shù)學(xué)中的三角函數(shù)處理了生活中貨船進(jìn)出港問題，本文中 潮汐的變化直接影響著人們的生活，象軍事、遠(yuǎn)洋航海、海上捕魚、海水養(yǎng)殖，海洋工程及沿岸各類生產(chǎn)活動都受潮汐的影響，為了掌握潮汐的規(guī)律，對潮汐的研究從來沒有停止過，在我國沿海分布著許許多多大大小小的海洋站，這些海洋站隨時記錄著當(dāng)?shù)爻毕那闆r，潮位的變化