2011高三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第五篇 第七節(jié) 空間向量及其運(yùn)算精品課件 文科 新人教版

1、第七節(jié)空間向量及其運(yùn)算,1空間向量的概念及運(yùn)算 空間向量的概念及運(yùn)算同平面向量基本相同加減運(yùn)算遵循 ；數(shù)乘運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算與平面向量的數(shù)乘運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算 ；坐標(biāo)運(yùn)算與平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算類似，僅多出了一個(gè)豎坐標(biāo) 2空間向量的有關(guān)定理 (1)共線向量定理：對(duì)空間任意兩個(gè)向量a，b(b0)，ab的充要條件是 . (2)共面向量定理：如果兩個(gè)向量a，b不共線，那么向量c與向量a，b共面的充要條件是 .,三角形或平行四邊形法則,相同,存在實(shí)數(shù)，使得ab,存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)，使cxayb,(3)空間向量基本定理：如果三個(gè)向量a，b，c不共面，那么對(duì)空間任一向量p，存在有序?qū)崝?shù)組x，y，z，使

2、得 ，其中，a，b，c叫做空間的一個(gè) ,pxaybzc,基底,3空間向量的數(shù)量積及運(yùn)算律 (1)數(shù)量積及相關(guān)概念 兩向量的夾角 已知兩個(gè)非零向量a，b，在空間任取一點(diǎn)O，作 ，則 叫做向量a與b的夾角，記作 ，其范圍是 ，若a，b ，則稱a與b互相垂直，記為ab. 兩向量的數(shù)量積 已知空間兩個(gè)非零向量a，b，則 叫做a，b的數(shù)量積，記作ab，即 (2)數(shù)量積的運(yùn)算律 結(jié)合律：(a)b ； 交換律：ab ； 分配律：a(bc) .,AOB,a，b,0a，b,|a|b|cosa，b,ab|a|b|cosa，b,(ab),ba,abac,【答案】B,2若空間三點(diǎn)A(1,5，2)，B(2,4,1)，C

3、(p,3，q2)共線，則() Ap3，q2 Bp2，q3 Cp3，q2 Dp2，q3,【答案】A,【答案】C,【答案】銳角三角形,5已知向量a(1,1,0)，b(1,0,2)且kab與2ab互相垂直，則k_.,【解析】kab(k，k,0)(1,0,2)(k1，k,2)， 2ab(2,2,0)(1,0,2)(3,2，2) 由(kab)(2ab)0得3(k1)2k40. k .,【答案】,如圖所示，在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，設(shè) ， M、N、P分別是AA1、BC、C1D1的中點(diǎn)， 試用a，b，c表示以下各向量：,【思路點(diǎn)撥】結(jié)合圖形，利用空間向量加減法及數(shù)乘運(yùn)算法則和運(yùn)算律即可,【方

4、法點(diǎn)評(píng)】用已知向量表示未知向量，一定要結(jié)合圖形可從以下角度入手 (1)要有基向量意識(shí)，把有關(guān)向量盡量統(tǒng)一到基向量上來 (2)把要表示的向量標(biāo)在封閉圖形中，表示為其他向量的和差的形式，進(jìn)而尋找這些向量與基向量的關(guān)系 (3)用基向量表示一個(gè)向量時(shí)，如果此向量的起點(diǎn)是從基底的公共點(diǎn)出發(fā)的，一般考慮用加法，否則考慮用減法，如果此向量與一個(gè)易求的向量共線，可用數(shù)乘 (4)注意應(yīng)用以下結(jié)論，,設(shè)A，B，C及A1，B1，C1分別是異面直線l1，l2上的三點(diǎn)，而M、N、P、Q分別是線段AA1，BA1，BB1，CC1的中點(diǎn)，求證：M，N，P，Q四點(diǎn)共面,2如圖所示，已知P是平行四邊形ABCD所在平面外一點(diǎn)，連接

5、PA、PB、PC、PD，點(diǎn)E、F、G、H分別為PAB、PBC、PCD、PDA的重心，求證： (1)E、F、G、H四點(diǎn)共面； (2)平面EFGH平面ABCD.,【證明】(1)分別連接并延長(zhǎng)PE、PF、PG、PH交對(duì)邊于M、N、Q、R.因?yàn)镋、F、G、H分別是所在三角形的重心，所以M、N、Q、R為所在邊的中點(diǎn)順次連接M、N、Q、R所得四邊形為平行四邊形，,設(shè)向量a(3,5，4)，b(2,1,8)，計(jì)算2a3b,3a2b，ab以及a與b所成角的余弦值，并確定，應(yīng)滿足的條件，使ab與z軸垂直,【思路點(diǎn)撥】代入向量坐標(biāo)運(yùn)算的公式求2a3b,3a2b，ab，利用數(shù)量積求a與b的夾角余弦值，利用(ab)(0

6、,0,1)0，確定，的關(guān)系,3已知ABC的頂點(diǎn)A(1,1,1)，B(2,2,2)，C(3,2,4)，試求 (1)ABC的重心坐標(biāo)；(2)ABC的面積； (3)ABC的AB邊上的高,1(2009年福建高考)如圖，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，MD平面ABCD，NB平面ABCD，且MDNB1，E為BC的中點(diǎn) ()求異面直線NE與AM所成角的余弦值； ()在線段AN上是否存在點(diǎn)S，使得ES平面AMN? 若存在，求線段AS的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說明理由,2(2009年安徽高考)如圖，四棱錐FABCD的底面ABCD是菱形，其對(duì)角線AC2，BD ，AE、CF都與平面ABCD垂直，AE1，CF2. (1)求

7、二面角BAFD的大?。?(2)求四棱錐EABCD與四棱錐FABCD的公共部分的體積,【解析】(1)(綜合法)連接AC、BD交于點(diǎn)O，即為菱形的中心，過O作OGAF，G為垂足，連接BG、DG如圖 由BDAC，BDCF得BD平面ACF，故BDAF. 于是AF平面BGD，所以BGAF，DGAF， 所以BGD即為二面角BAFD的平面角 由FCAC，F(xiàn)CAC2，得FAC ， OG . 由OBOG，OBOD ，得BGD2BGO .,(2)連接EB、EC、ED、EF、BD，設(shè)直線AF與直線CE相交于點(diǎn)H，則四棱錐E-ABCD與四棱錐F-ABCD的公共部分為四棱錐H-ABCD. 過H作HP平面ABCD，P為垂

8、足 因?yàn)镋A平面ABCD，F(xiàn)C平面ABCD，所以平面ACFE平面ABCD，從而PAC，HPAC.,3(2009年廣東高考)如圖，已知正方體ABCDA1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)E是正方形BCC1B1的中心，點(diǎn)F，G分別是棱C1D1，AA1的中點(diǎn)設(shè)點(diǎn)E1，G1分別是點(diǎn)E，G在平面DCC1D1內(nèi)的正投影 (1)求以E為頂點(diǎn)，以四邊形FGAE在平面DCC1D1內(nèi)的正投影為底面邊界的棱錐的體積； (2)證明：直線FG1平面FEE1； (3)求異面直線E1G1與EA所成角的正弦值,1利用共線向量定理，可解決立體幾何中有關(guān)三點(diǎn)共線和兩直線平行等問題，利用共面向量定理，可解決立體幾何中有關(guān)直線在平面內(nèi)，直線與平面平行，平面與平面平行以及四點(diǎn)共面等問題 2根據(jù)空間向量基本定理，選定空間不共面的三個(gè)向量作為一個(gè)基底，并用它線性表示指定的向量，這是運(yùn)用空間向量知識(shí)解決立體幾何問題的一個(gè)基本思想方法，其過程就是將立體幾何問題轉(zhuǎn)化為空間向量問題的過程,3空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算類似于平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算在運(yùn)用空間向量的坐標(biāo)形式解決立體幾何問題時(shí)，首先要建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，并將相關(guān)的點(diǎn)、線、面等用空間向量表示，進(jìn)而將空間向量用坐標(biāo)的形式表示，通過對(duì)向量的坐標(biāo)運(yùn)算使問題獲解，這也是數(shù)形結(jié)合思想的一種體現(xiàn) 4要注意在長(zhǎng)方體、正方體、直三棱柱、正棱柱、正四棱柱等特殊幾何體中建立空間直角坐標(biāo)系