概率論完整課件第15講

1、,例1 設生男孩的概率為p,生女孩的概率為 q=1-p，令X表示隨機抽查出生的4個嬰兒中“男孩”的個數(shù).,一、,我們來求X的概率分布.,X的概率函數(shù)是：,男,女,X表示隨機抽查的4個嬰兒中男孩的個數(shù)， 生男孩的概率為 p.,X可取值0,1,2,3,4.,例2 將一枚均勻骰子拋擲3次， 令X 表示3次中出現(xiàn)“4”點的次數(shù),X的概率函數(shù)是：,不難求得，,擲骰子：“擲出4點”，“未擲出4點”,一般地，設在一次試驗中我們只考慮兩個 互逆的結(jié)果：A或 ， 或者形象地把兩個互逆結(jié)果叫做“成功”和“失敗”.,新生兒：“是男孩”，“是女孩”,抽驗產(chǎn)品：“是正品”，“是次品”,這樣的n次獨立重復試驗稱作n重貝努

2、里試驗，簡稱貝努里試驗或貝努里概型.,再設我們重復地進行n次獨立試驗 ( “重復”是指這次試驗中各次試驗條件相同 )，,每次試驗成功的概率都是p，失敗的概率 都是q=1-p.,用X表示n重貝努里試驗中事件A（成功）出現(xiàn)的次數(shù)，則,（2）,不難驗證：,（1）,稱r.vX服從參數(shù)為n和p的二項分布，記作,XB(n,p),當n=1時， P(X=k)=pk(1-p)1-k,k=0,1 稱X服從0-1分布,例3 已知100個產(chǎn)品中有5個次品，現(xiàn)從中 有放回地取3次，每次任取1個，求在所取的3個中恰有2個次品的概率.,解: 因為這是有放回地取3次，因此這3 次試驗 的條件完全相同且獨立，它是貝努里試驗.,

3、依題意，每次試驗取到次品的概率為0.05.,設X為所取的3個中的次品數(shù)，,于是，所求概率為：,注：若將本例中的“有放回”改為”無放回”，那么各次試驗條件就不同了，不是貝努里概型，此時，只能用古典概型求解.,古典概型與貝努里概型不同，有何區(qū)別？,請思考：,貝努里概型對試驗結(jié)果沒有等可能的要求，但有下述要求：,（1）每次試驗條件相同；,二項分布描述的是n重貝努里試驗中出現(xiàn) “成功”次數(shù)X的概率分布.,（2）每次試驗只考慮兩個互逆結(jié)果A或 ，,且P(A)=p ， ；,（3）各次試驗相互獨立.,可以簡單地說，,例4 某類燈泡使用時數(shù)在1000小時以上 的概率是0.2，求三個燈泡在使用1000 小時以后

4、最多只有一個壞了的概率.,解: 設X為三個燈泡在使用1000小時已壞的燈泡數(shù) .,X B (3, 0.8)，,把觀察一個燈泡的使用 時數(shù)看作一次試驗, “使用到1000小時已壞” 視為“成功”.每次試驗, “成功”的概率為0.8,P(X 1) =P(X=0)+P(X=1),=(0.2)3+3(0.8)(0.2)2,=0.104,對于固定n及p，當k增加時 ,概率P(X=k) 先是隨之增加直至 達到最大值, 隨后單調(diào)減少.,當(n+1)p不為整數(shù)時，二項概率P(X=k)在k=(n+1)p達到最大值；,( x 表示不超過 x 的最大整數(shù)),對于固定n及p，當k增加時 ,概率P(X=k) 先是隨之增

5、加直至 達到最大值, 隨后單調(diào)減少.,當(n+1)p為整數(shù)時，二項概率P(X=k)在k=(n +1)p和k =(n+1)p-1處達到最大值.,課下請自行證明上述結(jié)論.,想觀看二項分布的圖形隨參數(shù)n,p的具體變化，請看演示,二項分布,二、二項分布的泊松近似,當試驗次數(shù)n很大時，計算二項概率變得很麻煩，如教材例4中，要計算,我們先來介紹二項分布的泊松近似，后面第十七講中，我們將介紹二項分布的正態(tài)近似.,或諸如此類的計算問題，必須尋求近似方法.,證明見教材.,定理的條件意味著當 n很大時，pn 必定很小. 因此，泊松定理表明，當 n 很大，p 很小時有以下近似式：,其中,n 100, np 10 時

6、近似效果就很好,請看演示,二項分布的泊松近似,實際計算中，,其中,此例說明，當p不是很小，而是很大( 接近于1)，可將問題略為轉(zhuǎn)換一下，仍然可以應用泊松近似.,當 n很大時，p不是很小，而是很大( 接近于1)時， 能否應用二項分布的泊松近似？,請看教材例5.,下面我們看一個應用例子.,例5 為保證設備正常工作，需要配備適量的維修人員 . 設共有300臺設備，每臺的工作相互獨立，發(fā)生故障的概率都是0.01.若在通常的情況下，一臺設備的故障可由一人來處理 . 問至少應配備多少維修人員，才能保證當設備發(fā)生故障時不能及時維修的概率小于0.01?,我們先對題目進行分析：,300臺設備，獨立工作，出故障概

7、率都是0.01. 一臺設備故障一人來處理. 問至少配備多少維修人員，才能保證當設備發(fā)生故障時不能及時維修的概率小于0.01?,設X為300臺設備同時發(fā)生故障的臺數(shù)，,300臺設備，獨立工作，每臺出故障概率 p=0.01 . 可看作n=300的貝努里概型.,XB(n,p)，n=300, p=0.01,可見，,300臺設備，獨立工作，出故障概率都是0.01 . 一臺設備故障一人來處理. 問至少配備多少維修人員，才能保證當設備發(fā)生故障時不能及時維修的概率小于0.01?,設X為300臺設備同時發(fā)生故障的臺數(shù)，,XB(n,p)，n=300, p=0.01,設需配備N個維修人員，,所求的是滿足,P(XN) 0.01 或 P(X N) 0.99,的最小的N.,設需配備N個維修人員，,所求的是滿足,P(XN) 0.01的最小的N.,P(XN),n大,p小,np=3, 用 =np=3 的泊松近似,下面給出正式求解過程：,即至少需配備8個維修人員.,查書末的泊松分布表得,N+1 9,即N 8,這一講，我們介紹了二項