新激光課件第二章光學諧振腔理論02

1、2.4 諧振腔的衍射積分理論,惠_菲原理: 光波波面上每一點可看作次球面子波的波源，下一時刻新的波前形狀由次級子波的包絡面所決定?？臻g光場是各子波干涉疊加的結果。,復習,一、菲基衍射積分,圖3-1 惠更斯-菲涅耳原理,設波陣面上任一源點 的光場復振幅為 ，則空間任一觀察點P的光場復振幅 由下列積分式計算：,圖3-2 鏡面上場分布的計算示意圖,二、衍射積分公式在諧振腔中的應用,一般地,La,較小, Ra,三、自再現(xiàn)模應滿足的積分方程式,1.自再現(xiàn)模,對對稱開腔而言,在腔內(nèi)渡越一次后,除振幅衰減 和相位滯后外,場的相對分布保持不變的穩(wěn)定場分布.,2.數(shù)學表達式,如果以v (x,y)表示開腔中不受衍

2、射影響的穩(wěn)態(tài)場分布函數(shù),則有,積分方程的核,四、積分方程解的物理意義,1. 積分方程的解,開腔自再現(xiàn)模的積分方程是個本征方程,有多個解.,設 表示其第mn個解， 表示相應的復常數(shù)。,2. 本征函數(shù)的意義,本征函數(shù)一般為復函數(shù)，其模描述開腔鏡面上 光場振幅分布；輻角則描述相位分布。,3. 本征值的意義,單程損耗就是自再現(xiàn)模在腔內(nèi)單程渡越所經(jīng)受的平均 相對功率損耗。在對稱開腔的情況下,單程渡越總相移,對稱開腔自再現(xiàn)模的諧振條件,平面腔在激光發(fā)展史上最先被采用,第一臺激光器就 是用平行平面腔做成的。目前,在中等以上功率的固體激 光器和氣體激光器中仍常常采用它。平行平面腔的主要 優(yōu)點是,光束方向性極好

3、、模體積較大、比較容易獲得單 橫模振蕩等。其主要缺點是調(diào)整精度要求極高,此外,與 穩(wěn)定腔比較,損耗也較大,因而對小增益器件不大適用。,2.5 平行平面腔自再現(xiàn)模,迭代法,所謂迭代法,就是利用迭代公式,直接進行數(shù)值計算。 首先,假設在某一鏡面上存在一個初始場分布u1,將它代人上式,計算在腔內(nèi)經(jīng)第一次渡越而在第二個鏡面上生成的場u2,然后再用所得到的場代入，計算在腔內(nèi)經(jīng)第二次渡越而在第一鏡上生成的場u3。如此反復運算，在對稱開腔的情況下,當j足夠大時,數(shù)值計算得出的uj uj+1uj+2滿足,那么uj就是該積分方程的本征函數(shù),一、平行平面腔模式的自再現(xiàn)方程,因為上式對x、y軸對稱，,令,二、平行平

4、面腔模式的數(shù)值迭代法（略）,2. 對稱共焦腔的自再現(xiàn)模,共焦腔：,構成腔的兩個球面鏡的曲率半徑相等且 等于腔長時，兩個鏡面的焦點重合且位于腔 中心的諧振腔,一、方形鏡面共焦腔自再現(xiàn)模積分方程的解析解,設方鏡每邊長為2a，共焦腔的腔長為L，光波波長為，并把x，y坐標的原點選在鏡面中心而以(x，y)來表示鏡面上的任意點，則在近軸情況下，積分方程有本征函數(shù)近似解析解,本征值近似解,Hm(X)和Hn(Y)均為厄密多項式，其表示式為：,二、 鏡面上自再現(xiàn)模場的特征,1.鏡面上場的振幅分布,基模：,m=n=0,TEM00是基橫模,光斑半徑:,場的振幅降落為中心值的1/e時的半徑大小,基模總功率:,高階模：

5、,m、n不同時為0,光斑有效半徑:,2.鏡面上場的相位分布,由自再現(xiàn)模輻角決定,共焦腔反射鏡面本身構成光場的一個等相位面。,3.單程損耗,由圖可見單程損耗特點:,共焦腔損耗平面腔損耗,共焦腔各模損耗只與N有關, 與幾何尺寸無關,基模,同一N下,衍射損耗隨模階次 的增高迅速增大,共焦腔模與平面腔模在損耗上的這一差別是不難理解的。在共焦腔中,除了衍射引起的光束發(fā)散作用以外,還有腔鏡(凹面鏡)對光束的會聚作用。這兩種因素一起決定腔 的損耗的大小。如第一章所已經(jīng)證明的,對共焦腔和其他穩(wěn)定球面腔而言,傍軸光線的幾何偏折損耗為零,因而腔的損耗具有純粹衍射損耗的性質(zhì)。而且,只要N不太小,共焦 腔模就將集中在

6、鏡面中心附近,在鏡邊緣處振幅很小,因而衍射損耗極低。平面腔的情況與此不同,所有與軸線成非零夾角而傳播的光都將不可避免地出現(xiàn)幾何損耗,而且平面腔模原則上展布在整個鏡面上。在菲涅耳數(shù)相同的情況下,同一模式在鏡邊緣處的振幅遠比共焦腔模的振幅大,所有這一切都決定了平面腔的損耗應比共焦腔高得多。,(4)單程相移與諧振頻率：,共焦腔TEMmn模在腔內(nèi)一次渡越的總相移為,由于徑向長橢球函數(shù)為實函數(shù),即可得出,為單程附加相移mn,單程相移:,諧振頻率：,討論,共焦腔模在頻率上是高度簡并的,頻率間隔,同橫鄰縱,同縱鄰橫,共焦腔橫模序數(shù)對頻率的影響比平面腔大很多!,三、方形鏡共焦腔的行波場,腔內(nèi)的光場可以通過基爾

7、霍夫衍射公式計算由 鏡面M1上的場分布在腔內(nèi)造成的行波求得。腔外的 光場則就是腔內(nèi)沿一個方向傳播的行波透過鏡面的 部分。即行波函數(shù)乘以鏡面的透射率。這種行波場 叫做厄米-高斯光束。,式中,基模光斑半徑,基模腰斑半徑,行波場特征,(1)振幅分布,共焦場的振幅分布,對基模,定義在振幅的1/e處的基模光斑尺寸為基模光斑半徑(z),可見，共焦場中基模光斑的大小 隨著坐標z按雙曲線規(guī)律變化,0稱為高斯光束的 基模腰斑半徑,z=0時，(z)最小,z=土L/2=土f時，,0s為共焦腔鏡面上的基模光斑半徑,(2)模體積,某一模式的模體積描述該模式在腔內(nèi)所擴展的空間范圍。,模體積大,對該模式的振蕩有貢獻的激發(fā)態(tài)

8、粒子數(shù) 就多,輸出功率就大； 模體積小,則對振蕩有貢獻的激發(fā)態(tài)粒子就少， 輸出功率也就小。,基模,高階模,(3)等相位面的分布,共焦腔行波場相位分布決定于,與腔的軸線相交于z0點的等相位面的方程為,(x,y,z)= (0,0,z),以z為旋轉軸的旋轉拋物面,在傍軸區(qū),該等相位面近似為球面,共焦場的等相位面都是凹面 向著腔的中心(z=0)的球面。,a.,b.,共焦腔反射鏡面本身 與場的兩個等相位面重合,c.,共焦腔中心及距腔中心無限遠處的等相位面是與腔軸垂 直的平面。,d.,共焦腔反射鏡面是共焦場中曲率最大的等相位面。,相位面處放上一塊具有相應曲率的反射鏡片,則入射在該鏡片上的場將準確地沿著原入

9、射方 向返回,這樣共焦場分布將不會受到擾動。,(4)遠場發(fā)散角,基模發(fā)散角：該發(fā)散角(全角)定義為雙曲線的兩根 漸近線之間的夾角。,高階模發(fā)散角：,高階模的發(fā)散角隨模的階次而增大，因而光束的方向 性將變差。,四、圓形鏡共焦腔,當腔的菲涅耳數(shù)N時,圓形鏡共焦腔的自再現(xiàn) 模為拉蓋爾多項式和高斯函數(shù)的乘積:,可見，其基模在鏡面上的振幅分布仍是高斯 型的，各高階橫模TEMmn的場分布具有圓對稱形式， m表示沿輻角方向的節(jié)線數(shù)，n表示沿半徑方向的節(jié)線 園數(shù)目，各節(jié)線圓沿r方向不是等距的。,2.8一般穩(wěn)定球面腔的模式特征,一、等價共焦腔,共焦腔,穩(wěn)定球面腔,穩(wěn)定球面腔,穩(wěn)定球面腔,穩(wěn)定球面腔,等價是指具有 相同的形波場,二、一般穩(wěn)定球面腔的模式特征,1.光斑半徑,假設雙凹腔兩鏡面M1與M2的曲率半徑分別為R1和R2，腔長為L，而所要求的等價共焦腔的共焦參數(shù)為f。以等價共焦腔中點為z坐標的原點。M1、M2兩鏡的z坐標為z1和z2。則有：,一般穩(wěn)定腔行波場的基模光斑半徑,式中0為基模腰斑半徑,兩鏡面基模光斑半徑,2.模體積,3.單程損耗,(1).有效菲涅耳數(shù),共焦腔菲涅耳數(shù),一般穩(wěn)定球面腔有效菲涅耳數(shù),查表,平均單 程損耗,4.諧振頻率,方形鏡,圓形鏡,5.基模遠場發(fā)散角,作 業(yè),1.考慮一用于氬離子激光器的穩(wěn)定球面腔,波長 =0.5145m,