2.2.2反證法(市級(jí)獲獎(jiǎng)?wù)n件)李志清[課資內(nèi)容]

1、2.2 直接證明與間接證明,2.2.2 反 證 法,民勤一中 李志清,1,課資分享,1.直接證明的兩種基本證法：,綜合法和分析法,2.這兩種基本證法的推證過(guò)程和特點(diǎn)：,由因?qū)Ч?執(zhí)果索因,3、在實(shí)際解題時(shí)，兩種方法如何運(yùn)用？,通常用分析法尋求思路，再由綜合法書寫過(guò)程,綜合法,已知條件,結(jié)論,分析法,結(jié)論,已知條件,一、復(fù)習(xí)回顧,2,課資分享,小故事:,中國(guó)古代有一個(gè)叫路邊苦李的故事:王戎7歲時(shí),與小伙伴們外出游玩,看到路邊的李樹(shù)上結(jié)滿了果子.小伙伴們紛紛去摘取果子,只有王戎站在原地不動(dòng).有人問(wèn)王戎為什么?,王戎回答說(shuō):“樹(shù)在道邊而多子,此必苦李.”小伙伴摘取一個(gè)嘗了一下果然是苦李.,王戎是怎樣

2、知道李子是苦的? 他運(yùn)用了怎樣的推理方法?,假設(shè)“李子甜”,樹(shù)在道邊則李子少,與已知條件 “樹(shù)在道邊而多子”產(chǎn)生矛盾,假設(shè) “李子甜”不成立,所以“樹(shù)在道邊而多子,此必為苦李” 是正確的,王戎推理方法是:,二、引入思考？,3,課資分享,二、引入思考？,A、B、C三個(gè)人，A說(shuō)B撒謊，B說(shuō)C撒謊，C說(shuō)A、B都撒謊。則C必定是在撒謊，為什么？,分析:假設(shè)C沒(méi)有撒謊, 則C真. 那么A假且B假;,由A假, 知B真. 這與B假矛盾.,那么假設(shè)C沒(méi)有撒謊不成立;,則C必定是在撒謊.,4,課資分享,把這種不是直接從原命題的條件逐步推得命題成立的證明方法稱為間接證明,注：反證法是最常見(jiàn)的間接證法,一般地，假設(shè)

3、原命題不成立（即假設(shè)在原命題的條件下，結(jié)論不成立）， 經(jīng)過(guò)正確的推理，最后得出矛盾。因此說(shuō)明假設(shè)錯(cuò)誤，從而證明了原命題成立， 這種證明方法叫做反證法。,三、基本概念,反證法的思維方法：正難則反,5,課資分享,反證法的證明步驟：,假設(shè)假設(shè)命題的結(jié)論不成立，即假設(shè)命題結(jié)論的否定成立；,下結(jié)論由矛盾結(jié)果，斷定假設(shè)不成立，從而肯定原命題的 結(jié)論成立。,找矛盾從假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過(guò)一系列正確的邏輯推理，推出矛 盾（與已知矛盾，與已知定義，公理，定理事實(shí)等矛 盾，與出現(xiàn)的臨時(shí)假設(shè)矛盾，在證明過(guò)程中出現(xiàn)自相矛 盾等等），從而否定假設(shè)；,簡(jiǎn)單記為：否定結(jié)論推出矛盾肯定結(jié)論， （其中推出矛盾是反證法證明的關(guān)鍵。） 反

4、證法是制造矛盾的專家。,6,課資分享,例1.求證：在個(gè)三角形中，至少有一個(gè)內(nèi)角不小于60,注：結(jié)論中含“至多、至少”形式出現(xiàn)；直接證明難以下手的命題，改變其思維方向，從進(jìn)行反面思考。,四、例題選講,分析：從條件出發(fā)很難入手去證，可以考慮從反面入手,證明：假設(shè)三角開(kāi)有三個(gè)內(nèi)角A 、B 、C都小于60 則有A+B+C 180， 這與三角形內(nèi)角和等于180相矛盾。 所以假設(shè)不成立， 所以原結(jié)論成立，即在個(gè)三角形中，至少有一個(gè)內(nèi)角不小于60,7,課資分享,例2.已知a0，證明x的方程ax=b有且只有一個(gè)根。,證：由于a 0，因此方程至少有一個(gè)根x=b/a，,注:結(jié)論中的有且只有(有且僅有)形式出現(xiàn),

5、是唯一性問(wèn)題,常用反證法,如果方程不只一個(gè)根，不妨設(shè)x1,x2 （x1 x2 )是方程的兩個(gè)根.,四、例題選講,8,課資分享,例3.設(shè)0 a, b, c 1，求證：(1 a)b, (1 b)c, (1 c)a,不可能同時(shí)大于,證明：設(shè)(1 a)b , (1 b)c , (1 c)a ,則三式相乘： (1 a)b(1 b)c(1 c)a ,9,課資分享,又0 a, b, c 1,所以,同理：,以上三式相乘： (1 a)a(1 b)b(1 c)c 與矛盾,原式成立。,10,課資分享,反證法的一般步驟:,假設(shè)命題結(jié)論不成立。,假設(shè)不成立,（即命題結(jié)論反面成立）,與已知條件矛盾,假設(shè),推理得出的結(jié)論,

6、與定理，定義，公理矛盾,所證命題成立,11,課資分享,練習(xí)1證明 不是有理數(shù)。,證明：假定 是有理數(shù)，則可設(shè) ,其中p，q為互質(zhì)的正整數(shù)，,兩邊平方得到，2q2=p2， ,式表明p2是偶數(shù)，所以p也是偶數(shù)，于是令p=2l，l是正整數(shù)，代入式，,得q2=2l2， ,式表明q2是偶數(shù)，所以q也是偶數(shù)，這樣p，q都有公因數(shù)2，這與p，q互質(zhì)矛盾，,因此 是有理數(shù)不成立，于是 是無(wú)理數(shù).,12,課資分享,練習(xí)2證明1， ，2不能為同一等差數(shù)列的三項(xiàng)。,證明：假設(shè)1， ，2是某一等差數(shù)列中的三項(xiàng)，設(shè)這一等差數(shù)列的公差為d，則,1= md，2= +nd，其中m，n為某兩個(gè)正整數(shù)，,由上兩式中消去d，得到n

7、+2m=(n+m) ,因?yàn)閚+2m為有理數(shù)，(m+n) 為無(wú)理數(shù),所以n+2m(n+m)，因此假設(shè)不成立，1， ，2不能為同一等差數(shù)列中的三項(xiàng).,13,課資分享,（1）直接證明有困難的一些命題（如有些基本定理的 證明如平行線的傳遞性的證明）,即正難則反!,小結(jié)： 1、哪些命題適宜用反證法加以證明？,（3）以否定性判斷作為結(jié)論的命題,（2）關(guān)于唯一性結(jié)論的命題 （即結(jié)論中有有且只有，有且僅有等關(guān)鍵字眼）,（4）以至多，至少，不多于等形式陳述的命題,（5）一些不等量命題的證明,14,課資分享,2.常用的正面敘述詞語(yǔ)及其否定：,不等于,不大于（小于或 等于)（）,不小于（大于或 等于）（）,不是,不

8、都是,至少有兩個(gè),一個(gè)也沒(méi)有,某個(gè),某些,至少有n1個(gè),某兩個(gè),至少有 一個(gè)是,15,課資分享,求證:在同一平面內(nèi),如果兩條直線都和第三條直線平行,那么這兩條直線也互相平行.,(1)你首先會(huì)選擇哪一種證明方法?,(2)如果選擇反證法,先怎樣假設(shè)?結(jié)果和什么產(chǎn)生矛盾?,定理（平行線傳遞性）,已知:如圖，l1l2 ,l 2 l 3,求證： ll,ll , ll, 則過(guò)點(diǎn)p就有兩條直線l、 l都與l平行，這與“經(jīng)過(guò)直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線平行于已知直線”矛盾,證明：假設(shè)l不平行l(wèi)，則l與l相交,設(shè)交點(diǎn)為p.,p,所以假設(shè)不成立，所求證的結(jié)論成立，,即 ll,五.課堂練習(xí)：,16,課資分享,2、證明：在ABC中，若C是直角，則B一定是 銳角。,證明：假設(shè)B不是銳角，則B90， 又因?yàn)锳0，C=90 所以A+B+C 180， 這與三角形內(nèi)角和等于180相矛盾。 所以假設(shè)不成立， B一定是銳角。,五.課堂練習(xí)：,17,課資分享,六.課堂小結(jié),與已知條件矛盾