數(shù)值分析常用的插值方法

1、數(shù)值分析報告班 級：專 業(yè)： 流水號：學 號：姓 名： 常用的插值方法序言在離散數(shù)據(jù)的基礎上補插連續(xù)函數(shù)，使得這條連續(xù)曲線通過全部給定的離散數(shù)據(jù)點。插值是離散函數(shù)逼近的重要方法，利用它可通過函數(shù)在有限個點處的取值狀況，估算出函數(shù)在其他點處的近似值。 早在6世紀，中國的劉焯已將等距二次插值用于天文計算。17世紀之后，牛頓、拉格朗日分別討論了等距和非等距的一般插值公式。在近代，插值法仍然是數(shù)據(jù)處理和編制函數(shù)表的常用工具，又是數(shù)值積分、數(shù)值微分、非線性方程求根和微分方程數(shù)值解法的重要基礎，許多求解計算公式都是以插值為基礎導出的。插值問題的提法是：假定區(qū)間a，b上的實值函數(shù)f（x）在該區(qū)間上 n1個互

2、不相同點x0，x1xn 處的值是f（x0），f（xn），要求估算f（x）在a，b中某點的值。其做法是：在事先選定的一個由簡單函數(shù)構成的有n1個參數(shù)C0，C1，Cn的函數(shù)類(C0，C1，Cn)中求出滿足條件P（xi）f（xi）（i0，1， n）的函數(shù)P(x)，并以P(x)作為f(x)的估值。此處f（x）稱為被插值函數(shù)，x0，x1，xn稱為插值結(節(jié))點，(C0，C1，Cn)稱為插值函數(shù)類，上面等式稱為插值條件，（C0，Cn）中滿足上式的函數(shù)稱為插值函數(shù)，R（x） f（x）P（x）稱為插值余項。求解這類問題，它有很多種插值法，其中以拉格朗日(Lagrange)插值和牛頓(Newton)插值為代表的

3、多項式插值最有特點，常用的插值還有Hermit插值，分段插值和樣條插值。一拉格朗日插值1.問題提出：已知函數(shù)在n+1個點上的函數(shù)值，求任意一點的函數(shù)值。說明：函數(shù)可能是未知的；也可能是已知的，但它比較復雜，很難計算其函數(shù)值。2.解決方法：構造一個n次代數(shù)多項式函數(shù)來替代未知（或復雜）函數(shù)，則用作為函數(shù)值的近似值。設，構造即是確定n+1個多項式的系數(shù)。3.構造的依據(jù)：當多項式函數(shù)也同時過已知的n+1個點時，我們可以認為多項式函數(shù)逼近于原來的函數(shù)。根據(jù)這個條件，可以寫出非齊次線性方程組：其系數(shù)矩陣的行列式D為范德萌行列式：故當n+1個點的橫坐標各不相同時，方程組系數(shù)矩陣的行列式D不等于零，故方程組

4、有唯一解。即有以下結論。結論：當已知的n+1個點的橫坐標各不相同時，則總能夠構造唯一的n次多項式函數(shù)，使也過這n+1個點。4.幾何意義5舉例：已知函數(shù)，求。分析：本題理解為，已知“復雜”函數(shù)，當x=81,100,121,144時，其對應的函數(shù)值為：y=9,10,11,12，當x=115時，求函數(shù)值。解：（1）線性插值：過已知的（100,10）和（121,11）兩個點，構造1次多項式函數(shù)，于是有則。（2）拋物插值：構造2次多項式函數(shù)，使得它過已知的（100,10）、（121,11）和（144,12）三個點。于是有2次拉格朗日插值多項式： 則有10.4206.拉格朗日n次插值多項式公式：其中稱為基

5、函數(shù)（k=0,1,.,n），每一個基函數(shù)都是關于x的n次多項式，其表達式為：拉格朗日公式特點：1把每一點的縱坐標單獨組成一項；2.每一項中的分子是關于x的n次多項式，分母是一個常數(shù)；3.每一項的分子和分母的形式非常相似，不同的是：分子是，而分母是7.誤差分析（拉格朗日余項定理），其中在所界定的范圍內(nèi)。針對以上例題的線性插值，有函數(shù)在100,115區(qū)間絕對值的極大值為，則有：于是近似值有三位有效數(shù)字。針對以上例題的拋物線插值，有函數(shù)在100,115區(qū)間絕對值的極大值為，則有于是近似值10.420有四位有效數(shù)字。8.拉格朗日插值公式的優(yōu)點公式有較強的規(guī)律性，容易編寫程序利用計算機進行數(shù)值計算。9.

6、 拉格朗日插值通用程序程序流程圖如下：文件lagrange.m如下：%拉格朗日插值close alln=input(已知的坐標點數(shù)n=?);x=input(x1,x2,.,xn=?);y=input(y1,y2,.,yn=?);xx=input(插值點=？);syms t %定義t為符號量p=0;for k=1:n l=1; for j=1:k-1 l=l*(t-x(j)/(x(k)-x(j); end for j=k+1:n l=l*(t-x(j)/(x(k)-x(j); end p=p+l*y(k);endp=inline(p); %把符號算式p變?yōu)楹瘮?shù)形式fplot(p,min(min(

7、x),xx)-1,max(max(x),xx)+1); %畫多項式函數(shù)hold onp(xx) %顯示插值點plot(x,y,o,xx,p(xx),*); %畫已知點和插值點在MATLAB命令窗口輸入：lagrange然后有以下對話過程和結果，已知的坐標點數(shù)n=?6x1,x2,.,xn=?1,3,5,7,9,11y1,y2,.,yn=?-1,20,0,-1,12,3插值點=？8ans = 5.000有以下圖形：二牛頓插值拉格朗日插值的缺點：無承襲性（繼承性）若算出3點的拋物插值精度不夠，再進行4點的3次多項式插值時，必須從頭算起，前面算出的3點拋物插值的計算結果不能利用。而泰勒插值卻是具有承襲

8、性的，如線性插值的結果不精確，那么再加上一項，就變成了泰勒拋物插值，如：泰勒1次插值：泰勒2次插值：。而牛頓插值就是具有承襲性的插值公式1.差商的概念設n+1個點互不相等，則定義：和兩點的一階差商為：,三點的二階差商為：,四點的三階差商為：n+1個點的n階差商為：差商具有對稱性：；2.牛頓插值解決的問題與拉格朗日插值解決的問題相同只是表述 n次多項式的公式不同。3.牛頓插公式的推導根據(jù)差商的概念，有：是兩點的一階差商；是三點的二階差商；把以上各式從后向前逐次代入，可以得到：其中以上的表達式稱為牛頓插值公式，可以證明，n次牛頓插值多項式與n次拉格朗日插值多項式完全相同，只是表達形式不同。故，拉格

9、朗日余項定理與牛頓余項定理相同：，其中在所界定的范圍內(nèi)。則有公式：4.牛頓插值差商表xiyi一階差商二階差商n階差商*x0y01x1y1fx0,x1(x-x0)x2y2fx1,x2fx0,x1,x2(x-x0)(x-x1)x3y3fx2,x3fx1,x2,x3(x-x0)(x-x2)xn-1yn-1xnynfxn-1,xnfxn-2,xn-1,xnfx0,xn(x-x0)(x-xn-1)5.舉例已知函數(shù)f(x)當x=-2,-1,0,1,2時，其對應函數(shù)值為f(x)=13,-8,-1,4,1。求f(0.5)的值。解：該題目與例1相比，就是多了一個點，所以和例1的差商表相比，只需多一列，多一行：

10、xiyi一階差商二階差商三階差商四階差商*-2131-1-8-21(x+2)0-1714(x+2)(x+1)145-1-5(x+2)(x+1)x21-3-4-11(x+2)(x+1)x(x-1)而5個點的4次牛頓插值多項式是在的基礎上多增加1項：則可以在MATLAB下運行程序newton02.m：p4=inline(13-21*(x+2)+14*(x+2)*(x+1)-5*(x+2)*(x+1)*x+(x+2)*(x+1)*x*(x-1);fplot(p4,-2.5,2.5,r);hold onxi=-2,-1,0,1,2;yi=13,-8,-1,4,1;plot(xi,yi, *);plot

11、(0.5,p4(0.5),o);可以得到以下圖形：6.牛頓插值的優(yōu)點（1）具有承襲性質（2）利用差商表，計算多點插值，比拉格朗日公式計算方便。7.牛頓插值算法的通用程序以下是程序流程圖：MATLAB的通用程序newton.m為：%牛頓插值close alln=input(已知的坐標點數(shù)n=?);x=input(x1,x2,.,xn=?);y=input(y1,y2,.,yn=?);xx=input(插值點=？);% 計算差商：fx1,x2,fx1,x2,x3,.,fx1,x2,.,xnf=y;for i=1:n-1 % 計算第i階差商 for k=n:-1:i+1 f(k)=(f(k)-f(k

12、-1)/(x(k)-x(k-i); endendsyms t %定義t為符號量p=f(1);for k=2:n l=1; for j=1:k-1 l=l*(t-x(j); end p=p+l*f(k);endp=inline(p); %把符號算式p變?yōu)楹瘮?shù)形式fplot(p,min(min(x),xx)-1,max(max(x),xx)+1); %畫多項式函數(shù)hold onp(xx) %顯示插值點plot(x,y,o,xx,p(xx),*); %畫已知點和插值點在MATLAB命令窗口輸入：newton然后有以下對話過程和結果，已知的坐標點數(shù)n=?6x1,x2,.,xn=?1,3,5,7,9,1

13、1y1,y2,.,yn=?-1,20,0,-1,12,3插值點=？8ans = 5.000有以下圖形：三總結和展望插值與逼近都是指用某個簡單的函數(shù)在滿足一定條件下在某個范圍內(nèi)近似代替另一個較復雜的函數(shù)或解析表達式未能給出的函數(shù)，以便于簡化對后者的各種計算或揭示后者的某些性質。插值方法理論是近似計算和逼近函數(shù)的有效方法。此外，它也是數(shù)值微積分，微分方程數(shù)值解等數(shù)值分析的基礎。在圖形處理等很多需要優(yōu)化的實際中，也有著很廣泛的應用。我們期望在以后的生活中會更加熟練和更好的運用插值方法。參考文獻1李慶揚,王能超,易大義. 數(shù)值分析M. 武漢:華中科技大學出版社,1982.2吳才斌. 插值方法J. 湖北大學成人教育學院學報,1999,(5).3徐萃薇,孫繩武. 計算方法引論M. 北京:高等教育出版社,2002.4林鷺. 拉格朗日插值多項式的一種并行算法J. 廈門大學學報:自然科學版,2004,43(5):592-595.5吳筑筑. 計算方法M.